2019级第28次课第四节一阶线性微分方程ppt课件

1、第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一、线性方程一、线性方程二、伯努利方程二、伯努利方程三、小结三、小结上一页下一页返回一、线性方程一、线性方程)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:例如例如上一页下一页返回. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐

2、次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法)上一页下一页返回2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 上一页下一页返回常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变

3、易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy上一页下一页返回代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特

4、解上一页下一页返回.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1上一页下一页返回例例2 2 如下图，平行与如下图，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQPQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, , 求曲线求曲线 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxP

5、Q3xy )(xfy 上一页下一页返回 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 上一页下一页返回伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程为非线性微分方程方程.二、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程. .上一页下一页返回,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn

6、 )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn上一页下一页返回.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 3上一页下一页返回例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxex

7、yyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 上一页下一页返回;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 上一页下一页返回;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu

8、分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为上一页下一页返回三、小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPexuy令令;1zyn 令令第五节第五节 全微分方程全微分方程一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法二、积分因子法二、积分因子法三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结上一页下一页返回一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法1.1.定义定义: :0),(),( dy

9、yxQdxyxP那那么么dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程上一页下一页返回2.2.解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分

10、的方法.全微分方程全微分方程上一页下一页返回.0)3()3(2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例1 1上一页下一页返回.0324223的的通通解解求求方方程程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为),1(32yxyd 例

11、例2上一页下一页返回二、积分因子法二、积分因子法定义定义: : 0),( yx 连连续续可可微微函函数数，使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成成为为全全微微分分方方程程. .则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子. .问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?上一页下一页返回1.1.公式法公式法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，两两边边同同除除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx 上一页下一页返回;.有有关关时时只只与与当当yb )(1lnx

12、QyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 上一页下一页返回2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122上一页下一页返回可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解

13、的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 例例3则原方程为则原方程为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx上一页下一页返回, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法)可积组合法可积组合法上一页下一页返回.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例4 求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(22

14、22 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(322322Cyxx 上一页下一页返回.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法可积组合法例例5 求微分方程求微分方程.132的的通通解解求求微微分分方方程程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,

15、112xyxdxdy A A 常数变易法常数变易法: :B B 公式法公式法: :.4343Cxxxyy 通解为通解为.1xCy 对对应应齐齐方方通通解解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例例6上一页下一页返回解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲线积分法用曲线积分法: :,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB B 凑微分法凑微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd上一页下一页返回C C 不定积分法不定积分法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yC