2019级空间直角坐标系、矢量、向量数量积、向量积ppt课件

1、空间解析几何与矢量代数 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、向量的概念二、向量的概念三、向量的线性运算三、向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念xyzo向径 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(

2、zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0) ;rrM坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzozyx0M点的对称点点的对称点关于关于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)关于关于x轴轴:(x,y,z) (x,-y,-z)Q关于原点关于原点:(x,y,z) (-x,-y,-z)P(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)R.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM记作向

3、量:(矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .假设 k (3)个向量经平移可移到同一平面

4、上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa)( aababaabababa0babaaa 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba,

5、0a若a则有单位向量.1aa因而aaa 例例1. 设设 M 为为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD设 a 为非零向量 , 那么( 为唯一实数)abab在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM那么沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMO

6、COBOA, ixOA, jyOBkzOC设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA

7、)7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M考虑考虑:如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?离的点 . 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx且0zoyzx设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角.cosrx222zyx

8、x方向角的余弦称为其方向余弦. 记作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM解解: 知知角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43那么222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3

9、,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO解解: 因因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 设设,853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为11, 3 对角线的长为解：解：为边的平mnnm ,|,|nm|nm)1 , 1, 1( nm)1,3, 1(nm3|nm11|nm,2kjn, jim

10、三、向量的混合积三、向量的混合积 一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积数量积、向量积、混合积1M沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 , 称 记作数量积 (点积、内积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba(1)

11、交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac设那么, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的

12、夹角公式 , 得)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1那么AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故22343cos322)2(17例例2. 已知向量已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba定义向量方向 :(叉积、外积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinab称c的与为向量babac考虑考虑: 右图三角形面积右图三角形面积abba21S为非零

13、向量, 那么，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:)(kajaiazyx)(kbjbibzyx设那么,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijkkjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxb

14、baayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如下图如下图,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(bacbazyxzyxbbbaaaxcyczckj

15、i设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaaba, ),(zyxaaaa zyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczccba)(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :cba,abccba)(, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .提示提示: 因因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四点共面 .设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzy