泊松过程讲义

1、2022-2-2北京邮电大学电子工程学院1第三章第三章 泊松过程泊松过程掌握泊松过程的基本概念掌握泊松过程的数字特征掌握泊松过程时间间隔和等待时间的分布掌握泊松过程达到时间的条件分布了解非齐次泊松过程和复合泊松过程2022-2-2北京邮电大学电子工程学院2第一节 泊松过程的定义 例例3.1 电话交换台在时间段0，t内接到的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)。对于固定的t，X(t)是取非负整数的随机变量。由于在不相重叠的时间间隔内收到的呼叫数是相互独立的，故X(t)， t0是独立增量过程。2022-2-2北京邮电大学电子工程学院3 定义定义3.1.称随机过程称随机过程 N(t), t0 为计数

2、过程，为计数过程，若若N(t)表示表示0，t已发生的已发生的“事件事件A”的总数，且的总数，且N(t)满足下列条件：满足下列条件： （1） N(t)0； （2） N(t)取整数值；取整数值； （3）若）若st，则，则 N(s) N(t)； （4）当）当s0)的泊的泊松过程，若它满足下列条件：松过程，若它满足下列条件：(1) X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程；是独立增量过程；(3)在任一长度为在任一长度为t的区间中，事件的区间中，事件A发生的次数服从参发生的次数服从参数为数为 t的泊松分布，即对任意的泊松分布，即对任意s, t 0 ，有，有()()( ),0,1,!nttP X tsX

3、 snenn从条件从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且知泊松过程是平稳增量过程且EX(t)= t。由于由于( )E X tt表示单位时间内事件表示单位时间内事件A发生的平均次数，故称发生的平均次数，故称 为此为此过程的过程的速率速率或或强度强度。泊松过程是计数过程的最重要类型之一：2022-2-2北京邮电大学电子工程学院51234211243342143122121( )0, ( ),0( )( ) ( , ( )( ) ( , ( )( )( )( ),( )( )( )0X ttX t tttttX tX tt tX tX tt tX tX tX tX tttX tX tttX tt 例

4、.设表示时间段内进入某商场的顾客数那么是计数过程。且：（1） 0：内进入该商场的顾客数：内进入该商场的顾客数，相互独立；（2） 0的分布仅由决定；因此，是独立平稳增量过程。2022-2-2北京邮电大学电子工程学院6定义定义3.3 称计数过程称计数过程X(t), t0 为具有参数为具有参数 0的泊松的泊松过程，若它满足下列条件：过程，若它满足下列条件：(1) X(0)=0;(2) X(t)是独立、平稳增量过程；是独立、平稳增量过程；(3) X(t)满足下列条件满足下列条件: (h0)()( )1( ),()( )2( )P X thX tho hP X thX to h定义中的条件定义中的条件(

5、3)说明，在充分小的时间间隔内，最说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。同时发生。可以证明两个定义是等价的。2022-2-2北京邮电大学电子工程学院73.2证明：定义蕴含定义3.3，显然。下证定义3.3蕴含定义3.2。( )( )( )0nP tP X tnP X tXn令（ ）根据定义3.3之（2）和（3）有00()()0()00( )00,()0( )00 ()0( )1( )P thP X thP X thXP X tXX thX tP X tXP X thX tP tho h（ ）（ ）（ ）（

6、）（ ）2022-2-2北京邮电大学电子工程学院8000()( )( )( )P thP tP tho h 000()( )( )( )P thP to hP thh 于是：00000()( )lim( )( )hP thP tP tPth 则：00( )(0)1( )0ttP tcePP X te于是：而，则2022-2-2北京邮电大学电子工程学院91n 类似地，对于有2()()()0( )0,()0( )01,()1( )0,()nnjP thP X thnP X thXnP X tXn X thX tP X tXnX thX tP X tXnj X thX tj（ ）（ ）（ ）（ ）（

7、 ）（ ）（ ）3.32(3)由定义的（ ）和得0111()( )( )( )( )( )(1)( )( )( )nnnnnP thP t P hPt P ho hh P thPto h2022-2-2北京邮电大学电子工程学院101()( )( )( )( )0 ,nnnnP thP to hP tPthhh 于是令取极限得：111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnttnnnttnnPtP tPtePtP tePte P tePt 于是所以得1011( )( )( )()tttne P teP tP ttc e当时2022-2-2北京邮电大学电子工程学院11-11(0)0,

8、( ).tPP tte由代入上式得-()( )!13.23ntntP tenn下由归纳法证明。假设时定义的（ ）成立，则111()()( )( )=1)!1)!()( )=!nnttttnnntntte P tePteennte P tcn（则()(0)=0( )=!ntnntPP ten由，代入上式得()()-( ),0,1,!nttP X tsX snenn根据平稳增量性，得2022-2-2北京邮电大学电子工程学院12第二节第二节 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质一、数字特征一、数字特征222(1)( )( )(2)( )( )(3)( , )( )( )( )( )( )( )( )

9、(0)( )( )( )( )(0)( )( )( )()()(1)()( , )(1XXXXmtE X tttD X ttRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sX sE X sXX tX sE X sstsssstststRs tts 当时，)( )(4)( , )min( , ).(5)( )exp(1).XiuX tiuXBs ts tguE et e2022-2-2北京邮电大学电子工程学院13二、时间间隔与等待时间的分布二、时间间隔与等待时间的分布 如果我们用泊松过程来描述服务系统接受服务的如果我们用泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数，则顾

10、客到来接受服务的时间间隔、顾客排队顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面我们对的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面我们对泊松过程与时间特征有关的分布进行详细的讨论。泊松过程与时间特征有关的分布进行详细的讨论。 设设X(t),t0是泊松过程，令是泊松过程，令X(t)表示表示t时刻事件时刻事件A发生（顾客出现）的次数，发生（顾客出现）的次数，W1,W2,表示第一次、表示第一次、第二次，第二次，事件事件A发生的时间，发生的时间，Tn(n 1)表示从第表示从第(n-1)次事件次事件A发生到第发生到第n次发生的时间间隔。通常次发生的时间间隔。通常称称W

11、n为第为第n次事件次事件A出现的时刻或第出现的时刻或第n次事件次事件A的的等等待时间待时间, Tn为第为第n个个时间间隔时间间隔.T10W1W2WnT2TnWn-12022-2-2北京邮电大学电子工程学院14定理定理3.2 设X(t), t0是具有参数的泊松过程， Tn，n 1是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn(n 1)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。证明：首先注意到事件T1t发生当且仅当泊松过程在区间0，t内没有事件发生，因而P(T1t)=P(X(t)=0)=e- t即FT1(t)=P(T1t)=1- P(T1t)=1- e- t所以T1服从均值为1/的指数分布。利用泊松过程的独立、

12、平稳增量性质，有P(T2t|T1=s)=P(在(s,s+t内没有事件发生|T1=s)= P(在(s,s+t内没有事件发生)=P(X(t+s)-X(s)=0)=e- t2022-2-2北京邮电大学电子工程学院15即 FT2(t)=P(T2t)=1- P(T2t)=1- e- t所以T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立。对于任意n0和t, s1, s2 , sn-10,有11111111(|,)()()0)( )(0)0)nnnnntP Tt TsTsP X tssX ssP X tXe即 ( )()1ntTnFtP Tte 所以对任一Tn(n1)，其分布是均值为1/ 的指数分布，且独立。2

13、022-2-2北京邮电大学电子工程学院16 另一个感兴趣的是等待时间Wn的分布，即第n次事件A到达的时间分布，因1(1)nniiWTn由定理3.2知，Wn是n个相互独立的指数分布随机变量和，可以得到如下结论：定理定理3.3 设Wn，n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为：1(),0,( )(1)!0,0.nntWtetftnt上式又称爱尔兰分布爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。2022-2-2北京邮电大学电子工程学院17证明证明：由于第由于第n个事件在时刻个事件在时刻t或或t之前发生当且仅当时间之前发生当

14、且仅当时间t已发生的事件数目至少是已发生的事件数目至少是n，即，即 ( )nX tnWt因此因此()()( )!jtnj ntP WtP X tnej对上式求导，得对上式求导，得111()()( )!(1)!()()!()(1)!njjttWj nj njjttj nj nntttfteejjtteejjten 2022-2-2北京邮电大学电子工程学院18例例3.2 已知仪器在已知仪器在0，t内发生振动的次数内发生振动的次数X(t)是具有是具有参数参数 的泊松过程。若仪器振动的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，次就会出现故障，求仪器在求仪器在t0正常工作的概率。正常工作的概率。解：

15、解： 依题意知发生故障的时刻T就是发生第k次振动的时刻Wk，由定理3.2知T的概率密度为1(),0,( )(1)!0,0.ktTtetftkt故仪器在t0时刻正常工作的概率为0011000()()()=(1)!nkktttnttpP Ttedt ekn2022-2-2北京邮电大学电子工程学院19三、到达时间的条件分布三、到达时间的条件分布 假设在0，t内事件A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的分布。因为泊松过程有平稳独立增量性，故有理由认为0，t内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个事件的到达时间应在0，t上服从均匀分布。事实上，对st有11()(,( )1)(|

16、( )1)( )1)( )1,( )( )0)( )1)( )1) ( )( )0)( )1)st stP Ws X tP Ws X tP X tP X sX tX sP X tP X sP X tX sP X tseestet2022-2-2北京邮电大学电子工程学院20即分布函数为1|( ) 10,0,( )/ ,0,1,.W X tsFss tstst分布密度为1|( ) 11/ ,0( )0,W X ttstfs其他.定理3.4 设X(t),t0是泊松过程，已知在0,t内事件A发生n次，则这n次到达时间W1,W2,Wn与相应于n个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布.2

17、022-2-2北京邮电大学电子工程学院2111211,. . .)!(),(,)0,()nnininiinXXp d fnf xaxxxbf xxf xX 个个独独立立同同分分布布连连续续型型随随机机变变量量的的顺顺序序统统计计量量的的概概率率密密度度函函数数( (为为：其其他他其其中中为为的的概概率率密密度度函函数数。2022-2-2北京邮电大学电子工程学院22证 明 ： 令 0 t1 tn + 1= t ， 且 取 hi充 分 小 使 得ti+hiti+1(i=1,2,n)，则在给定X(t)=n的条件下，我们有111111()11 2(,|( )( ,1, ,0, )( )!() / !n

18、nnnnniiiht hhhnntnnP tWthtWthX tnP t thintP X tnheh eenhhhetnt中有一事件，的别处无事件因此1 2(,1, |( )!iiiinnP tWth in X tnnhhht令hi0，有11!/,0( ,|( )0,nnnn ttttf ttX tn其他.2022-2-2北京邮电大学电子工程学院23例例3.3 设在0,t内事件A已经发生n次，且0st, 对于0kn，求P(X(s)=k|X(t)=n)。解：解： 利用条件概率及泊松分布得()( )|( )( ),( )( ),( )( )( )( )() ()!()!1() / !kn ktt

19、 skn kkntnP X sk X tnP X sk X tnP X sk X tX snkP X tnP X tnstseessknkCetntt 2022-2-2北京邮电大学电子工程学院24例3.4 设在(0,t内事件A已经发生n次，求第k(kn）次事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。|( )0( 0),|( ),( )( ),( )()()! ( )()()!|( )( | )lim( ) ( )(kkkkkntntkkW X thWhstP sWsh X tnP sWsh X tnP X tnP sWsh X tX shnktenP sWsh P X tX shnkte nP s

20、Wsh X tnfs thfs P X tX s解：当充分小时且则)()!ntnkte n2022-2-2北京邮电大学电子工程学院25例例3.5 设X1(t)，t0和X2(t)，t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间， W1(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求P(Wk(1) 0时，( )nX tnWt因此因此( ) ( )()( )!jm tnj nm tP WtP X tnej对上式求导，得对上式求导，得1( )( )1( ) ( ) ( )( )( )( )(1)!j! ( )( )(1)!njjm tm tWj nj nnm tm tm tftm t em t ejm tt en 0( )0.nWtft当时，2022-2-2北京邮电大学电子工程学院32第四节 复合泊松过程定义定义3.5 设N(t)，t0 是强度为的泊松过程，Yk，k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t)，t0 独立，令( )1( ),0N tkkX tY t则称X(t)，t0为复合泊松过程。 例例3.8 设N(t)是在时间段(0，t内来到某商店的顾客人数， N(t)