2013年高考数学一轮经典例题充分条件与必要条件理

1、用心 爱心 专心 2013 年高考数学（理）一轮经典例题充分条件与必要条件 例 1 已知 p: x1, x2 是方程 x2 + 5x 6 = 0 的两根，q : x1 + x2= 5,贝 U p 是 q 的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换. 解 /x1, x2 是方程 x2+ 5x 6 = 0 的两根， x1, x2 的值分别为 1, 6, x1 + x2= 1 6 = 5. 说明 但事实上只要取X1=-2, xa-3 作为反例即可说明这一点. 因此选 A. 说明：判断命题为假命题可以通过举反例. 例 2 p 是 q

2、的充要条件的是 A. p: 3x+ 2 5, q : 2x 3 5 B. p： a2, bv 2, q : a b C. p :四边形的两条对角线互相垂直平分， q：四边形是正方形 D. p: 0, q：关于 x的方程 ax= 1 有惟一解 分析逐个验证命题是否等价. 解 对 A. p : x 1, q： xv 1,所以，p 是 q 的既不充分也不必要条件； 对 B. p q 但 q r p, p 是 q 的充分非必要条件； 对 C. p q 且 q p, p 是 q 的必要非充分条件； 对 D . p= q 且 q= p,即 p= q, p 是 q的充要条件.选 D . 说明：当 a= 0

3、时，ax= 0 有无数个解. 例 3 若 A 是 B 成立的充分条件，D 是 C 成立的必要条件，C 是 B 成立的充要条件，则 成立的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析通过 B、C 作为桥梁联系 A、D . 解 / A 是 B 的充分条件， AB / D 是 C 成立的必要条件， CD C 是 B 成立的充要条件， C= B 由得 由得 A : D.用心 爱心 专心 D 是 A 成立的必要条件.选 B. 说明：要注意利用推出符号的传递性. 例 4 设命题甲为：Ov xv 5,命题乙为|x 2| v 3,那么甲是乙的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分

4、条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析先解不等式再判定. 解解不等式|x 2| v3 得一 1 v xv 5. / Ov xv 5 1 v xv 5，但一 1 v xv 50 v xv 5 甲是乙的充分不必要条件，选 A. 说明：一般情况下，如果条件甲 为 x A,条件乙为 x B. 当且仅当 A 二 B 时，甲为乙的充分条件； 当且仅当 A 二 B 时，甲为乙的必要条件； 当且仅当 A= B 时，甲为乙的充要条件. 例 5 设 A、B、C 三个集合，为使 A厂（BU C）,条件 A?B 是 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析

5、. 请同学们自己画图. 解 V 而 B 匚（BUC）, A，=(BU C). 但是，当 B= N , C= R, A= Z 时, “A = (BU C)” 一 “A = B”. 是“ A（BU C）”的充分条件（不必要）.选 A. 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况. 例 6 给出下列各组条件: p: ab= 0, q： a2+ b2 = 0; (2) p: xy 0 , q： |x| + |y| = |x + y| ; (3) p : m0, q：方程 x2 x m = 0 有实根; (4) p : |x 1| 2, q : xv 1. 其中 p 是 q 的充要条件

6、的有 A. 1 组 B. 2 组显然 A- (BU C),但 A r B 不成立, 综上所述: “A B” = “ A(BU C)”，而 即“ ” 用心 爱心 专心 C. 3 组 D. 4 组 分析使用方程理论和不等式性质. 解（1）p 是 q 的必要条件 （2） p 是 q 充要条件 （3） p 是 q 的充分条件 （4） p 是 q 的必要条件.选 A. 说明：ab= 0 指其中至少有一个为零，而 f f Xi 3 Xi +X2 6 是 x2 3 x1x2 9 z Ata 分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系. 解 x1 3 且 x2 3= x1 + x26 且 x1

7、x2 9,但当取 x1 = 10, x2 = 2 时, x1 +x2 6 x1 3 成立，而 不成立（x2 = 2 与 x2 3矛盾），所以填“充分不 x1x2 9 x2 3 必要”. x1 3 x1 _ 3 0 二丿 x2 3 x2 3 0 S- (x1 3) + (x 2 3) 0 (X1 3)(X2 3) 0 x1 + x2 6 x1x2 3(x1 +x2) + 9 0 例 8 已知真命题“ ab=cd”和“ av b = e f”，贝厂c d”是“e b cd（原命题）, cd avb（逆否命题）. 而 a v b e w f, c de w f 即 c d 是 e 0,则 ax2 +

8、 2x+ 1= 0 至少有一个负实根 二 - - 0 2a 二 -2.1 a 2 ：= 0 aW 1. 2 . a 0，则 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根 二 24 一 2,1 a 2 ：= 1 a 1 = a 0. 综上所述 a 1. 即 ax2+ 2x+1 = 0 至少有一个负实根的充要条件是 a 1. 说明：特殊值法、排除 法都是解选择题的好方法. 例 10 已知 p、q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么 s, r, p 分 别是 q 的什么条件？ 分析画出关系图 1 21,观察求解. 图 1-21 解 s 是 q 的充要条件；

9、(s 一一 p, q s) r 是 q 的充要条件；(rq, q sr) p 是 q 的必要条件；(q s : r : p) 说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系. 例 11 关于 x的不等式 与 B，问“ A MB ”是“ 1W a 3 或 a= 1”的充要条件吗? 分析 化简 A 和 B,结合数轴，构造不等式(组)，求出 a. 解 A= x|2a W x 2 A - B 2 1W a 3a + 1 即 a 3a+1 A - B = 2 a= 1. a2 +1 W 2 综上所述：AB= a= 1 或 1W aW 3. |x (a 1)2 2 lW (a-1)2 2

10、 与 x2 3(a+ 1)x + 2(3a+ 1) y, xy 0 是一V 的必要条件还是充分条件，还是充 x y 要条件？ 分析将充要条件和不等式同解变形相联系. 解 1 .当V 时，可得丄一V 0 即红兰 V 0 x y x y xy f f r y x0 亠 yxV 0 则 或/ xyV 0 xy0, x V y 十 x y 即 或 xy V 0 xy 0, 1 1 0 并非V -的必要条件. x y xy xy 2 .当 xy 且 xy 0 则分成两种情况讨论：*x 0 或* xV 0 y0 yV0 1 1 不论哪一种情况均可化为 y 且 xy 0 是 V 的充分条件. x y 说明：

11、分类讨论要做到不重不漏. 例 13 设a , 3是方程 x2 ax+ b = 0 的两个实根，试分析 a2 且 b 1 是两根a , 3均大于 1 的什么条件？ 分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需 要搞清楚条件 p 与结论 q分别指什么.然后再验证是 p= q还是 q= p 还是 p = q. a 2 解据韦达定理得：a= a + 3，b= a 3，判定的条件是 p： lb 1 f a 1 结论是 q： （还要注意条件 p 中，a，b 需要满足大前提= a2 4b 1 1 故-V -不能推得xy 且 xy0（有 可能得到 xV y xyV 0）， 即 x y 且 用心 爱心 专心 、3 1 0） f a 1 zl=t (1)由 得 a= a+ B 2 , b= a 卩 1, 1 卩 1 q P (2)为了证明p牛q,可以举出反例I取a =4, P = |.它满足枝二 a + P = 4+ -2, b-Q&=4* = 21,但q不成立* 上述讨论可知：a 2, b 1 是a 1, B 1 的必要但不充分条件. 说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用. 例 14 (1991 年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命