第十一章算法、框图、复数、推理与证明11-4数学归纳法理ppt课件

1、n重点难点n重点：数学归纳法n难点：数学归纳法的证明思绪n初始值n0确实定n知识归纳n1归纳法n归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，假设我们调查了某类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；假设我们调查了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法n2数学归纳法n普通地，证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进展：n(1)归纳奠基：验证当n取第一个值n0时结论成立；n(2)归纳递推：假设当n

2、k(kN*，且kn0)时结论成立推出nk1时结论也成立n只需完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开场的一切自然数n(nn0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法n3归纳、猜测与证明n从察看一些特殊的简单的问题入手，根据它们所表达的共同性质，运用不完全归纳法作出普通命题的猜测，然后从实际上证明(或否认)这种猜测，这个过程叫做“归纳猜测证明它是一个完好的思想过程，是人们从事科学研讨、认识发现规律的有效途径，也是用来培育创新思想才干的有效方法，因此，它就成了高考命题的热点之一n误区警示n在运用数学归纳法的过程中：n第步，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据标题要求，有时可为2、3等n第步，证明

3、nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否那么就不是数学归纳法n这两个步骤缺一不可，前一步是递推的根底，后一步是递推的根据，缺了哪一步得出的结论也是错误的n另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开场，即假设nk(kn0)时结论成立，括号内限制条件改为kn0就错了n添减项法和放缩法n1用数学归纳法证明命题时，根据需求有时应添项或减项，这是数学归纳法证题的常用技巧n2在用数学归纳法证明不等式时，常根据标题的需求进展恰当的放缩，要留意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头n例1用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程中，第二步假设当nk时等式成立，那么当nk1时应得到()nA122

4、22k22k12k11nB12222k2k12k112k1nC12222k12k12k11nD12222k12k2k12kn解析：原等式左边是2021222n1，从20到2n1，右边是2n1，故当nk时，等式为20212k12k1，当nk1时，等式为20212k12k2k112k12k.n答案：Dn点评：用数学归纳法证明命题时，从nk到nk1的过渡是证题的关键环节，实践证明时，要据不同问题用不同方法讨论，证明恒等式或不等式时，关键要抓住项数和项的增减变化证明整除性命题时，凑出归纳假设的方式是关键；证明图形类问题时，要留意从nk到nk1，终究图形中发生了哪些变化等等n用数学归纳法证明命题“n为正

5、奇数时，xnyn能被xy整除时，假设nk(k为正奇数)时，命题为真，那么进而需证当_时命题为真()nAnk1nBnk1(k为正奇数)nCnk2(k为正奇数)nDn2k1(k为正奇数)n答案：Cn点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项，弄清等式两边项的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值能否有关n当nk到nk1时，等式的两边会添加多少项，添加怎样的项n用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN)n分析：从nk到nk1的过渡，左边添加了因式(2k1)(2k2)减少了因式k1，右边2k变成2k1添加了因式(2k1)n证明：(1)

6、当n1时，左边2右边，等式成立n(2)假设nk(kN)时，等式成立，n即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，n那么当nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)n2k2(2k1)2k12(k1)1等式也成立n由(1)、(2)可知，等式对任何nN都成立.n点评：用数学归纳法证明不等式经常要用到放缩法，即在归纳假设的根底上，经过放大或减少技巧变换出要证明的目的不等式n点评：用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时，不是不能结合其它证明方法，而是证明nk1时结论成立时，必需用上归纳假设(即nk时命题的结论)此题中证明式成立，不能丢开式另用其它方法

7、，只需把式作为条件用上了，再结合其它方法(如放缩法、分析法、综合法等)是合理的.n分析：关键弄清凸k边形到k1边形对角线添加的条数，可以想象将k边形的一条边变为两条边添加一个顶点，该顶点与原来的k个顶点有k2条对角线，原来的这条边也成了一条对角线，故对角线共添加了k1条n平面上有n个圆，其中任何两圆都相交，任何三圆不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成的区域数为f(n)n2n2.n分析：关键是nk到nk1的过渡，要想搞清f(k1)比f(k)多出平面区域的块数，就要先弄清第k1个圆被原来的k个圆分成了多少段，每一段把它所在的原平面区域一分为二，为此先求出第k1个圆与原来的k个圆的交点个数即可n

8、证明：(1)当n1时，一个圆把平面分成两个部分，n又f(1)12122，所以n1时，命题成立n(2)假设nk时命题成立，即平面内满足条件的k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分n那么nk1时，第k1个圆与前k个圆中的每一个各有两个交点，又无三圆相交于同一点，故共得2k个交点，这2k个交点把第k1个圆分成2k条圆弧，每条圆弧把原来所在的区域一分为二，所以平面的区域添加2k个，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，n所以当nk1时命题也成立n由(1)(2)可知，对一切正整数n，命题都成立.n解析：(1)当n1时，D1为RtOAB1的内部包括斜边，这时a13，n当n2时，D2为R

9、tOAB2的内部包括斜边，这时a26，n当n3时，D3为RtOAB3的内部包括斜边，这时a39，n由此可猜测an3n.n下面用数学归纳法证明：n当n1时，猜测显然成立n假设当nk时，猜测成立，即ak3k(kN*)，n将不等式yk(x3)，kN*化为3x，kN*，可知取整点时x1或2.平面区域Dk为RtOABk的内部包括斜边、平面区域Dk1为RtOABk1内部包括斜边，n平面区域Dk1比平面区域Dk多3个整点，n即当nk1时，ak13k33(k1)，这就是说当nk1时，猜测也成立，n由知an3n对一切nN*都成立n点评：还可以证明平面区域Dn内的整点有(1，bk)，(1，ck)，(2，dk)，其

10、中bk2k1，ck2k，dkk,1kn.n答案：Bn点评：归纳猜测的结论能否正确有待证明，但这里不需求证明，只需符合归纳推理的规那么就行n1(09山东卷)等比数列an的前n项和为Sn，知对恣意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上n(1)求r的值；n(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)n解析(1)由于对恣意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上，所以Snbnr，当n1时，a1S1br，n当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又由于an为等比数列，所以r1.n(2)当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log22n11)2n，n1求证：32n28n9能被64整除(nN*)n证明32n28n99n18n9(81)n18n9Cn108n1Cn118nCn1n182Cn1n8Cn1n18(n1)164(Cn108n1Cn118n2