偏微分方程数值解习题解答案

1、I.试讨论逼近对流方程生+%=0的差分方程.didx*-：*-：1）9+=o-rh+lA,花A.W+1-*l%一,W.T_2)L+，U.=Wr2%的截断误差.，1）解；设点为qX）/则可=以穴/4）=以勺,%）+3（Y）+0*ot所以截断误差为，吟4一以：以】:一】也=a+-（丝+竺）3以一产十J J电(%)Thdtdx为一。/,知3c上-十dt=0(7+/尸2)解I设点为：(KJ,“+1)/则吗=()=K%,11)+二f(-T)+0(dt%；：；=/ 1） = 口（X），f 必1）十8x十心小）（力）。薪”；=口岳户.益川）= （勺，口）+dxdx十o（M）.-.我断误差为：，工-琮书】FE

2、= -十：Th（良+更dt私0M】)dlT + oCr2) 十,“班（勺儿）/%（.（4.，4十J+力+口玩+。（欣）以依2hdxa/*十城）血（勺/）诙（“）fi1.用积分插值法导出逼近微分方程（2.1）的差分方程.解；（2.1）Lu=dxdudup）十r+qu=jax（z）du,dx=dzdxL尸（中矩形公式）裂W（Xy）%1）（Jdx）TdX）Ta尸（f-dx）TAL尸七一一,做赤洌2上氢%w其中d,=乙t其中8=fxdx肉+如Ldxdu dxr gdx （中矩形公式）川rx、dx（中心差分）其中瓦二得差分方程%十1一%一%TqI九+阿.1.A+用疝3A+为一3/+二一必川如一4%4,构

3、造逼近一（p以b”+0w+r于b）uau(cz)=O,“(尸4(b)=0*-的中心差分格式。r解：取十1个节点，=/4无1为 dndy= |J J-n琮噂噎*口 4由Green第一公式将 ,J k ds J dzay 初 4( J +J 4- j + j上曲=JJ 了 dxdy 工 k l l 加(?,.!却一落力-y制正电一改 -41 坛觎-射 -包加32I 4 有 上 绿“Jlj一=F其中Oj一/ d%b，N 工”1）北正则内卓,为(勺.y j ) *JJ V kV u) axdy = jj j dxdyf dxdy-(J 4 1 + j + | )祟无4=JJ / dxdy / E fc

4、 E) &Q.! AT.中=&3守望咻皆小du J,i 一“o /, “1一0 ,如 h； 十% ue 力；+%其中瓦=丸:.综上c/4 - 2uft +u21小一热口7 1 ff z J 1了 方2/ 八 A i为保插五点差分恪五的正定性，可用下式代替上式./）-3% h h 12）显照下当（羽，y ） wlur时，有“=2（xP y, ） /2,用积分插值法构造逼近方程（3。2D的第二边值问题的五点差分野式。解：1）正则内点，同第一题中1），2）非正则内点，同第一题中2）“3）界点一在界息1处于曲边三角形ABC上对（3。21）式积分，得；-V(V)dxdy=Jfdxdy3A4JCJlABC

5、+L)%曲*n/否机”iACr？媪？心一前八方“一出杰阳AB丁电dn2h左杰於koSCvJ亥dn,%L器左，曰褊By)kds=3ok?oCX-:综上有:3一底(以之ft的+2一%阮+产QZ)=Hjdxdy失lOAC构造逼近（3.21）一体幻=一2（生）+2（四）=，的三角网格式.dxdx中方解：,如图，设夕0是内点，尸Mo是和&相邻的节点，丸为三角形PoP/wi的外心,汐2产是PoPi的中点jq是由六边形的,外围成的对偶单兀,在子域G。积分得-11呆伏黑)+2/普)心力=II心力,3%dxdxdydy%由Gxeen公式得!一jEs=t I”ds6/g=&i)层5G-“&)+例5)%()，?-1

6、/PoPi-2其中公即)为k(%S在两中点的值,必(G。)是5的面积，五5也)是截断误差4：.得点外的差分方程为“一工尢)-.)=|於心”4说./2/RPMQ其中的=，IIa力，是k在辰a中点的值,“a&5其次建立界点限差分方程:设A是界点,则即=)/.-.三角圈格差分格式为：在外如一工勺日“77r-)0%-4)=口泌的二。)仰522/夕0+1Gb若Po为界点：11pq二a(JA)川P2433.将向前差分格式和向后差分格式作加权平均，得到下列格式：“(113)JU4_以上上=/8明-加片+明)+()(*2甘+碌】),J其中0W6WL试计篁其截断误差，并证明当6=1-时，截断误差2的阶最高(。炉

7、十川).，一Tyf&（u（Xjf414八）-2u（XjJkr）ft+（yQ）4-（1-切QOi4）-2（“G+&）-变件）OL071（D（勺一（9，&）.r=3为4）十十号2十。（/）-（）dtT丸（弓4）2-旅-（2） 2m（%.G-2“（弓&）+（勺_1以），讲积）+为*勺4）J，求以（冷，履）冬犷a%（？4）dx-苏43rd+*笔必弓*+。（h13%（勺,左）为3丹3”（勺4）/4a4（勺,4）2!ox23!dx24!力5a%（心/，盛-三上+5才）-勿氏/”D!CX=工&立里学也镇12办42（3） 3（Xj“4+i）-2”（勺W）+fj（Xj_N）”=小）+文互出+0例，）.张212加

8、=笔加+啜围铲）+。（加徐等也十4（“：；）+5/）+。（川）dtdxa2（x ）=V+ 市OT十。（1）+ 5为 ba4w（xz,zx）a/o %。a%（x2）8%（勺&）尸8%（勺&）224而+（+。t）苏+。（。）+。8h）+。（力）将（1）（以3）代入*式，得.壮学w当金。wi网81（工,.4）o0oAv4+0（丁）+。（一川）+o陋4）dz+。通冬+.字+项必M（弓右）（勺,与）dtdx2一（以4，+以外+以（1一为勃文答义+od）21212ox+5/?）+。（力4）一324一以带）；:，4）+of）4。2/）+o（4）P1力。d4u、今今,=aar（l-十Q（l）十Q（rJ）十OR

9、）”21，civ当ar（-）-=0即a=）一工时，截断误差的防最高212212r（0（72+/）B，P24315.设有逼近热传导方程的带权三层差分格式：”（115）一%十味 F*41幺.,*-1刁”2一11.，一以1U1(1+0)上L-=0上其中e?o试计算其截断误差，并证明当e=L+L时，截断误差的212r阶最高4（。/2）+。伪6解；EjU=Lku（弓-卜以（亏“1）一（弓,小）己以（勺，“）一（弓，4-1）=11十句I-C7T-云口（勺+1，4+1）-2（仃,%&）血（勺&） /（X川Adtdx加（今般）?丸（今/。+=?率+。八:皿“ZJ-贝勺1- 、，/、为（勺/）/丸（勺川=二口（

10、勺，。）一（以4）-r-十-2十。（二）ucX乙！况 2 a（3）由第3题知+ O(d)u去【以（勺+1，履+1）一 2u,）十”（aa1卬），E以(3Q * 2= + (T7严8卢)+ )等2)+0。%2)+O&4) dx代人得，胎=0+钏竽+?*+限）M中5F+LF+。(2 +。(为2”。(/)_以2， atox1 %2二心唯一令一打+。（玲+0（d/）十。（公 212 dx1 疗当4好一一）=0212即=二+一时，截断误差的阶最高为 2 (O(r2条件是口r 1/2(1-2) +M).，产=割8(端-七对十骨)十Q3)(限2寸十畛7-若=好(瑞;-若+以/)+。一务哈厂有+注)-,氏*+

11、(1+2如“片-厂国对。-劭“3-(1-2”1-助欧+r(l-6)aW=8U卜艮PU 十 2r9-2r8cos jrhl-4r(l-) sin 拶Q 4 c.2 /l+4rsin 2 -=CUk8二口一2尸/(l-8)SuC=(l+2r&)l.r史】(1-2r(l)1十(1G)Sk考二9十2的一厂困丁】1一2-0十(1一勾卜二国归1(2) 当时八2：.此时(113)恒稳定.”1-2r(1-6)十2r(l-ff)cosj病若(1.13)稔定时一1一跖74用.S1十l-4Ni)sm?l+4rsm(1) 当:we Ml时，恒有14r(1一6力由2争W 1 +42sM今 及，4P-吸笥-3+4n卷,

12、r+若二；)+。-软吸】-2咛+若)/2右不等式恒成立-l-4sm2-Wl+4rsin2)l-4/(l-)sin2-2224尸(1-28)sin等02十朋飞1十4厂6沏2等)j=12，NTu二4尸(1-26)工2，rwgci-2此时(1.13)稳定的充要条件是厂二工(1-28)21 1-4尸孔由2掾+4rgsin2学)sin24/(L2辞/2+ME+4L8sm2号二4*1-26)2“二尸弓(1-2队此时(L13)稳定的充要条件是r)*证明：兽-吸】)+，(尸-谤)+，小-41)-12612=m3豺-2/十理;十域+i-旗”限1)MY+(i -今小=弓+今寸1+(| -；AU1=BUk即少=3J

13、1r5A=（一）S+（+rI12261 r5B十十弓一）/IN20c=+尸）/+-5sfi+&+：612261225ir5ir.=.+）+（行-）j-1（-r）+（+-）jp00有“-Icz/脑一2rsin2,威+-cosJ94-2sin2脑及6626622rsm一（一H一cosjW（一十一cosj/）+2rsm，266662二昨1P265-1.用Fourier方法证明差分格式X1.13)稳定的充要条件是（113）证明：以y二厂双以；+专；）+03）（若皆十若亦令若=/”得”俨7%展”序协l（/g一2/研+小（）?十（1一），3间*一2一十心阴）一二/制（/4_2+gTU）+Q_6）/3M_2

14、+e-）av-vft=2r(cosah-Y)vM+2/(1-)(cosM-l)vx1-2r&(cosah-1)/+1=14-2r(l-6)(cosah-l)vfcPl-4r(l-sm2俨i=之葭1十4r6sin22l-4r(l-)sin2W，T)=小2（LI3漪定台后（9，砌1+3金 l-4r(l-sin2y11+4/Osm21十4r8sin:21ArGsin2144r(lsin2 0)稳定性的充要条件是网格比，=ar/X12证明；必丁】一叶=心力一2“十限J十%工_3）+c&*乙Fl俨%，确vl=2屋9+小g”十里/（小川火2h.,麻1,无一上乙i3o.45、.由2k/3A-i4、.ak3v

15、-v=rv(-2+0)+ve-e)+匕。/2k俨i=2rv”cos破-1)+vk2?sin&+CW”2h俨】二口十2r(cosM-V)+vkisinM十ctlh俨】=l-4rsin2(ofe/2)+sin4-rTvfchG(p%,T)=14rsm2(C；十C”4即4户（sin,以+sin?（离/2）M4,5=/是差分格式稳定的必要条件2因此当工农对，G%)一致有界；”2当时，9(6)不一致有界，从而当,孝时差分格式(*)是稳定的。.P289a2 .证明格式(1.20)(=1)绝对稳定.4解；当时，(1.20)如下y4r-2吗+吟t小器-&尸+岑；,吸2崂+若P=4P+一物十盯-4J此时差分格式

16、等价于，,叫-4：9一9_刀%仁啊匕-clT2hT2k(1) 4J-c2jAMGG)二不彳可ic1-c2/4_14-c2/41+c9由|花g|=o得，,1-1/4,3c-1+1/4、+1/4W1=CT77)1+W=1可见G0)的特征值按绝对值等于1,且G是酉矩阵，因此|G%=1,从而矩阵族GY0一致有界，即(1)绝对稳定.小P31LW1.证明逼近(31)的差分格式”+，以=0,当川(3.28)Th上+.上一-=0,当,0,Th绝对稳定。u证明；记厂=%，将(3.28)改写成；:。+厂)lu；-m：；二：JJ.J(1一尸町.%；：；=：(2)以齿=y，.J(l-r+vcosM/+，sin 或PM

17、 = 25j工/ l-r + rcoso) +/ sin ah所以差分格式(3.28)绝对稳定g是任意实参数)代到方程和中有；,(4va+1=J_Vx=vK1 十r-i4(1一】十y+1=-v*二为/1-r+r对于4，因为aNO,所以7之0,因此：也.J(1+r-rcos+r2sin2一A=z证;充分性；中(4)=而)十兄(力而一力,彳)H(Ax,x)2(N)=(达瓦-6,x)+兄(月元x)u6(0)=(月，若(0)=0,即(力演一6，M=0YxwNaj4r0-&=0BPAx=b则而是方程区彳=b的解口必要性若而是方程兑X=3的解“则力1一6=0(力为一占=0&(0)=(-0-8=0所以凡是J

18、S)的驻点口P93u3：证明非齐次两点迫值问题以(4)=a十熟二/Lu = - dxub)=户。与下面的变分问题等价；求,(G)=a使J(/)=nunJ(u)其中，J()=；声)-(7,W)-pg)角)“乙而a(w,v)如(213)(提示；先把边值条件齐次化)证明：令u(x)=w(x)+v(x)其中双左)=戊+(矛一以)产w(a)=dyv(力二户“v(af)=0v(b)=Ou所以“yd/dll、pLu=-(p)qu=f&dx-dr,dw小人，/、,=7(+)+(w+v)=/dxaxaxa-d,衣、).ddw.令=(P)+=/-(-p+w)=/iaxaxaxax所以(1)的等价的形式-rd/dv

19、Lu=-p)+(?v=Zddxaxu(a)=a(b)二户#一.ddyv、其中工=/一(一丁丁+0w)vdidx则由定理2.2知，y.是边值问题(2)的解的充要条件是且满足变分方程464)-(工乂)=0又迎1)=I(y.-Jj)tdx+R)m：QY)(3)a文N)=J&)=Jg十”=a(.+龙，”.+龙)一(/,+龙)-0(8)/以.(b)+龙)202公)十团。3)一(/乂)一。)43)十不&0(以.,O-C/i)-p3)网，二：(p牛=+1口-fidx-p尬闵心Qaxax=/(4-乃以x+p3)u：(b)Kb)-p3)&9)(4)ia(3) =(4)所以可证得。一必要性，若u.是边值问题(1)

20、的解。则Lu.-f=O“.9)=8所以工)一。,2)-尸皮(切=0(0)=0且=0(0)”%,使得+,/(.)=minJ(以mHf充分行，若(0)=0即aQ.I)-C/J)-p)或二0即|(Z-力。加+p(b)u(B)f(B)-尸。)#=0“不妨取班e席(Z)则您)=0，所以10.-力以x=0-由引理知道Lu.-f=O取/(%)=x-a则有p(b)(b-a)(u,.(b)-)=Or)0b-a0所以u：(8)=y所以小是边值问题CD的解。得证，P93”4；就边值问题（2.28）建立虚功原理,解：由上一题知：(2.28)等价于rd/dv、，ddw、，Zw=-()+7V=/-(-j?4)=/43dx

21、axaxaxv(a)=0v(6)=0/23Avd|(LvTi)dx=p+qy)dx=02Qdxdx又因为迎/）一（九2）=上V-1）2小+/S。泊A所以v(旬=u(3)w(b)=u)MZy-工=Lo-f3所以仪”)(力J)=1(-力以+尸(坳(如-P)省与=0-2又因为珀）一（/）(外dudt.,-|pqut-fldxadxax=p(b)u(Z-所以得aQj)-(f)-p4=0即是（128）的解的充分必要条件为P93“5,试建立与边值I句题/rd%.Lu=r+=/ax)=u(5)=0的等价变分间题u解；设且v(a)=v(a)=OyQ)=y0)=O-ONLu-J)vdx=|rv(ix+|iv-Jvdxa9dxgdut*rdudv.-rvLT-;dxidx2dNdx(Z?)v(Z?)-u(Z?)v)十以.(优)v(a)+dx，9dx2dx2=/(b)v(b)-u(b)v(B)+u(a)v(a)+1-udx又v(a)=v(a)=v(b)=v(Z)=0,2pe/QrP,0所以(Lu-f)vdx=ur+|uv-fvdx4其卬仇凡必:+以p)心是一个双线性泛函.。办.所以边值间题的变分问题为“求wH；使得，Z(w,v)-Cf,v)=0,WwH；且v(a)=v(a)=0u(b)=u(6)=0“J()=:(儿)-(7/6.P104/4试就椭圆方程第