版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

1、4.3空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系空间两点间的距离公式学习目标导航1了解空间直角坐标系的建系方式.（难点）2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点.（重点、易错点）3 .理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.（难点）4.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题.（重点）I>阶段1认知烦习质疑基础初探教材整理1空间直角坐标系阅读教材P134P135 “例1”以上部分，完成下列问题.1. 空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点 0的二条直线分别为x轴、V轴、z 轴.这时就说建立了空间直角坐标系 Oxv乙其中点0叫做坐标原点， x轴、V

2、轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平 面，分别称为xOv平面、yOz平面、zOx平面画法在平面上画空间直角坐标系 Oxyz时，一般使/ xOy込，/ yOz=90°图示J .说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中， 让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向 z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系2.空间中一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x, y, z)来表示，有序实数组(x, y, z) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x, y, z)，其中x叫做点M的 横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐

3、标.° I®体验°判断(正确的打“V”，错误的打“X”)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0, b, c).(在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0, b,c).()(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0, c).(4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0, c).(【解析】(1)错误.x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为 0.(2)、(3)、(4)正确.【答案】(1)X V (3)VV教材整理2空间两点间的距离公式阅读教材Pl36 “练习”以下至Pl37部分，完成下列冋题.1. 点 P(x

4、, y, z)到坐标原点 0(0,0,0)的距离 |0P|= ,x2+ y2 + z2.2 .任意两点Pl(xi,yi,乙),P2(X2,y2,z2)间的距离 |PlP2|=寸(xi - X2 f + (yi - y2 f + (zi - z2 f.o微体验在空间直角坐标系中，A(- 1,2,3), B(2,1, m)，若|AB|=.而，贝U m的值为【解析】AB|= 1-2 2+ 2- 1 2+ 3-m 22(3 m)2= 100,3 m= ±0. m= 7 或 13.【答案】7或13介作探究通关小组合作型空间中点的坐标的确定卜例在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、

5、F分别是DiD、BD的1中点，G在棱CD上，且CG=4CD, H为C1G的中点，试建立适当的坐标系,写出E、F、G、H的坐标.【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求 点的坐标.【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系.点 E在z轴上，它的x坐 标、y坐标均为0,而E为DD1的中点，故其坐标为0，0, 1 .1 1由F作FM丄AD、FN丄DC,由平面几何知 FM =扌、FN贝U F点,-1 1 、坐标为2，2，0 .点G在y轴上，其x、z坐标均为0,又GD = %故G点坐标为0, |, 0 .117由H作HK丄CG于K,由于H为C1G的中点，故HK =?、CK=-

6、DK =7.故H点坐标为1 建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1) 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2) 充分利用几何图形的对称性.2求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其 两个坐标，再找出它在另一轴上的射影 (或者通过它到这个坐标平面的距离加上 正负号)，确定第三个坐标.再练一题1 在棱长都为2的正三棱柱ABC-AiBiCi中，建立恰当的空间直角坐标系, 并写出三棱柱ABC-AiBiCi各顶点的坐标【解】 取BC，BiCi的中点分别为0, 0i，连接OA, OOi,根据正三棱柱的几何性质，OA, OB, OOi两两互相垂直，且 OA=X2=3以0A, OB

7、，00i所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示，则正三棱柱ABC-AiBiCi各顶点的坐标分别为：AC 3, 0,0), B(0,i,0), C(0, i,0), Ai( 3, 0,2), Bi(0,i,2), Ci(0, i,2).求空间对称点的坐标卜例在空间直角坐标系中，已知点P( 2,i,4).(1) 求点P关于x轴对称的点的坐标；(2) 求点P关于xOy平面对称的点的坐标；求点P关于点M(2, i, 4)对称的点的坐标.【精彩点拨】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标.【自主解答】(i)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相

8、反数，所以对称点坐标为Pi( 2, i, 4).(2) 由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2( 2,1, 4).(3) 设对称点为P3(x, y, z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x = 2X2 ( 2) = 6,y= 2X ( 1) 1 = 一 3， z= 2 X ( 4) 4=一 12， 所以P3的坐标为(6， 3， 12).1求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题， 要掌握对称点的变 化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用 关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这

9、个结论.2空间直角坐标系中，任一点P x，y，z的几种特殊对称点的坐标如下： 关于原点对称的点的坐标是 P1 x， y， z ; 关于x轴横轴对称的点的坐标是P2 x， y， z ; 关于y轴纵轴对称的点的坐标是P3 x，y， z ； 关于z轴竖轴 对称的点的坐标是P4 x， y，z ; 关于xOy坐标平面对称的点的坐标是 P5X, y， z ； 关于yOz坐标平面对称的点的坐标是 P6 x, y, z ; 关于xOz坐标平面对称的点的坐标是 P7X, y, z.再练一题2. 已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点 M1, M关于xOy平面对称的点 M2 , M关于x轴、y轴对称的点M3,

10、 M4.【解】 由于点M与M1关于原点对称，所以M1( 2, 1, 3);点M与 M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以 M2(2,1, 3); M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变 为原来的相反数，即 M3(2, 1, 3),同理M4( 2,1, 3).探究共研型空间两点间的距离探究i已知两点p(i,o,i)与q(43 1),请求出p、q之间的距离.提示】|PQ|= 1 4 2+ 0 3 2+ 1 + 1 2 = 22.探究2 上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP匸|MQ|,请求出点M 的坐标.【提示】设M(0,0, z)，由|M

11、P匸|MQ|,得(1)2 + 02 + (z 1)2= 42 + 32+ ( 1 z)2,-z= 6. M(0,0, 6).例 如图4-3-1所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD匸3, AA1|=2,点M在A1C1上，|MC1 = 2A1M|, N在D1C上且为DQ的中点，求线段MN 的长度.【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点 M、N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解.【自主解答】如图所示，分别以AB, AD, AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知 C(3,3,0), D(0,3,0),|DD1|= |CC1|= |AA1|= 2,-C1

12、(3,3,2), D1(0,3,2), N为CD1的中点,-N 3, 3, 1 .M是A1C1的三分之一分点且靠近 A1点, M(1,1,2).由两点间距离公式，得|MN匸 3- 1 2 + 3- 12 + 1-222 .II再练一题3. 如图 4-3-2 所示，直三棱柱 ABC-AiBiCi 中,|CiC|= |CB|= |CA|= 2, AC丄CB, D，E分别是棱AB，BiCi的中点，F是AC的中点，求DE, EF的长度.图 4-3-2【解】 以点C为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系.CA、CB、CCi所在直线为x轴、y轴、z轴,|CiC匸 |CB|=|CA|= 2, C(0,0

13、,0), A(2,0,0), B(0,2,0), Ci(0,0,2), Bi(0,2,2),由中点坐标公式可得，D(1,1,0), E(0,1,2), F(1,0,0),|DE|=1-02+ 1- 1 2+ 0- 22=5,|EF匸0- 1 2+ 1-02+ 2-02=6.阶段3.体验落实评价(课堂回惓即时达标1. 点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A. (- 1,0,1), (- 1,2,0)B. (- 1,0,0), (- 1,2,0)C. (- 1,0,0), (- 1,0,0)D. (- 1,2,0), (- 1,2,0)【解析】 点A( 1,

14、2,1)在 x轴上的投影点的横坐标是一1,纵坐标、竖坐标 都为0,故为(-1,0,0)，点A(- 1, 2,1)在 xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是 0,故为(-1,2,0).【答案】 B2. 在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3 , - 4,- 5)两点的位置关系是()A .关于x轴对称B. 关于xOy平面对称C. 关于坐标原点对称D. 以上都不对【解析】 点P(3,4,5)与Q(3,- 4,- 5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标 互为相反数，所以两点关于x轴对称.【答案】 A3. 已知A(3,2,- 4), B(5,- 2,2)，则线段AB中点的坐标为 .【解析】设中点坐标为(xo, yo, zo),则xo =3+ 5,=42 4,2-2 4+ 2yo= 2 = 0, zo=2 = 1，中点坐标为(4,o, 1).【答案】(4,o, 1)4. 设 A(4, 7,1), B(6,2, z), AB|= 11,则 z=【解析】由 AB|=6 4 2+ 2+ 7 2+ z 1 2=11,解得z= 7或5.【答