前面介绍及力法和位移法

1、第8章渐近法8.1 概述前面介绍的力法和位移法，是分析超静定结构的两种基本方法，它们都必须求解多元联立方程组。当基本未知量较多时，其计算工作将是十分繁重的。因此，从20世纪30年代起人们就开始寻找新的计算方法，力图避免组成和解算联立方程，陆续出现了各种渐近法，例如力矩分配法、无剪力分配法、迭代法。这些方法都是以位移法为基础发展起来的渐近法，它们最大的优点是不必求解联立方程组，而且还可以直接求得杆端弯矩，运算式可以按照一定的步骤重复进行，因而比较容易掌握，适合手算。虽然，随着计算机的普及，这类手算的方法会有所减少，但是在许多场合下，仍为一种简便易行的方法。通过该种方法的学习可以加深了对结构受力的

2、理解，对实际工程亦有一定指导意义。本章只介绍力矩分配法和无剪力分配法。在力矩分配法中，有关计算的假定、杆端弯矩正负号的规定，以及选取基本结构，使之还原为原结构的基本思路都与位移法相同。8.2 力矩分配法的基本原理力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移刚架的计算。该法的理论基础是位移法，其分析当中引入了劲度系数和传递系数的概念，并且力矩分配法求解的基本原理可由位移法导入。8.2.1 劲度系数和传递系数的概念1 .劲度系数当杆件AB（图8.1）的A端转动单位角时，A端（又称近端）的杆端弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用Sab表示。它表示该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度，其值与杆件的线刚度1

3、=旦和杆件另一端（又称远端）的支座情况有关。l2 .传递系数当A转动时，B端也产生一定的弯矩，好比是近端的弯矩按一定的比例传到了远端一样，所以将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数，用CAB表示，即Cab=瞥或Mba=CabMab。近端固定，远端各种支座情况等截面直杆的劲度系数和传递MAB系数见表8.1。值得注意的是，当B端为自由或为一根轴向支座链杆时，显然A端转动时杆件将毫无抵抗转动的能力，故其劲度系数为零。第8章渐近法205图8.1表8.1各种等截面直杆的劲度系数和传递系数远端支承情况劲度系数SAB传递系数Cab固4i0.5较支3i0滑动i-1自由或轴向支座链杆08.2.2 力

4、矩分配法的基本原理以图8.2a所示刚架为例来说明。此刚架采用位移法求解时，只有一个基本未知量,即结点转角乙，其典型方程为：iiZi+Rp=0图8.2绘出Mp、M?图(图8.2(b)、(c),可求得自由项和系数R1PmAbmAcmAdM；j(8-1)式中，Rp是结点固定时附加刚臂上的附加反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于汇交于结点A的各杆固端弯矩的代数和M；,也就是各杆固端弯矩所不能平衡的差额，所以又称为结点上的不平衡力矩。r114iAB3iACiADSABSACSADSAj(8-2)式中，SAj为汇交于结点A的各杆端劲度系数的总和。解典型方程得7RipMAjZ1-r11SAj按叠加法M=Mp雨Z

5、1计算各杆端的最后弯矩。各杆汇交于结点A的一端为近端,另一端为远端。各杆近端弯矩为MABmAb-SB-(MAj)mAbAB(MAj)SAj(8-3)MACMAc-A(MAj)MAcac(MAj)SAj匚S“cMADmAd(MAj)mAdad(MAj)SAj式(8-3)中，等号右端第一项为荷载产生的固端弯矩，第二项为结点转动乙角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分给近端，因此称为分配弯矩。而AB、AC、AD等为分配系数，其计算公式为AjSAjSAj(8-4)(8-5)M DA M DACADADMAj显然同一结点各杆分配系数之和等于1。各杆远端弯矩为:MBAMBaaba

6、b(MAj)MFacabab(MAj)SAjMCAMCACACAC(MAj)式(8-5)中，等号右边第一项仍是固端弯矩，第二项是由结点转动乙角所产生的弯矩，就好像是将各近端的分配弯矩按传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。据上述分析过程可知，不必绘出Mp、疝图，也不必列出典型方程，就可以直接按以上结论计算各杆端弯矩。其过程可形象地归纳为以下几步：首先，固定结点。加入刚臂，各杆端有固端弯矩，而结点上产生不平衡力矩，由刚臂承担。其次，放松结点。取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上加上一个等值反向的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配

7、给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端得到传递弯矩。最终，原结构各杆近端弯矩等于固端弯矩加分配弯矩，各杆远端弯矩等于固端弯矩加传递弯矩。【例8-1】试作如图8.3(a)所示刚架的弯矩图。ABACD(L4W5+40杆端分配系故固喘方知解:强方情】心士分配弯矩+22闻与-曲9最后老麻启03330.222+30-75图8.3(1)计算各杆端分配系数。为了计算方便，令iABEIiAC一42。则由式(8-2)有SAj4iAB3iACiAD由式(8-4)得AB0.44531AC9(2)计算固端弯矩。MFAmAbmAdXJ?1”公传递寿ZB.1413130kNm4m120.333

8、40kNAD0.222230kNm4m12350kN4m40kN75kNmmDa50kN4mmACAC83一40kN1625kNm4m30kNm(3)进行力矩的分配和传递。结点MAjA的不平衡力矩为403075kNm5kNm将其反号并乘以分配系数即得各近端的分配弯矩，再乘以传递系数即得各远端的传递弯矩。在力矩分配法中，为了使计算过程的表达更紧凑、直观，避免罗列大量计算式，整个计算可直接在图上书写(或列表计算)，如图8.3b所示。(4)计算杆端最后弯矩。将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩叠加，便得到各杆端的最后弯矩。据此即可绘出刚架的弯矩图，如图8.3?所示。8.3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚

9、架8.2节结合单个结点的刚架，说明了力矩分配法的基本原理。对于只有一个刚结点的简单情况，一次放松即可消除刚臂的作用，所得结果实际是精确答案。对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用8.2节所述方法便可求解。求解步骤是：第一步，固定所有结点，计算各杆固端弯矩、分配系数、传递系数及各结点不平衡力矩；第二步，依次轮流放松各结点，即每次只放松一个结点，其他结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩依次轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时，即可停止分配和传递。最后，根据叠加原理求得结构的各杆端弯矩。下面结合【例8-2】来说明。【例8-2】试用力矩分配法计算如图

10、8.4(a)所示连续梁，并绘弯矩图。分配系数0.40.6八50.5固端看建B第一次分配传递c第一次分配传递B第二次分配也递C第一次分配传递B第三次分配传递伫第三次分配依逆00+18D-XQ'+36-0+3.6-X03+7J+0.27-X0.5+0.”-90.0+9A.0+51.0X。心+27.018,036,0+10.8xa5a+3J-L35也5-2J+O1X0£+0.4-45.0-36,0KO.o-，？0-0,2最后尊矩+21.87-+43.74T3.74包,9一肛9Q图8.4解:1)固定结点结点BSBA4iBA41160.667SBC4iBc41.561.0所以SBA0.

11、6670.4CBABASBASBC0.6671SBC10.6CbcBCSBASBC0.6671结点CSBC4iBC4BC1.56)1SCD3icD3261所以SCB10.5CCBCBS3BSCD11SCD10.5CCDCDS3BSCD11(2)计算各杆的固端弯矩mAbMBAmDc0McbMbcql2_2306290kNm1212Mcd3Pl340645kNm1616(1)计算各结点的分配系数和传递系数。12)2120(3)计算结点不平衡力矩结点BMFMFaMFC90kNmBjBABC结点CM；M；bM；d45kNmCjCBCD2)放松结点在结点B和C轮流进行力矩分配和传递计算。为了计算时收敛速

12、度较快，分配应从结点不平衡力矩值较大的结点开始，本例应先放松B结点。(1)第一次放松结点B,结点C仍然固定。按单结点的力矩分配法，在结点B进行分配和传递。放松结点B,相当于在结点B处加一不平衡力矩的负值-(-90)kNm,杆端BA和BC的分配弯矩为Mba0.49036kNmMbc0.69054kNm对杆端AB和CB的传递弯矩为C1Mab3618kNm2C1Mcb5427kNmCB2经过分配和传递，结点B的力矩已经平衡。(2)再固定结点B,第一次放松结点Co同样按单结点力矩分配法，在结点C进行分配和传递。此时结点C的不平衡力矩除杆端CB和CD的固端弯矩外，还要加上由结点B放松而产生的传递弯矩，因

13、此_F_C_MCj45Mcb452772kNm放松结点C等于在结点C加一不平衡力矩的负值(-72kNm),对杆端CB和CD的分配弯矩为Mcb0.5(72)36kNmMcd0.5(72)36kNm杆端BC和CD的传递弯矩为C1Mbc-(36)18kNm2Mcc0经过分配不平衡力矩已经被消除。此时结点B由于接受了由结点C传来的传递弯矩Mcc,使这个结点的力矩又不平衡，也就是说刚臂对结点B又产生了新的结点不平衡力矩，需要再次加以分配，以上称为力矩分配法的第一轮计算。3)第二次放松B,再固定结点Co这时结点B的不平衡力矩等于由结点C传来的传递弯矩，即MFj18kNm杆端BA和BC的分配弯矩为Mba0.

14、4187.2kNmMbc0.61810.8kNm杆端AB和CB的传递弯矩为C1Mab7.23.6kNm2C1Mcb10.85.4kNm2(4)再固定结点B,第二次放松结点Co在结点C进行分配和传递，此时在结点C处的不平衡力矩为5.4kNm。(5)第三次放松结点B,再固定结点Co在结点B进行分配和传递，此时在结点B处的不平衡力矩为-1.35kNm。(6)再固定结点B,第三次放松结点Co在结点C进行分配和传递，此时结点C的不平衡力矩已减小到0.4kNm。可见，经过逐次在B和C进行分配和传递，各结点处不平衡力矩都已趋于很小，说明刚臂约束作用已经消失，此时结构已经接近实际状态。因此，计算工作可以停止。

15、在进行最后一次分配后，为了使邻近结点不再产生新的不平衡力矩，就不要再向它们进行力矩传递。各轮分配和传递的计算，实际是梁由固定状态逐步接近实际状态的过程。3)计算杆端的最后弯矩将各杆端的固定弯矩和屡次的分配弯矩及传递弯矩相加，即得最后弯矩。汇交结点的各杆最后杆端弯矩代数和应等于零，可以作为校核之用。上面的全部计算过程，通常可在框图表格中进行。【例8-3】试用力矩分配法计算如图8.5(a)所示刚架，并绘弯矩图。AD ABA0.43|D.57|0 -4UO I7J22J1T75161 2 M-0.1Q008 dlltag电9DA K6 OKI 萼9.45 D4ao。11.4_工49T与1.07-03

16、7-0129-0.42446 一卷5EJi27S-Q15图8.5解：用力矩分配法计算无侧移刚架与计算连续梁的不同之处，在于力矩分配和传递时，应将柱子考虑在内，所以书写的运算表格，比连续梁稍微复杂些。(1)计算分配系数和传递系数EI4设=1，则iAD1,iAB,iBE1,iBC243各杆的转动刚度为Sad4iAD414BASBESBC4iAB1634iBE 4163分配系数为结点ASadADSADSAB4 16/30.43ABSABSADSAB16/3-0.5716/3结点B16/3传递系数为SBE4 6 16/30.35BASBASBCBE0.264 16/3 6SBCSBASBCSBEBC0

17、.394 16/3 6CADCBECbc0(2)计算固端弯矩FBAmAbFBCql2830 42 26215 42830 22 46230kN m160 806640kN m(3)力矩分配和传递计算为了缩短计算过程，从结点不平衡力矩较大的结点A开始放松，运算过程如图8.5(b)所示。(4)绘弯矩图，如图8.5(c)所示。本题中，当调整AB杆的抗弯刚度2EI为4EI时，重复上述过程，求其弯矩图，如图8.5(d)。比较8.5(c)、(d)两图，发现当AB杆刚度增大时，该杆两端杆端弯矩减小，跨中弯矩相应增大，当然对其他相邻杆也产生影响，读者可自行分析，这一简单工作对我们今后的工作中会有一定指导意义。

18、在对框架梁竖向荷载进行内力分析时，我们希望调整某杆的内力，就可以快速地判断出是增大还是减小杆刚度来达到目的。【例8-4】试用力矩分配法计算如图8.6(a)所示刚架，并绘出弯矩图。解：刚架具有两个对称轴x-x和y-y,因此，可取结构的四分之一进行计算。点B和G分别取为固定端和滑动支座，如图8.6(b)所示。60KN60KN3m60KNmW ( KN m)图8.6(1)计算分配系数和传递系数。EI8仅=1 ,则喘 1 , iAG 一。43转动刚度为Sab4iAB4SAG8iAG 一3分配系数为AB44 8/30.6AG8/34 8/30.4(2)计算固端弯矩.MFAmAgmGaf 60 4M ab

19、 30kN m81230 1.522.5kN m31230 1.511.25kN m6放松结点A,进行弯矩分配和传递，计算过程如图8.6(c)所示。(4)绘弯矩图，如图8.6(d)所示。需要注意的是，本节所讲的力矩分配法只适用于计算结点无线位移的刚架和连续梁。对于有侧移刚架，除了附加刚臂上有附加反力矩需要消除外，附加链杆上还有反力需消除，所以不能直接应用力矩分配法，需要修改或与其他方法联合使用才能求解。在此方面已经提出了很多方法，如力矩分配法与位移法联合应用、无剪力分配法、迭代法。以下仅介绍无剪力分配法。8.4无剪力分配法8.4.1 无剪力分配法的计算方法单跨对称刚架是工程中常用的一种结构形式

20、，在反对称荷载作用下计算分析可采用一种特殊的力矩分配法一一无剪力分配法。现以如图8.7(a)所示单跨对称刚架为例，来说明无剪力分配法的基本概念和计算方法。图8.7图8.8单跨对称刚架上的荷载，可将其分为正、反对称两组。在正对称荷载作用下(图8.7(b),取一半结构(图8.7(d)进行计算时，因为结点B只有转动，没有线位移，故可直接用力矩分配法计算。在反对称荷载作用下(图8-7(c),取一半结构(图8-7(e)计算，此结构有如下变形和受力特点：杆BC有水平位移但无相对侧移，称为无侧移杆；竖杆AB两端虽有侧移，但由于支座C处无水平反力，故杆AB剪力是静定的，称为剪力静定杆。在此种情况下可采用无剪力

21、分配法进行计算。现以图8.8(a)来研究这个问题。在结点B上加上附加刚臂，使其不能转动，但它仍可以自由地作水平移动，如图8.8(b)所示。因而在AB杆的B端相当于有一个滑动支座，此支座既可传递弯矩，又允许B点水平方向移动，符合刚架B点实际受力情况。AB杆相当于一端固定一端滑动的梁，如图8.8(c)所示。因为AB、BC两杆都可视为单跨超静定梁，所以这种结构可以直接用无剪力分配法计算。显然，这样用无剪力分配法计算的结构是有移动的刚架。这相当于在基本结构移动到某位置以后，再进行力矩的分配和传递。在放松结点进行力矩分配和传递过程中，刚性结点的移动不受限制，再应用叠加原理，可求得杆端最后弯矩。具体步骤如

22、下：(1)固定结点而剪力为 即水平荷载由式中B(图8.8(b),按A端为固定支座，B端为滑动支承计算固端弯矩fqLM ab-，3QabqL,AB杆下端剪力所平衡。F33M bc Fl ql l1616F qlfqL2M；a 6Qba 032Fql , M cb 016(2)放松结点B,进行力矩分配和传递。此时结点B不仅发生转动，同时还产生水平移动，如图8.8(d)所示。由于柱AB为下端固定上端滑动，当上端转动时柱的剪力为零，因而处于纯弯曲受力状态(图8.8(e),这实际上与上端固定下端滑动而上端转动同样角度时的受力状态和变形状态(图8.8(f)完全相同，所以其转动刚度SBAi,SBC3i,则结

23、点B的分配系数为i13i3BA-BC-i3i4i3i4传递系数为CBA1CBC0分配弯矩和传递弯矩计算如图8.9(a)所示。(3)绘出最后弯矩图，如图 8.9(b)所示。图8.9由以上计算可以看出，当AB杆B端得到分配弯矩时，将以Cba1的传递系数传到A端，这说明由于放松结点B所产生的弯矩，沿AB杆全长为常数，因而附加剪力为零。因为支座C处为一竖向链杆支座，故无水平反力，因此AB柱的剪力为零。这样，在放松结点时，杆件内的剪力将保持不变。由于在力矩分配过程中，杆件内不产生新的剪力，所以称为无剪力分配法。C耳D产小)图8.10无剪力分配法可推广到多层的情况。如图8.10(a)为两层单跨对称刚架，在

24、反对称荷载作用下，可取如图8.10(b)所示半个刚架进行计算，这个半刚架结构可用无剪力分配法计算。如图8.10(c)所示基本结构在荷载作用下，将产生虚线所示的变形，各层竖杆两端均无转角，但有侧移。结点B、C的水平位移分别为B、C。在考虑上层相对线位移时，可将下层视为不动。故BC杆相当于下端固定上端滑动的梁，如图8.10(d)所示。在考察下层AB杆的相对线位移时，因为上层是支承在下层上的，所以上层将与下层一起移动。取AB杆来看，它也相当于下端固定上端滑动的梁，但在竖杆顶应承受上层传来的剪力QqL(图8.10d)o由此可知，无论刚架有多少层，每层立柱都可以视为上端滑动下端固定的梁，而竖杆承受以上各

25、层传来的剪力。此剪力等于以上各层所有水平荷载之和，这样就可以求出各层竖杆的固端弯矩。然后将各结点依次轮流放松，进行力矩分配和传递。因为各竖杆均视为一端固定另一端滑动的梁，所以，其转动刚度均等于各杆的线刚度i,而传递系数均为-1。横梁CD、BE可视为一端固定一端钱支的梁，以下将结合【例8-5】给出计算过程。【例8-5】试用无剪力分配法计算如图8.11(a)所示刚架，并绘出弯矩图。设EI=常数。解：由于刚架是对称的，所以可将荷载分解为对称和反对称两部分，如图8.11(b)和(c)所示，然后分别计算。其中对称荷载部分对结构杆件不产生弯矩，只引起轴力，所以只需计算反对称荷载部分。考虑刚架对称性，取如图8.11(d)所示半刚架进行计算。5QKN(b)50KNAB50KN100KN*图8.11(H)KNC5OKNA工50KNA50KNl(K)KN150(1)计算分配系数和传递系数.为了便于计算,EI转动刚度为SAHS3G分配系数为(2)计算固端弯矩。iAHAHACiCG2CG26SACSAHSAHSACiAC一3S3AAC64/34/3iCE0.8180.182S3A4/3SCASceSCGSCG6