平行四边形的判定

1、精 华 名 师 辅 导教学内容:平行四边形的判定【基础知识精讲】1.关于平行四边形的判定平行四边形的判定分为两大类，共有5种判定方法.用定义来判定 根据平行四边形的属性，如果两组对边分别平行，可以判定它是平行四边形.用判定定理来判定，可从平行四边形性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理.2.关于平行四边形的判定定理平行四边形前三个判定定理的顺序与它的性质定理是对应的.判定定理1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形是根据四边形内角和定理和平行线的判定，由平行四边形定义证明的.判定定理2.两组对边相等的四边形是平行四边形，可以由判定定理1证明.判定定理3.对角线互相平分的四边形是平行四

2、边形，可根据判定定理2，分别证明两组对边所在的三角形全等从而得出两组对边分别相等.判定定理4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这个定理的证明可用平行四边形的定义或者判定定理1、2、3来证明.3.平行四边形性质及判定的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等，两角相等、可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其它判定

3、定理还简单.【重点难点解析】重点：平行四边形的四个判定定理难点：平行四边形的判定和性质的灵活运用例1 如图4.4-1，已知ABCD中，EF在对角线BD上，并且BEDF.求证：四边形AECF是平行四边形. (用两种方法证明)分析 本题考查应用平行四边形判定定理解题的能力，并考查一题多解的技能.根据题给条件及图形的实况，采用最优的证法.如连结AC，有“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证最简便.其次通过证明ADFBCE，得AFCE.再利用角相等证平行.从而可运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明.证明一：连结AC四边形ABCD是平行四边形OAOC，OBOD(平行四边形对角线互相平

4、分)又BEDF，OEOF四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)证明二：四边形ABCD是平行四边形ADBC(平行四边形的对边相等)ADBC(平行四边形定义)ADFCBE(两直线平行，内错角相等)BEDF(已知)BCEDAF(SAS)AFCE，1(全等三角形对应边对应角相等)34(等角的补角相等)AFCE(内错角相等，两直线平行)四边形AECF是平行四边形例2 已知：如图4.4-2，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到E，延长DC到F，使BEDF，AF交BC于H，CE交AD于G.求AGECHF分析 本题考查综合运用平行四边形性质定理和判定定理解题的能力.根据题给条件及图

5、形的特点，可巧妙地运用平行四边形的判定定理判定四边形AFCE和四边形AHCG是平行四边形.再运用平行四边形性质及等式性质，可以迅速地找到AGE与CHF全等的条件.证明一：四边形ABCD是平行四边形，ABCD(平行四边形对边相等)又BEDF，BE-ABDF-DC，即AECF.AECF.四边形AECF是平行四边形.AFEC.又AHGC，AGHCAHCG是平行四边形(平行四边形的定义)AHGC，AGCH(平行四边形对边相等).AFEC，AHGC，AF-AHEC-GC，即HFEG.在AGE和CHF中，AGECHF(SSS)证明二：注意证明一两次运用了平行四边形的判定定理，得到AGE与CHF三边对应相等

6、的条件.如果采用角相等的条件，那么证明过程更简捷.四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABCD，ADBC.又BEDF，BE-ABDF-DC，得AECF.AECF，AFCE是平行四边形.EF(平行四边形对角相等).1B，B2，12在AGE和CHF中，EF，AECF，12AGECHF(ASA)例3 如图4.4-3，已知在ABCD中，AECF，M、N分别为DE、BF的中点.求证：ENFM是平行四边形.分析 本题考查应用平行四边形判定定理进行判定的能力.从图形分析，要证明四边形ENFM是平行四边形，只要证明EMNF，因为M、N分别为DE、BF的中点，所以只要证明DEBF.这个条件可以从证四边形DEB

7、F是平行四边形得到.于是证题思路畅通了.证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD又AECF，DFBE，DEBF是平行四边形.DEBFM、N分别为DE、BF的中点，MENF.因此ENFM是平行四边形.【难题巧解点拨】例1 如图4.4-7，CD为RtABC斜边AB上的高，AE平分BAC交CD于E，过E点作EFAB，交BC于F点.求证：CEBF分析 由于要证明的结构中的两相等线段CE和BF分散，不在全等的两个三角形中，可利用定理“平行线间的平行线段相等”将要证明的结论中的两线段集中到两全等三角形中，再通过证明这两个三角形全等来证这两条线段相等.如过E作EGBC交AB于G，则EGBF.于是

8、只要证AEGAEC即可.证法一 过E作EGBC交AB于G，则EGABEFAB，EGBFCD为RtABC斜边上的高，BAC+B90°，BAC+ACD90°BACDACDAGEAE平分BAC2又AEAEAGEACECEEG，CEBF证法二 如图4.4-8，过F作FGAE交AB于G，则23EFAB，FGAEAE平分BAC12，13由证法一可知ACDBAECGFB，CEBF例2 如图4.4-9，ABCD中，E在AC上，AE2EC，F在AB上，BF2AF，如果BEF的面积为2cm2.求ABCD的面积.分析 本题考查面积变换和平行四边形的性质，考虑到AEB与BEF过E点的高线相同，则S

9、BEASBEFBAAF.这样再利用平行四边形的性质，就得到解题方法，若考虑求边长，求高线再求面积，则解题变得十分困难.解：ABCD，AC是对角线，SABCD2SABCF在AB上，且BF2AFABE和EBF中过E点的高线相等SBEASBEFABBF(AF+FB)BF32即：SBEABEF，同理可得：SABCSABESBEFSABCD×SBEF×29(cm2)，即ABCD的面积是9cm2.【课本难题解答】例1 如图4.4-10，已知四边形AEFD和EBCF都是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.(P1444.2A组第13题)分析 从题目给出的条件看，四边形AEFD和E

10、BCF都是平行四边形，根据平行四边形的性质可知，它们的对边平行且相等，对角相等；从要证的结论看，判定1，判定2，判定4都可用来判定四边形ABCD为平行四边形，显然用判定4较好.证明：四边形AEFD，EBCF都为平行四边形ADEF，EFBC，ADBC四边形ABCD为平行四边形例2 已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以哪两条为对角线，其余一条为一边，可以画出平行四边形?(P1444.2B组第1题)分析 一个平行四边形的对角线与边之间应满足什么条件时，此平行四边形可画出呢?如书中图，四边形ABCD为平行四边形，在AOB中，应有AO-BOABAO+BO，即AB，这就是平行四边形的边与

11、对角线之间所要满足的关系.解：18以22cm和16cm长的线段为对角线，18cm长的线段为边可画出平行四边形.同理以22cm和18cm长的线段为对角线，以16cm长的线段为边可画出平行四边形例3 已知线段a10cm，b14cm，c8cm，以其中两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画几个形状不同的平行四边形?分析 如上题图，平行四边形的边和对角线满足AB-BCACAB+BC解：可以画3个形状不同的平行四边形，它们是：以a，b为边，c为对角线；以a，c为边，b为对角线；以b，c为边，a为对角线.【命题趋势分析】平行四边形知识的运用包括三个方面，一是直接运用平行四边形的性质解决某些问题，例如求

12、角的度数和线段的长度，证明角相等或互补、证明线段相等或倍分等，二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行，三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形性质去解决某些问题，三种类型的运用，历来为考试热点，填空、选择、判断、解答等题型均可出现，而以解答题的形式为主.【典型热点考题】例1 如图4.4-4，已知在ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且AECF.求证：BEFD分析 要证BEFD，只要证明BFDE是平行四边形.从已知条件易证BFDE.故本题得证.证明：ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC又AE，BFEDBFEDBFDE是平行四边形BEFD例2 如图4.4-5，ABC

13、D中，G、H是对角线BD上两点，且BHDG，BEDF.求证：EHFG是平行四边形.分析 要证明EHFG是平行四边形，可以考虑证明其两组对边相等，但也可以考虑只证FGEH，因为已知条件给出四边形EHFC两边对应相等，易证BEHDFG.从而得到EHGF，同时BHEDGF.FGHEHG.故EHGF.EHGF.EHFG为平行四边形.证明：在BEH和DFG，BHDG(已知)，且ABDC，FDGEBH又BEDF，BEHDFG EHGFEHGFGH，EHGFEHGF，EHFG是平行四边形例3 如图4.4-6，已知ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H.求证：四边形EGF

14、H为平行四边形.分析 本题考查平行四边形的判定定理的掌握程度，那么多的判定方法，选择哪一种呢?考虑到ABCD及中点，易证：AFCE和EBFD，从而GEFH，GFEH，如若采取先确定判定方法，再找条件，将会使解题复杂化.证明：ABCD，ADBC又E、F分别为AD、BC的中点AEFC EDBF，有AECF及EBFDAFEC，BEFD 即GFEH GEFH四边形EGFH为平行四边形【同步达纲练习】一、选择题1.下列条件中，能判定是平行四边形的条件的是( )A.一组对边相等B.对角线互相平分C.一组对边平行D.两对角线互相垂直2.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一

15、组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等3.如图4.4-11，EF过ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB4，BC5，OE1.5，那么四边形EFCD的周长是( )A.16B.14C.12D.104.能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.对角线互相垂直B.对角线互相垂直且相等C.对角线相等且交角为60°D.对角线互相平分5.两直角边不等的两个全等的直角三角形能拼成平行四边形的个数( )A.4B.3C.2D.16.判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边相等，另一组对边平行B.一组对角相等，一组

16、对边相等C.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行D.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等7.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图4.4-12，已知ABCD的对角线交点是O，直线EF过O点，且平行于BC，直线GH过O且平行于AB，则图中共有( )个平行四边形.A.5B.6C.7D.109.能够判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直C.两条对角线互相平分D.一对邻角互补10.以下结论正确的是( )A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形B.一边长为5cm，两条对角线分别是4cm和6c

17、m的四边形是平行四边形C.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是平行四边形二、填空(3×1030)1.一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且a2+b2+c2+d22ac+2bd，则这个四边形是 .2. ABCD中，AB2，BC3，B，C的平分线交AD于E、F，则EF .3. ABCD的周长为80cm，对角线AC、BD相交于O，若OAB的周长比OBC的周长小8cm，则AB cm.4.四边形中，任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是 四边形.5.延长ABC的中线AD到E，使DEAD，则四边形ABEC是 四边形.6.过ABCD的顶点A、C分别作对角线B

18、D的垂线，垂足是E、F，则四边形AECF是 .7.已知等腰三角形ABC的一腰，AB9cm，过底边上任一点P作两腰的平行线分别交AB于M，交AC于N，则AM+PN .8.用两个全等三角形拼成的四边形，有下列说法一定是平行四边形，可能是平行四边形，一定不是平行四边形，其中正确的说法是 .9.四边形ABCD中，A50°，欲使四边形为平行四边形则：B，C，D.10.已知四边形ABCD中，ADBC，分别添加下列条件，ABCD，ABDC，ADBC，AC，BC，能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是 .三、解答题1.如图4.4-13，已知AC是ABCD的一条对角线，BMAC于M，DNAC于N，求证：四边形BMDN是平行四边形.2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，且OAOC，OBOD，AOD的周长比AOB的周长长4cm，ADAB21，求四边形ABCD的周长.3.在ABCD的对角线AC上取AFCE，作EHBC，垂足为H作FGAD，垂足为G，求证：GH与EF互相平分.4.在四边形ABCD中，ABCD，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交CD于F，且OEOF，求证：ABCD是平行四边形.5.如