2018年高考数学一轮复习专题2.3函数的单调性与最值(讲)

1、第03节函数的单调性与最值【考纲解读】考点考纲内容5 年统计分析预测函数的单调性与最值1 理解函数的单调性， 会判断函数的单调性.2.理解函数的最大(小) 值的含义，会求函数的 最大(小)值.2014?浙江文 7;理 6, 15;2015?浙江文 12;理 10;2016 浙江理 18;2017?浙江 5, 17.1.比较函数值大小2.确定函数的最值(范围)3. 备考重点：(1)判断函数的单 调性方法；(2) 求函数最值的方法；(3) 利用单调性解不 等式、确定参数取值 范围。【知识清单】1 函数的单调性D D 5 I上的任意两个自变量x-、x2，当为：:x2D D I上的任意两个自变量x1、

2、x2，当x2时，都有f为f x2，那么就说函数f x在区间D上是减函数.对点练习判断正误(在括号内打或“x”)对于函数 f(x) , x D,若对任意 xi, X2 D,且 xiMX2有(x1-X2)f(x1) -f(x2)0，则函数f(x)在区间 D 上是增函数.()1函数 y = -的单调递减区间是(一30)U(0,+).()x对于函数 y = f(x)，若 f(1)f(3)，贝Uf(x)为增函数.()函数 y=f(x)在1, +3)上是增函数，则函数的单调递增区间是1,+3).()(1).增时，都有f为：:：fX2，那么就说函数f X在区间D上是增函数；(2)减函数：若对于定义域内的某个

3、区间【答案】(1)V(2)X(3)X(4)x【解析】(刃此单调区间不能用并集符号连接，取百二则f(-l)f(l),故应说成单调递澜区 间为(CO J 0) )和(4 +8).扫)应对任意的執裳”成立才可乩若 f(x) = x, f(x)在1,+s)上为增函数，但 y= f(x)的单调递增区间可以是 R.2.函数的最值1. 最大值：一般地，设函数y = f x的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) 对于任意的x，都有f x M；(2) 存在x I，使得f心=M那么，我们称M是函数y = f X的最大值2. 最小值：一般地，设函数y二f x的定义域为I，如果存在实数m满足：(1) 对于任意的xI

4、，都有f x _m；(2) 存在x I，使得f冷=m.那么，我们称m是函数y二f x的最小值.对点练习【2017 厦门质检】函数f(x) =g)- log2(x+ 2)在区间1,1上的最大值为 _.【答案】31【解析】由于y=()x在 R 上单调递减，y=log2(x+2)在 1,1上递增，所以f(x)在31,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f( 1) = 3.【考点深度剖析】函数的单调性与最值是高考考查的重点、热点.常常以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用(解不等式、确定参数的取值范围)、研究函数的最值等，有时与导数综合考查，题型涉及选

5、择题、填空题及解答题多种.【重点难点突破】考点 1 单调性的判定和证明【1-1】【2017 阜阳模拟】给定函数y=x2,y=log1(x+1),y=|x1|，y=2x+1.2其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A.C.【答案】B【鮮析】尸d在D上递增；T+1在01)上递増且0f(X2)，贝Uf(x)的解析式可以是()1A.f x=(x1)2B .f x=exC.f x=D .f x=ln(x+1)x【答案】CB.D.【解析】根据条件知，Hx）在（0,+8）上单调递减.对于L/（%）=（%-I）在山+上单调逼増，排除阳对于眄/（x）=在十8）上单调递増，排除BJ对于 G /（%）=-在

6、 +8）上单调递减，C正确；X对于 D,f x=ln（x+1）在（0,+s）上单调递增，排除 D.【领悟技法】1. 利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2性质法：（1）增函数增函数二增函数，减函数 减函数二减函数，增函数-减函数二增函数，减函数-增函数二减函数；（2）函数-f x与函数f X的单调性相反；k（3）k 0时，函数f x与的单调性相反（f x =0）；f （x）kk : 0时，函数f x与的单调性相同（f x = 0）.f （x）2. 导数法： x -0在区间 D 上恒成立，则函数f x在区间 D 上单调递增；fx 0，所以函数y=e

7、x-x在(0,+8)上是增函数.【变式二】【2017 山西孝义二模】函数f (x) =2x2_mx 3，当x-2：)时是增函数，当(-：，-2时是减函数，则f(1)等于()A. -3B. 13C. 7D.5【答案】B【解析】由题意知函数f(x)的对称轴xb=m= _2，所以m - -8，所以2a 4f (1) =2 8 3 =13，故选 B.考点 2 函数的单调区间2【2-1】求函数f(x= x+2 x+3的单调区间【答案】单调递增区间为(一：，一1和0,1；单调递减区间为1,0和1, +：).x2+2x+31x 0-2x+3,x 0得兀或因此跚尸嗨I（/-3H2）的定义域为2令应=/一3兀十

8、2, = logju ,由于内层函数1*二/一3无+2在（TC）上单调递増2外层函魏尸0起为单调递减国数，由复合函数得单调性可知，函数尸1吧（/-艮十2）的递増区间I2是：,1，故选 A.【领悟技法】幕函数y = x正弦函数y二sin x单调递减区间为-：,0和0,：kx单调递增区间为,0和0,：单调递减区间为(a 0且a = 1)单调递增区间为(_oCi , +=C )单调递减区间为单调递增区间为没有单调性单调递增区间调递减区间0,:0,:反比例函数y在0,二上递增对数函数y = loga指数函数y = ax在0,上递减二叽衣单二3:一 2*2 *OxOa=logaxOx1y|a00a11O

9、1Xa 1y(k0)0. a : 10 a :1:0:=0.工0nn3n2y=xaa=-2n3n-nn12yy卫a1y=?O2. 图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3. 复合函数法：对于函数y = f |g 0,得Q2或0) /t=xa4在(8,-2)_h是减的数且y=lot在(5十 8)上是减函数，朗数fb)在(一8-2)3上是增函数，即 f(x)单调递增区间为(g, 2).2【变式二】函数y = x -2x-3的单调递增区间为 _ ._【答案】-1,1和3,壯.【解析】作出函数y = x2-2x 3的图象如下图所示，考点 3 利用单调性确定参数

10、取值范围【3-1】【2017 山东济南模拟】 若函数f(x) = x2+ 2ax与g(x) = (a+ 1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A. (1,0)B.(1,0)U(0,1C. (0,1)D. (0,1【答案】D【解析】f x= x2+2ax= (xa)2+a2在1,21上是减函数，二a乞1. 又g x=(a+1)1x在1,2上是减函数.a+11, a0.由知，0a_1.【3-2】【2017 浙江“超级全能生” 3 月联考】已知在：，1 1上递减的函数f x = x 2tx 1,-1,1和.的单调递增区间为且对任意的,x，总有f*)f(X2庐2，则实数的取值范围为()

11、A.卜、运.2B.1.2C.2,3D.1,2 1【答案】B【解析】由题意在上递减得1,由对任意的西展岂“+山 总有)-/何)| 得fM详一/匕)冬2即/(0)-/2,?2,因此1tf(a+ 3)，则实数a的取值范围为_ .【答案】(3,- 1)U(3 ,+)/ a0f【解析】由已知可潯百+3込解得一310an = fn n N*，且 空是递增数列，则实数的取值范围是A. (1,3) B.1,21 C. (2,3) D.24,3丿【答案】C3-aAOa 3【解析】因为 灯？是递增数列，所以a 1,解得 a 1,即(3 a$10 6 va11an2或ac122 : a 3,故选 C.考点 4 函数

12、的单调性和最值及其综合应用11【4-1】函数f(x)=-在区间a,b上的最大值是 1,最小值是了，贝Ua+b=_.x 13【答案】6【解析】易知f(x)在a,b上为减函数，1匸 7 =1,即丄=1b-13,4【4-2】【2017 浙江，17】已知aR,函数f(X)X a| a在区间1 , 4上的最大值是x5,_则的取值范围是.I 答案】【解析】a= 2,b= 4.a+b= 6.f x-2k - k：0,则的取值范围是（)试题分析：朕4播+計4同,分类讨论：x4A1.当&日寸,fx ax-a 2a x?XX9函数的最大值2a-4 = 51/.a = -,舍去；22.当&兰4日寸，

13、/(X) =X+- +A=X+5止匕时命题成立;XX3.当4 ab时，ab=a；当a-%）-（,即/（兀寂）在仏2）有解因为函数/（刃=工闰在XE1.+X）递増*所以一Me蕊在口他）上有解只需1f11-2kjk，解得k-，即则的取值范围是、一，乜，故答案为 一，址（.42 丿（4丿【易错试题常警惕】易错典例：函数y iogjX2-4X-5的单调递减区间为 _ ._3易错分析：求单调区间时，只顾及到内层二次函数的单调区间，而忽视了函数定义域的重要 性.正确解析：自变量x满足x2_4x -5 - 0,解得x :：-1或x 5，2令u=x -4x-5，y=logjU，3则内层函数U=X2-4X-5在

14、区间-：，-1上单调递减，在区间5,二 上单调递增,而外层函数yTog在0,上是减函数,3由复合函数单调性可知，函数. 2y=log1x -4x-5的单调递减区间为5,匸：.3【规范解答】因为f(xy) =f(x) +f(y)，且f(3) = 1,所以 2 = 2f(3) =f(3) +f(3) =f(9).2 分又f(a)f(a- 1) + 2,所以f(a)f(a- 1) +f(9),再由f(xy) =f(x) +f(y),可知f(a)f(9(a1).4分a,从而有9 a I X),aga-1,9解得 1a .11 分8故所求实数a的取值范围为【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂

15、分家万事休一一数形结合思想12分我国著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过”以形助数”或”以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化， 从而起到优化解题途径的目的向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重 身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意