均值不等式与其证明

1、1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1平均值不等式一般地，假设ai,a2,.,an为n个非负实数，它们的算术平均值记为Anaia2tt；a-n,n几何平均值记为1Gn=(a1a2.an)n=yfa1a2.an。算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。a1a2

2、.an-工Qa1a2.an,n即An之Gn,当且仅当a142=.=an时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2平均值不等式的证明证法一(归纳法)(1) 当n=2时，已知结论成立。(2) 假设对nk=(正整数k差”2)时命题成立，即对ai>0,i=1,2,.,k,有1_aa_2._a_jc一(a1a2.an)k。那么，当n =k下1时，由于aia2-.*ak1k1Ak平=,Gk-iqaia2akaw,

3、M,和关于ai,a2，,aJ是对称的，任意对调ai与aj(ij),Ak彳Gkt的值不改变，因此不妨设ai=minai,a2，akXLak+=maxai,a2，a印)显然ai<Ak+<ak.,以及(ai-Ak事)(ak平一Aki)<0可得Aki(ai.ak上：iAk)iaaki：卜所以AkkAki-(-ki)Akiaa-277；a-kiAkik1kkka-.Ta-：-(a=：-a_A)2kik，ikika.a(aaA)一,-2k1k1ki即Akia2.ak(aiakiAk1'两边乘以Aki,得k1k>1零、4k2,A(aa")k1a2.akAk11k1A

4、k1a2.ak(aiak1Gk1。翁捷G从而，有Ak1Gk1证法二(归纳法)(1) 当n=2时，已知结论成立。)时命题成立，即对(2) 假设对nk=(正整数k之：2ai>0,i=1,2,.,k,有a+a+a'kJaa.a。12k-12k小 + +a1a2. a k-a1 a2. a公( a k iG k i”. G k . i )一( k 1) G k i* Jk k ai a 2 akk k a k 1 k1( k 1) Gk 11(k 1)Gk= +(k 1) GvvV，2kka1a2.akkakk-GG_-2k2kk1k1(k1)Gk1从而，有Ak1：1三Gk1证法三（归纳

5、法）（1） 当n=2时，已知结论成立。（2） 假设对n=k（正整数k>-2）时命题成立，即对ai>0,i=1,2,.,k,有a1-a2T.+ak*k-k-a1a2.ak。那么，当n=k#1时，由于#上*a1a2.akak1证法四（归纳法和变换）证法五（利用排序不等式）设两个实数组ai,a2，an和bi,b2，bn满足ai：Ma2£.一名nb;Mb2«V.b.n,则ab+ab弟堂ab（同序乘积之和）1122nna b2 j2（乱序乘积之和）>+在；（反序乘积之和）一aibna2bn=i.anbi其中ji,j2，jn是1,2,，n的一个排列，弁且等号同时成立的

6、充分必要条件是aia2.=an或bi=b2=.=bn成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式(Young)设上iA九0,漫,由双贝尉xi,X2>0有xi“ 2 T X12 X2等号成立的充分必要条件是xi x 2琴生不等式(Jensen)设y=f(x),x看(a,b)为上凸(或下凹)函数，则对任意xie(a,b)(if2,.,n),我们都有if ( xi )2f ( x 2 ).n f ( x n )5 f ( i xi 中 ,2x2TAn x n)或if(xi)L(x2)nf(xn)-f(ixi2x2.nxnn其中i0(i=i,2,.,n)O备一i习题一1 .设a,b

7、R,中=1。求证：对一切正整数n,有abnnn2nn1(ab)ab至222 .设a,b,cRR,求证:abca+，bc(1-)(1-)(1-)2(1一)一Tbca3abc3 .设X1,X2,X3为正实数，证明:2XX3XX2X2X3-21厘：；(1)+(2)LJ()X1X2X3X2X3X14 .设a,b,c*R,a+b+c=1,求证:(1a)(1b)(1c)8(1-a)(1b)(1-c)5 .设x,y,zRR,且x是yez,求证:222x-y-yz-z-xx2+y2z2zxyab6.设 a,b,c °R ,满足bc ca+含7.设a,b,c,d是非负实数，满足ab 一 bc + cd + da =1 ,求证:_a_3bJ_c3_.d