【创新设计】(浙江专用)2014届高考数学总复习第14篇第1讲坐标系限时训练理

1、阶梯训练能力提升104限时规范训练分层+A 级基础达标演练(时间：40 分钟满分：80 分)1. (2012 广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线p= 4cos0于A、B两点，求|AB的长.解 注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x= 1,曲线p= 4cos0的直角坐标方程是x2+y2= 4x,即(x 2)2+y2= 4，圆心(2,0)到直线x=1 的距离等于 1,因此|AB= 2 4 1 = 2 3.化为2 2p =2cos0 -x+y2x=0,(1,0)，由两点间的距离公式得，所求两点距离为p= 6cos0 2 2sin0的圆心且

2、与极轴垂直的直线的极坐标方程.解 由p=6cos0 2 2sin0?p2= 6pcos0 2 2psin0,所以圆的直角坐标 方程为x2+y2 6x+2 2y= 0，将其化为标准形式为(x 3)2+ (y+ 2)2= 11,故圆心的 坐标为(3 , 2)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x= 3,将其化为极坐标方 程为pcos0= 3.4. (2012 广州广雅中学模拟)在极坐标系中，求圆p= 4 上的点到直线p(cos0+ 3sin0) = 8 的距离的最大值.解 把p= 4 化为直角坐标方程为x2+y2= 16,把p(cos0+ 3sin0) = 8 化为直角8坐标方程为x+. 3y

3、8 = 0,A圆心(0,0)到直线的距离为d= 2= 4. 直线和圆相切，- 圆上的点到直线的最大距离是8.nC：p=2cos0,曲线C2：0=n，若曲线C与C2交于A、B两点，求线段AB的长.系列 4 选讲第 1 讲坐标系2. (2011 安徽)在极坐标系中，求点0的圆心的距离.3.在极坐标系中，求过圆解圆x2+y2 2x= 0 的圆心坐标为2解 曲线G与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点.IP= .2，n即曲线G与C2的另一个交点与极点的距离为因此AB=J2.r，6. (2012 深圳调研)在极坐标系中，P,Q是曲线Gp= 4sin0上任意两点，求线段PQ长度的最大值.2 2 2

4、2 2解 由曲线C:p= 4sin0,得p= 4psin0,x+y4y= 0,x+ (y 2) = 4,即卩曲线C: p= 4sin0在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以 2 为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.7.如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为 4 的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.解 设MP,0)是所求轨迹上任意一点连接OM并延长交圆A于点P(p0,00)，则有00=0,p0= 2p.由圆心为(4,0)，半径为 4 的圆的极坐标方程为P= 8cos0,得-.-p0= 8cos00.所以 2p= 8cos0,即

5、p= 4cos0.故所求轨迹方程是p= 4cos0.它 表示以(2,0)为圆心，2 为半径的圆._ 2& （2012 江西八校联考）若直线 3x+ 4y+0 与曲线p 2pcos0+ 4psin0+ 4 = 0没有公共点，求实数m的取值范围.2 2 2解 注意到曲线p 2pcos0+ 4psin0+ 4= 0 的直角坐标方程是x+y 2x+ 4y+ 4 = 0,即(x 1)2+ (y+ 2)2= 1.要使直线 3x+ 4y+m= 0 与该曲线没有公共点，只要圆 心(1， 2)到直线 3x+4y+m= 0 的距离大于圆的半径即可，即邑箜仝+m51, |m 5| 5，解得，mK0，或m 1

6、0.分层 B 级创新能力提升1.设过原点O的直线与圆(x 1)2+y2= 1 的一个交点为P,点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解圆(x1)2+y2=1 的极坐标方程为P=2cos0专 0 0,故可设11,12是上述方程的两实根,又直线I过点F(3 ,5),故由上式及t的几何意义得，IPA+1PB= 111| + |t2| =11+12= 32.法二(1)同法一.因为圆C的圆心为(0 ,5)，半径r= -,5 直线I的普通方程为：y=x+ 3+ 5.得x2 3x+ 2 = 0.rx = 1,、= 2,解得：厂 或$厂ky = 2+p 5l

7、y= 1 + 寸 5.不妨设A(1,2 + 5) ,B(2,1 + 5)，又点P的坐标为(3 ,5)，故 |PA+ |PB= 8 + 2=3 2.3. (2012 山西六校模考)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1, 5)，点M的极坐标为4,n，若直线丨过点P,且倾斜角为nn，圆C以M为圆心、4 为半径.(1) 求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;2. (2010 福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参11+t所以，I t2=3 2,2= 4 x2+由丿$= 5(2) 试判定直线l和圆C的位置关系.6如图，设圆上任意一点为P（P,0），则在

8、POM中，由余弦定理，得PM=PO+OM2 PO- OIMos /POM222ln I 4=p +42X4 pcos|0 2 .化简得p= 8sin0，即为圆C的极坐标方程.由可进一步得出圆心M的直角坐标是（0,4）,直线I的普通方程是3xy 5 3= 0,圆心M到直线l的距离d=|0453|= 咛4,3+12所以直线l和圆C相离.nn4.（2010 浙江自选 IB）如图，在极坐标系Ox中，已知曲线0：p= 4sin010,G:p =4cosn亠 3n0或亍VW2 n=4 0 0 nn.(1)求由曲线0,G,G围成的区域的面积;解（1）由题意，直线l的普通方程是y+ 5 = (x- 1)tan

9、nn，此方程可化为y+5nsin -x 1尽y+5x1，令-nnncossin cos a（a为参数），得直线l的参数方程为r1x= qa+1,y甘-57n若M4, , N2,0)，射线0=ana戶曲线0,02分别交于A,8B(不同于极点q两点.若线段AB的中点恰好落在直线MN上，求 tana的值.1212解(1)由已知，如图弓形OSP的面积=4X n X 22 2X 22=n 2,从而，如图阴影部分的面积=n X22 2(n 2) = 4,2=2sina +2cosa ,94n X42+2Xn X224=6n 4.pA+ pB2Sin$=一 5,1cos $=5.设AB的中点为Qp,a），/ON= $ ,故所求面积=由题