电介质物理第二章

1、第二章 变化电场中的电介质21 电介质的极化过程在恒定电场作用下，电介质的静态响应是介质响应的一个重要方面。事实表明，无论从应用或从理论上来看，变化电场作用下的介质响应，具有更重要的和更普遍的意义。前面已经指出，电介质极化的建立与消失都有一个响应过程，需要一定的时间。电介质极化与时间有关的现象，一般来说，是由于所有的物理过程不可避免地存在着惰性而引起的。可以说没有一种材料系统能够随着外界驱动力作无限快速的变化。这个惯性就是物质移动和转动时的力学惯性，或者是速率过程所表现的行为。其最终的结果是极化时间函数与电场的时间函数一致，滞后于并且函数形式也有变化。相对于电介质极化明显滞后的响应，真空的响应

2、却是即时的，其电荷和介质的滞后贡献二个分量所组成，可表示为 （2-1）具体来说，在静电场作用下，由于有足够长的时间使极化达到稳定状态，因此就可以不考虑它的建立过程，而以恒稳状态进行处理，于是相应的极化参数及其物理量；介电常数、极化率、电位移、极化强度等都是静态的，与时间无关。但这仅仅是特例。在变化电场作用下的极化响应大致可能有以下三种情况：如果电场的变化很慢，相对于极化建立的时间，象在静电场中那样，极化完全来得及响应，这时就无需考虑响应过程，因此可以按照与静电场类似的方法进行处理；如果电场的变化极快，以致极化完全来不及响应，因此也就没有这种极化发生；如果电场的变化与极化建立的时间可以相比拟，则

3、极化对电场的响应强烈地受到极化建立过程的影响，产生比较复杂的介电现象，这时极化的时间函数与电场的时间函数不相一致。这就是本章主要讨论的问题。由于电子弹性位移极化的响应时间极快，可以与可见光的变化周期相比拟，因此在远低于光频的情况下，如在无线电频率范围内，电子位移极化可以看成是即时的，离子弹性极化也有类似的情况。因此弹性位移极化也称为瞬时极化，其极化强度以表示，偶极子取向极化等弛豫极化对外场的响应时间较慢，故也称缓慢极化，其极化强度以Pr表示。因此极化响应就是再会得的叠加，即 （2-2）其中瞬时极化强度可表示为 （2-3）式中为瞬时极化率，它等于 或 （2-4）这时就可表示为 （2-5）其中可以

4、看成是瞬时响应部分，对求导可得位移电流密度 （2-6）其中 （2-7） （2-8）式中可以看成是即时响应的瞬时电流密度，则是驰豫极化建立和消失过程中产生的电流密度。应该指出，上式中真空的位移电流密度不是电荷的定向运动，而极化强度的变化率则实质上是电荷的定向运动造成的。当然这里所指的电荷是束缚电荷而不是自由电荷。显然束缚电荷电流密度不可能保持恒稳不变，它总是要随时间或快或慢地衰减，最后趋于零。22 电介质极化的时域响应对于随时间任意变化的电场，可以用函数、阶跃函数以及调和函数或这三种基本函数形式的组合表示。函数实际上是表示电场在某时刻变化的速率，具有时间倒数的量纲。阶跃函数则是函数的积分。阶跃函

5、数和调和函数是没有量纲的。1在阶跃电场作用下的介质极化响应若对线性材料在t=x时刻施加一阶跃电场，如图2-1（a）所示，其中为单位阶跃函数。,可分别表示如下：(2-9)并有 （2-10a）（2-10b）（2-10c）aEE0xtPxtPrbcjrxt图2-1 （a）阶跃电场E、（b）极化响应P和（c）缓慢极化电流密度与时间的关系曲线由图2-1（b）可见，这种极化响应正如式（2-2）所示，分成即时响应分量和缓慢响应或驰豫响应分量两部分。若以函数来表征驰豫极化的滞后程度，其中t-x表示电场作用以后的后效时间，则有（2-11）这时和相应的及可分别表示如下：（2-12a）（2-12b）（2-12c）其

6、中（2-13）是电介质弛豫极化率。这时，相应的电介质极化率和介电常数分别为（2-14a）（2-14b）由式可见，这时极化率和介电常数都是后效时间的函数。根据式（2-11），当t-x=0时，则由式（2-12）至式（2-14）可得以上结果表明，当t-x=0时，即在加电场的瞬时，驰豫极化来不及响应，因此只有即时响应的贡献；当时，则为这相当于静电场下的情况，都是与时间无关的常数。当t在x的范围内时，则有（2-15a）（2-15b）（2-16a）（2-16b）以上公式表明，这时电介质的极化参数和表示极化的物理量P、D都是时间的函数。若将式（2-15b ）对t求导则得位移电流密度，并将式（2-10）代入有

7、（2-17）式中的为瞬时电流密度，为缓慢极化电流密度，分别等于（2-18）（2-19）其中 （2-20a）称为响应函数或驰豫函数，也称后效函数。若令则上式可表示为（2-20b）显然，当时，没有电场激励，当然也就没有极化响应，于是有（2-21）同样，由于是表示极化驰豫过程的一个后效函数，从物理过程来看，当时，应有，即 （2-22）即驰豫函数是个衰减函数。因此缓慢极化电流密度也是衰减函数，当时，即时，有（2-23）图2-1（c）给出了缓慢极化电流密度随时间而衰减的曲线。缓慢极化电流标志着缓慢极化的滞后响应，也即标志着缓慢极化的逐渐建立过程。实验表明，当对介质电容器施加一阶跃电压时，在瞬时电流以后，

8、可以观察到一个随时间逐渐减少的电流继续流过，这就是缓慢极化电流，这是介质极化驰豫的一种表现。2脉冲电场作用下的介质极化响应如图2-2（a）所示，如果在时间间隔内对线性电介质施加一矩形脉冲电场。由图2-2(b)可见，我们可以把这个脉冲电场分解为两个阶跃电场和的叠加，可表示为（2-24）式中S为单位阶跃函数。根据叠加原理，驰豫极化强度则是由脉冲前沿所产生的和脉冲后沿所产生的的和。按照式（2-12）它们可分别表示为（2-25a）（2-25b）S(x)EtD1zz+dzEtD2S（x+dz）t0EEdx(a)(b)图2-2 脉冲电场及其极化响应的分解将以上二式相加可得 （2-26）式中，这时极化强度P

9、(t)为（2-27）相应的电位移、和分别可表示为（2-28a）（2-28b）（2-28c）的分解曲线和如图2-2（b）所示。3连续变化电场作用下的介质极化响应如果介质响应是线性的，一个任意随时间x连续变化的电场，其极化响应可以应用叠加原理，把分解成一系列脉冲电场，其相应的极化响应为或，然后通过积分即可求得或。图2-3给出了任意电场时间关系曲线和响应函数时间关系曲线。为区别起见用表示极化响应的时间变量，用表示电场强度的时间变量，而电场作用的后效时间则用表示。对于一个矩形脉冲电场的极化响应，根据式（2-26）可分别表示为（2-29a）（2-29b）（2-29c）0yxxtdx图2-3 一般电场时间

10、函数和响应函数时间关系曲线根据上式连续变化电场的极化响应可表示为（2-30a）（2-30b）（2-30c）从物理意义上来看，以上公式表明，极化响应通过驰豫函数对电场作用保持“记忆”。因此对“对去”电场作用的“历史”，即时的情况就必须予以考虑，也就是说必须计及介质系统原有的极化响应状态。实际上有时极化响应是“漫长”的，可以延长到以小时、日计算，甚至更长。严格来说，在时刻的极化响应，不仅要考虑电场变化的响应而且还必需计及“过去”从到整个空间内因为电场变化而积累起来的响应。从数学上来看就是把式（2-30）的积分下限扩展到，这时式（2-30a）可表示为（2-31）如果改变积发变量，以后效时间来代替电场

11、作用时刻，并有，则上式变为（2-32）式中右端积分称为、的卷积，记为*。相应的和可分别表示为（2-33a）（2-33b）23 电介质极化的频域响应1电介质极化的频域响应电介质对电场激励的极化响应，在许多方面采用时域分析非常直观，也很容易理解。但是，对正弦激励电场来说，采用频域响应，无论在实用上和理论上都有很多的优点。从实用上来看，电介质在大部分工程方面的应用，是对正弦信号的响应。此外，采用正弦信号以频率作为参变量，有着多种有效的测量方法，可以进行非常精确的测量。这是因为在很窄的频率范围内，在调谐电路的条件下，测量给定频率下的响应，系统中的干扰最小，所有交流电桥的工作原理都是这样。这类设备可以进

12、行高精度的测量，并且比较标准和有利于推广。然而，时域测量设备则比较困难，不易推广，并且事实证明在宽带测量时其内在的信噪比限制也是严重的。频率响应顾名思义就是频率的函数。从数学上看，它可通过与其相对应的时间函数的傅立叶变换而获得。傅立叶变换可定义为（2-34a）傅立叶逆变换公式为 （2-34b）对式（2-32）极化时域响应的卷积进行傅立叶变换，按傅立叶变换定义则式中积分变量y为电场作用的后效时间，后效时间没有意义，因此积发下限为零而不是，由以上公式推导可见，卷积的傅立叶变换等于积分号内二个函数傅立叶变换的乘积。于是可得式（2-32）的傅立叶变换，即极化的频域响应，并由此可得（2-35a）（2-3

13、5b）（2-35c）以上二式中分别为（2-36a）（2-36b）并有 （2-36c）其中驰豫函数的傅立叶变换根据式（2-34）为将上式代入式（2-36）有（2-37a）（2-37b）由此可见，在交变电场作用下，电介质极化率和介电常数是角频率的复数函数。注意到以下关系：于是和可分别表示为（2-38a）（2-38b）其中实部和虚部,分别为（2-39a）（2-39b）（2-40a）（2-40b）当=0时，即在恒定电场的作用下，有以上结果表明（2-41）从数学上看式（2-35）可简单地用两个频率函数乘积来代替式（2-32）、式（2-33）中作为时间函数的卷积的傅立叶变换。从物理意义上来说，式（2-37

14、）所表示的是电介质对正弱激励电场E()的响应。在一定的频率下，它们很容易进行测量，如果测量是在一定的频率范围内进行，则可获得介质响应的频谱。对于一个复杂波形的响应，根据叠加原理，可以用输入信号频谱中对相应频率分量求和的方法取得。根据傅立叶逆变换也可能从频域响应转换为时域响应，这时式（2-33）和式（2-34）可表示为（2-42a）（2-42b）（2-43a）（2-43b）以上从数学上导出了电介质极化率、介电常数的时域或频域响应函数的完全关系。从原则上来看，这些关系表明，若已知其中之一，通过傅立叶变换可以得到另一个。如果给出一组频域或时域实验数据，则可以通过数值积分获得相应的另一个函数。2科拉莫

15、科略尼克关系式式（2-4）表明：介电常数的实部和虚部都依赖于同一个驰豫函数，根据傅立叶变换可写为（2-44a）或（2-44b）式中积分变量u表示角频率。因此这两个频率的函数是彼此相关而并非独立的，它们之间的关系可以将式（2-44b）代入式（2-40a）而导出改变积分次序可得方括号内的积分为于是可得（2-45）按同样步骤解联立方程式（2-44a）和（2-40b）得到（2-46）式（2-45）和式（2-46）就是科拉莫科略尼克关系式，简称KK关系。这个关系式对任何类型的驰豫极化都是成立的，并且只要在全频谱范围内测量出其中一个频谱就可由KK关系式得到另一个频谱。如果我们令式（2-45）中，则有 （2

16、-47）这表明，在的关系曲线中，曲线下面包括的总面积与驰豫极化对介电常数所作的最大贡献有关，而不管极化的机理如何。24 复介电常数上一节从数学上推导出了表示电介质极化驰豫特性的复介电常数。本节将通过具体分析在交变电场作用下电介质中所发生的物理过程，引出复介电常数并阐明它的物理意义。为简明起见，这里以平板电容器为模型来进行讨论。若对该电容器施一频率为的交变电场，如果两电极间是真空，则电容器的电容量C0为：其中A和d分别为极板面积和两极间的距离。极板上自由电荷面密度为（2-48）其位移电流密度 （2-49）它与电场的相位差为，因此是一种非损耗性的纯位移电流密度。如果在两电极间填充以其一理想电介质，

17、例如完全不导电的绝缘体，它与真空的唯一区别是真相对介电常数为，因此有关的物理量都是真空的倍，且与电场的相位差仍为，因此也是一种非损耗性无功的纯位移电流密度，或称电容电流密度。非极性的、绝缘性能优良的电介质接近于上述情况。如果在两电极间填充以某一实际电介质，例如极性电介质时，实践表明，在交变电场作用下，电介质内部产生热量，这标志着其内部有能量的损耗。因此，在电介质中存在着一个与电场同相的有功电流分量，其中为电介质的等效电导率。有功电流分量很小，也很小。显然这一能量损耗也是由电荷运动造成的，其中包括自由电荷，也包括束缚电荷。实际电介质并不是理想的绝缘体，其内部或多或少地存在着少量自由电荷。自由电荷

18、在电场作用下定向迁移，形成纯电导电流，或称漏导电流，这种漏导电流与电场频率无关。至于由电介质中束缚电荷形成的极化非即时响应，当束缚电荷移动时，可能发生摩擦或非弹性碰撞，从而损耗能量，形成等效的有功电流分量，显然它是频率的函数。在以上情况下，实际电介质中总电流密度j为（2-54a）其中是纯位移电流密度，或无功电流密度，则为有功电流密度，图2-4给出了实际电介质电流密度图。上式也可表示为 （2-54b）由此定义的复电导率是（2-55）从另一方面来看，实际电介质中电位移D和电场E的关系可表示为 （2-56）实际电介质的位称电流密度j则为（2-57）其中是复介电常数。上式与式（2-54b）是同一物理事

19、实的两种表示，对比这二个关系式，复介电常数为 （2-58）由式可见是个复数，因此称复介电常数，其中右端第一项与前述介电常数的意义是一致的，而第二项则表示损耗，如令 （2-59）其中称损耗因子，是一个表示电介质损耗的特性参数。这样，式（2-58）可表示为（2-60）对于电介质来说，通常习惯使用复介电常数，而很少使用复电导率，这是由于电介质的电导损耗项毕竟很小的缘故。EDjDjrj= jD+jr图2-4 实际电介质电流密度图以上讨论表明，与不同相，若与的相位差以表示（见图2-4），则可得（2-61）将上式与式（2-60）比较可得 （2-62）由图2-4可见，有损耗时的电流密度与电场的相位差不是，而

20、是（），即与纯位移电流密度的相位差为角。显然这个相位角是由电介质中的有功电流密度分量引起的，也即由能量损耗引起的，因此称损耗角。图2-4表明，损耗角正切可定义为有功电流密度与无功电流密度之比，即（2-63a）显然上式也可表示为（2-63b）即也是损耗项与电容项之比，或复介电常数虚部与实部之比。在实际应用中，常常采用来定量地描述电介质的损耗。25 电介质的等效电路上一节我们用电位移D与电场E的比值复介电常数描述了在交变电场作用下的介质响应。本节将以电流与电压的比值，即有用导纳或阻抗对介质响应进行描述。由上节讨论得知，若对电介质施加一交变电压，可相应得到一交变电流，其相量图与图2-4相应。和间的相

21、互比值可表示为（2-64）（2-65）其中分别是为导纳和阻抗，它们与频率的关系取决于。为此，这里我们用理想的电路元件，即其值不随频率变化的电容C、电导G、电阻R和电感L组成各种等效电路，使得等效电路在交变电场作用下的频率响应，与实际电介质在交变电场作用下的相一致，从而通过等效电路来描述电介质内部的物理过程。1CG并联电路C0G0并联电路如图2-5所示。在交变电压作用下，其电流可表示为（2-66）式中（2-67）其中。由图（2-5）可见，在以为纵轴，为横轴的导纳复平面中，当采用为参变量时，关系曲线是一截距为G0垂直于轴的直线，该直线与呈线性关系。00图2-5 C0G0并联电路及其导纳、阻抗图并联

22、电路的阻抗可表示为（2-68）其中（2-69）由上式可见当时 z(0)=1/G0, z(0)=0当当可得当时z有极大值/2G0。式（2-68）还可表示为（2-70）从式（2-69）中消去，则可得与间的关系式（2-71）这是一个半圆的方程，在以z为纵轴，z为横轴的阻抗复平面中，半圆圆心坐标为（1/2G0，0），半径为1/2G，如图（2-5）所示。漏导电流较大的电介质，在交变电场作用下的响应与并联等效电路的频率响应相类似。2C-G串联电路CR串联等效电路如图2-6（a）所示。电路上的正弦交变电压U()可表示为（2-72）其中阻抗为（2-73）式中。在以z为纵轴，z为横轴的阻抗复平面中，关系曲线是截

23、距为R垂直于轴的直线。串联等效电路的导纳可表示为（2-74）00CR（a）0C（b）图2-6 （a）CR串联电路及其阻抗、导纳图；（b）CR串联电路的复电容量C*其中 （2-75）同样从以上公式中消去则可得与间的关系为（2-76）这也是一个半圆的方程。串联电路的阻抗和导纳图如图2-6所示。同样由式（2-75）和图2-6导纳图可见当由可得当时，有极大值，。式（2-74）还可表示为（2-77）由式（2-77）可以引入复电容量C*的概念（2-78）或者（2-79）比较（2-77）和（2-78）可得（2-80）（2-81）从上式中消去即得到与的关系式（2-82）这也是一个半圆方程（图2-6(b)）。由

24、（2-81）和图2-6（b）可见当当由，可得当时C极大值为C/2。26 德拜驰豫方程式（2-37）给出了在交变电场作用下，电介质复介电常数与频率的一般公式，并由此进一步得到KK关系式。但是这些公式都不是具体的解析式，这是因为没有给出确定的驰豫函数的缘故，决定于极化的微观机制，与电介质的组成、结构、物理状态以及外界温度等条件有关，通常主要通过实验来确定。本节我们首先撇开材料内部所发生的微观过程，来讨论电介质驰豫极化响应的变化规律。这种理论常被称为唯一象理论。上面曾经指出，介质的极化强度P是由瞬时极化强度和缓慢极化强度两部分所组成。现在我们来分析的建立过程。若在时刻施加一阶跃电场，这时从零逐渐上升

25、，经过足够长的时间以后，达到最大值。显然，这就是在静电场作用下的值。假设在时刻，的增长速度正比于其终值与该时刻的值之差，即（2-83）其中，为比例常数。具有时间的量纲，称为时间常数，它是驰豫极化建立时间的标志，后面在讨论极化的微观机制时将着重进行分析。上述微分方程的解为 （2-84）这时总的极化强度P为（2-85）将式（2-84）对t求导可得（2-86）将上式与式（2-19）比较可得驰豫函数为（2-87）由此可见，按照以上假设所得到的驰豫函数是衰减的指数函数。这是一个传统上广泛应用的驰豫函数，它与很多实验结果比较接近。如果施加的是交变电场，当加上电场的时间足够长时的稳态解为（2-88）而总的极

26、化强度则为（2-89）其中为电介质复极化率（2-90）因此可得电介质的复介电常数为（2-91）其中的实部分别为（2-92）式（1-91）和式（2-92）称为德拜（Debye）方程。将式（2-90）的驰豫函数代入与KK方程相关的式（2-37b）复介电常数关系式中，得到即以上结果与式（2-91）完全相同，这说明当驰豫函数是衰减的指数函数时得到德拜驰豫方程。25中CR串联电路的复电容量C*式（2-80）表示成相应的由驰豫极化贡献的电介质复极化率为 （2-93a）其中（2-93b）显然（2-93c）由以上公式可得当当以上讨论表明，CR简单串联电路的复电容量C*的频率特性与德拜驰豫方程相吻合，因此电介质

27、的德拜驰豫机制可以用这处等效电路来形象地表示。27 极化驰豫的微观机制以上几节以唯象的角度计谋了电介质驰豫极化过程中介电性能的变化及其规律，本节将在这个基础上进一步具体分析在变化电场作用下，电介质内部所发生的微观过程。1极性液体德拜模型德拜首先从理论上分析了电介质极化驰豫响应的微观机制。他把在恒定电场作用下偶极子取向的朗之万理论推广到可变电场的情况，其中着重描述了在时施加的恒定电场，当时突然撤去的情况下，在时电介质的行为。德拜假定，偶极分子在电场转矩的作用下，应该发生旋转、取向，反抗由于碰撞而引起的摩擦力作功，统计取向逐渐建立；如果电场突然撤除，电场转矩立即消失，并且依靠多次碰撞引起的摩擦，使

28、偶极分子统计取向缓慢消失。下面就介绍简化的德拜理论。（1）偶极分子取向的分布函数及其极化的驰豫函数这里首先来求偶极分子取向的分布函数和极化驰豫函数。设有一介电常数为无限大的均匀电介质，若对该介质施加阶跃电场，其相应的有效电场为，假设在电场作用下，偶极分子只发生在电场方向的转向，其偶极矩不变。如图2-7所示，取球坐标系，若电场沿轴方向，这时偶极分子在电场方向的取向与无关。由图可见图2-7 偶极分子的分布在某一小区域中，在空间某一方向上定向的偶极分子，可用沿着偶极矩方向投影到单位球面上的一个截点来表示。因此，在任意时刻分子取向的分布，可以直接用单位球面上对应点的分布来描述。设为某时刻，在到+d之间

29、立体角增量所切球面上截点的数目，这是球面上对应于的一带状区域上的点，它等于（2-94）其中为单位体积内偶极分子数，则为在电场作用下偶极分子在空间的分布几率。随坐标发生变化，但因为电场分布与无关，所以也与无关。在极化建立过程中，由于分子的热运动和电场的共同作用，分子逐渐定向，直到稳定态。因此，随时间发生变化。设为单位时间内穿过=常数的圆周上的截点数，并以增加的方向为正方向。这样，便可假设 （2-95）其中第一项（2-96）为由于热运动而引起的分子扩散速率，这个过程使分子作混乱排布。上式表明扩散速率与截点的密度梯度成正比，其中为扩散系数，显然，如果没有电场的作用，在一定的温度下，偶极分子取向的分布

30、函数与与无关，有=0，因此；式中第二项为（2-97）表示电场的作用，电场促使分子趋向于在电场方向取向，其中表示在角处分子平均角速度。假定正比于电场的定向转矩（2-98）其中为与内摩擦有关的常数，等于（2-99）其中为偶极分子在电场中的能量。大家知道有效电场与极化有关，在极化驰豫过程中，驰豫极化强度随时间发生变化，因此在这个过程中也是时间的函数，于是式中有效电场写作.同理，和在驰豫过程中也随时间发生变化，因此写作(t)，(t)。当时间足够长，达到平衡时（2-100）于是得以下微分方程：（2-101）解此微分方程可得（2-102）将上式与式（1-166）偶极分子在恒定电场中的分布几率相对照，即得，

31、因此有（2-103）也即在平衡状态下有（2-104）这时偶极分子在空间各个方向的分布几率与时间无关，但是在极化建立过程中，则将随时间而发生变化。按照以上假设，单位时间内进入带状区域内的截点数应为（2-105）这一数值应该等于对时间的增长率，因此有（2-106）将式（2-95）代入上式，并注意到则得以下极化建立过程中G对时间的微分方程： （2-107）当时间足够长，达到平衡时，有这时即得式（2-104）的解。若在t=0的时刻突然撤去电场，这时式（2-107）变为（2-108）设方程的解为（2-109）其中为包含有效电场的待定时间函数，的稳态时是恒值，因此可表示为(2-110)其中为待定的时间函数

32、，将上式代入式（2-109）有（2-111）将此微分方程的解代入式（2-100），F(t)应满足以下微分方程：（2-112）由此解得为（2-113）其中令（2-114）于是可得（2-115）公式表明朗之万理论中恒定的玻尔兹曼因子变成一个随时间变化的加权因子。由式可见，当时，仍为稳态时的正则分布，因为在撤去电场的瞬时，热运动还来不及使分子解除取向；当时，与无关，这表明分子的取向完全解除，处于热运动的混乱状态；当时，减少到稳态时的1/e=36.8%，这个时间被定义为驰豫时间。由此可以依据式（1-187）进一步求得在突然撤去电场的情况下，在原电场方向分子偶极矩的统计平均分量（2-116）由1.6可知

33、，上式经处理后即为含有系数的朗之万函数，按照该函数对的展开，并取对或的一级近似，可得（2-117）这时驰豫极化强度为（2-118）当有（2-119）这是稳态的情况用以上类似的方法解方程（2-107），可得在施加阶跃电场后分子取向的分布函数G为（2-120）同理可得极化建立过程中的分别为（1-121）（1-122）当时，达到稳态，如式（2-119）所示。将上式求导，并将其导数与式（2-19）比较，即得极化的驰豫函数为（2-123）以上二式与式（2-84）和式（2-87）完全相同，这表明微观过程分析结果与唯象理论所得结果是完全一致的。如果施加的是交变电场，经以上类似方法推导则可得德拜驰豫方程，这里

34、不再赘述。（2）驰豫时间在阶跃电场作用下，式（2-122）表明，当时，驰豫极化强度达到稳态值的（1-1/e）=63.2%；如突然撤去电场，由式（2-118）可见，当时，Pr(t)衰减到初始值的1/e=36.8%。因此是标志极化驰豫过程快慢的特征时间常数：愈大，极化驰豫过程愈长，反之则愈短，于是把称为极化驰豫时间。（见式（2-114），式中为分子的施转内摩擦系数。分子的旋转是一种热运动。德拜把分子的旋转假设是小球在连续的粘性液体中的旋转。斯托克斯（Stocks）计算结果表明，一个半径为的小球在粘度为的液体中旋转，其转矩是小球旋转角速度的倍，由此可知小球（分子）的旋转内摩擦系数为=（2-124）大

35、家知道，任何液体的粘度都随温度升高而很快降低，通常遵循以下经验规律：（2-125）式中为常数为分子粘性流动的活化能。将以上二式代入式（2-114）可得（2-126）由式可见，驰豫时间决定于电介质本身的特性，并与外界温度有密切的关系。随温度升高，按指数式急剧减少，反之，急剧增加。这个现象表明，使极性分子发生旋转的主要是热运动，电场只是起了使旋转偏向于在电场方向取向的作用。大致说来，在室温下偶极子取向的驰豫时间，对于稀释分散在低粘度深剂中的小偶极子是，对于在粘稠介质中的大偶极子则大于之间。2极性固体德拜理论这里将通过一维方向上弱束缚离子的跃迁，来具体分析缺陷偶极子取向极化的驰豫过程。（1）双平衡位

36、置模型1.6中已经指出，弱束缚离子在缺陷附近处于能阶较弱束缚离子处在晶格缺陷附近，当它们发生跃迁时只需克服较低的势垒阻碍。这些势垒的高度，决定于缺陷的性质并与缺陷的数量和位置等有关。在最简单的情况下，可以采用如图2-8所示的双平衡位置模型进行分析。由图2-8（a）可见，如设弱束缚离子间的势垒高度U，即离子的活化能为U，平衡位置1和2之间的距离为。如离子的热运动能量超过其活化能，则离子就能克服局部势垒的限制而发生跃迁。根据正则分布，弱束缚离子处于热运动能量为的特定状态的几率正比于玻尔兹曼因子。若弱束缚离子在势阱中的势振动频率为，则在单位时间内离子从位置1沿轴正向向位置2迁移的几率为（2-127）

37、同样在单位时间内离子从位置2沿轴负负向位置1迁移的几率也为（2-128）即正向跃迁的几率等于反向跃迁的几率。设单位体积中弱束缚离子数为，由于热运动的混乱性可以认为沿着空间三个互相垂直的坐标轴运动的离子数是均等的，即沿着每一轴运动的离子数是，其中一半沿着正向运动，一半沿负向运动，各为n/6，于是单位时间单位体积内由位置1沿着轴正向跃迁到位置2的离子数为（2-129）同样由位置2跃迁到位置1的离子数n21为（2-130）即在没有外电场时，正向跃迁的离子数等于反向跃迁的离子数，这样离子的混乱分布并没有被破坏，因此介质对外不呈现极性。UUx12（a）Ux（b）U12U图2-8 双平衡位置模型（a）未加

38、电场；（b）沿x轴正向加上电场当加上外电场后情况就发生了变化。设作用在离子上的电场沿着轴正向，如果电场是均匀的，那么离子在电场中的势能随距离作线性变化，因此弱束缚离子的势能随距离的变化是图2-8（a）中势能曲线与斜线之和，如图2-8（b）所示。由图可见，这时正向跃迁时所需克服的势垒较小，等于U-U，而反向跃迁的势垒则较大，等于U+U，其中 （2-131）式中q为离子的电量。这时离子正向跃迁的几率及反向跃迁的几率分别为（2-132a）（2-132b）显然，正向跃迁的几率大于反向跃迁的几率，即（2-133）这就破坏了离子在x轴方向分布的均匀性，并且离子的分布情况还将随时间而发生变化。如果在某一时刻

39、，位置1上的离子数减少了，那么位置2上的离子数将增加，显然单位时间内的改变等于正向跃迁数减去反向跃迁数，即（2-134）将式（2-132）代入，并令，则有（2-135）如令（2-136）则（2-137）解以上微分方程得（2-138）根据其初始条件：当t=0时，n=0，得（2-139）如将代入，由此得n为（2-140）这就是单位体积内沿着电场方向由位置1向位置2的过剩跃迁离子数，它与电场作用时间t有关。离子的过剩跃迁破坏了电介质内部电荷的均匀分布，形成了宏观偶极矩。其中每个过剩跃迁的离子与其所形成的空格点在电场方向形成了一个缺陷偶极子，其偶极矩为（2-141）这时驰豫极化强度为（2-142）当电

40、场不太高，温度不太低时（这也是一般的情况），因此可以采用以下近似公式：（2-143）于是式（2-140）、式（2-142）和式（2-136）分别变为（2-144）（2-145）（2-146）由以上公式可见，驰豫极化的建立需要相当的时间，在加电场的瞬时，n和Pr都等于零，只有当，极化才能达到稳定状态，这时（2-147）（2-148）注意到，因此这种类型驰豫极化的极化率为（2-149）上式与式（1-200）相似，只是公式中的系数不一致。这是由于它们是两种不同类型的缺陷偶极子极化的缘故。由弱束缚离子过剩跃迁所形成的缺陷偶极极化也常称为弱离子驰豫极化。若将式（2-145）对t求导，并将其导数与式（2-

41、19）比较，即得极化的驰豫函数f(t)为（2-150）这个结果与唯象理论所得结果（见式（2-87）是相吻合的。（2）驰豫时间由式（2-146）可见驰豫时间决定于晶体及其缺陷的本质，并且也决定于外界温度公式表明：随温度增加，驰豫时间呈指数式减少；反之，则呈指数式增加。这个现象表明：使弱束缚离子发生跃迁的是热运动而不是电场，电场只是使被热运动抛出平衡位置的离子沿电场方向作定向跃迁。这一过程，从加上电场时开始，直到在电场作用下，跃迁的过剩离子被反向的离子扩散所补偿为止才达到了最终稳定状态。从理论上说，只有当t=时，才能达到。因此，温度愈高，离子的平均热运动能愈大，则趋近于稳态的过程进行得愈快，驰豫时

42、间也就愈小，反之亦然。这里根据式（2-146）来大致估算一下驰豫时间的数量级。晶格中一般离子的固有振动频率v约为1013Hz数量级，而弱束缚离子的振动频率较低，仅为1012Hz。由实验可得到弱束缚离子的活化能为10-19J。在T=300K（室温）时，驰豫时间为当T=600K时，。由此可见，驰豫时间是较长的，可以和电工和无线电频率范围相对应的周期相比较，并且受温度的影响很大。由式（2-148）和式（2-149）可见Pr和都与温度成反比，这是因为温度升高热运动的强度增加，这就在很大程度上干扰了电场使弱束缚离子作定向跃迁的作用。28 复介电常数与频率和温度的关系1复介电常数与频率的关系（1）与频率的

43、关系2.6给出了表示复介电常数与频率关系的德拜驰豫方程（2-91）其实部与虚部以及分别为（2-92）由式可见。在一定温度下当时，恒定电场下的情况；当时，。光频下的情况。当在之间，包括在电工和无线电频率范围内，介电常数随频率增加而降低，从静态介电常数降至光频介电常数，如图2-9所示。损耗因子的频率关系则出现极大值，极值的条件是（2-151）由此计算而得的极值频率为（2-152）当时，由式（2-92）可得（2-153）由式（2-92）可见当时：，大致正比于，并有；当：大致反比于，并有；在附近的频率范围内，、急剧变化，由过度到，与此同时，出现一极大值，如图2-9中曲线所示。在这一频率区域，介电常数发

44、生剧烈变化，同时出现极化的能量耗散，这种现象被称为弥散现象，这一频率区域被称为弥散区域。显然这是由极化的驰豫过程造成的。0 8 9 10 11 1210 864201.00.80.60.40.28 9 11 12图2-9 、的频率特性曲线（图中）有时为了比较不同试样在不同条件下的试验结果，常将式（2-92）稍加变换（2-154）如果作/和/关系曲线，则消除了不同试样在不同条件下，和间的差异，如图2-10所示。0.01 0.1 1 10 1001.00.500.01 0.1 1 10 1001.00.50图2-10 /和/与间的关系与频率的关系类似于的频率的关系。在与频率的关系中也出现极大值，但

45、的极值频率与的极值频率不同，按照的极值条件：（2-155）可得（1-156）显然，这是因为，当达到极值时，不在随频率的增加迅速减少，因而在较高的频率下才达到极值。当时，由式（2-92）可得。（2-157）与情况类似，按照式（2-92），当时，大至与成正比；当时，则大致与成反比，在时通过极大值，曲线见图2-9。以上讨论在一定温度下，的频率特性曲线可解释如下：在低频时，电场变化很慢，它的变化周期经驰豫时间要长得多，驰豫极化完全来得及随电场发生变化，这时电介质的行为与静电场时的情况相接近，因此趋近于静态介电常数，相应的介质损耗也很小，见图2-10所示。当频率逐渐升高，电场的变化周期逐渐变短，当周期缩

46、短到可与极化的邓豫时间相比较时，极化逐渐跟不上电场的变化了，介质损耗也逐渐变得明显。这时随频率进一步升高，几乎从静态介电常数降至光频介电常数，同时介质损耗出现极大值，并以热的形式发散出来，这就是极值频率附近的弥散区域，如图所示，当频率很高时，电场变化很快，它的变化周期比驰豫时间短得多，驰豫极化完全跟不上电场的变化，这时只有瞬时极化发生，因此接近于光频介电常数，介质损耗很小，这时瞬时极化不发生损耗。与频率的关系类似于的情况，只不过其极值频率大于的极值频率。以上讨论是在一定温度下，、和的频率特性。如果温度改变的话，则介质弥散的频率区域也要发生变化。当温度升高时，弥散区域向高频方向移动，也即发生剧烈

47、变化的区域向高频区域移动，与此同时和的峰值也相应移向高频，反之当温度降低时，弥散区域则向低频方向移动。图2-11示出了不同温度下、的频率特性曲线，这种现象不难解释，当温度升高时，驰豫时间减少，因此可以和驰豫时间相比拟的电场周期变短，于是弥散频率区域包括损耗极值频率或增加。反之则频率降低。式（2-153）和式（2-156）也表明了这种情况。108765432143218 9 10 11 128 9 10 11 12图2-11 不同温度下的、和频率特性曲线（2）柯尔柯尔（Cole-Cole）图由德拜方程可以看出，和两者是相关的，不是独立的，从K-K关系中也可看出这点。K.S.柯尔和R.H.柯尔利用

48、这一相关性，从式（2-92）中消去了参变量，就得到、它们两者之间的关系为（2-158）这是一个半圆的方程。圆心为，半径为，若以为纵坐标，以为横坐标，就得到如图2-12所示的一个半圆，这种不同的频率或不同温度下的与间的关系图就称为柯尔一柯尔图。为了区别起见，有时把根据德拜方程所得的半圆图称为柯尔一柯尔图，而把一般图称为阿冈（Argand）科。由于以上讨论的各种频率特性曲线的形状并不很规则，为了比较各种电介质的理论和实验曲线之间的吻合程序，常用柯尔一柯尔图。曲线是否为半圆能最明显地判断理论与实验间的偏离，并能进一步分析偏离情况。2 4 6 8 10 126420图2-12 柯尔柯尔图2复介电常数与

49、温度的关系复介电常数与温度有密切的关系。但是在式（2-92）中没有直接显示出来。实际上该式中所包含的随温度变化剧烈，并且严格来说和也与温度有关，这里将通过、和与温度的关系，来说明与温度的关系。光频介电常数是由子位移极化和离子位移极化贡献的介电常数。可表示为（2-159）式中瞬时极化强度，其中和分别为电子和离子位移极化率。如设，则上式近似等于（2-160）前面已经指出和与温度无关，因此，随温度的变化，主要是由单位体积中的极化粒子数随温度的变化引起的，也即电介质的密度发生变化而引起的。由于材料的密度在一定温度范围内与温度呈线性关系，并且随温度的变化不大，因此光频介电常数与温度也有类似的关系，随温度的变化呈线性下降。静态介电常数可表示为（2-161）式中驰豫极化强度，其中为偶极子取