平移构造齐次式

1、平移坐标系构造齐次式在秒杀压轴题系列1中，我们讲解了有关过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于B3在直线刃和P3斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线过定点或者/定斜率的问题，秒1中给出平移构造齐次式的秒杀方法.那么有些同学提出疑问，如果定点P不在圆锥曲线上时，我们该如何秒杀？2 2秒杀秘籍：已知点P(x0 , y0)是平面内一个定点，椭圆C：冷+r =l(a>b>0)上有两动点B(1) 若直线kPA +kPB =2 ,则直线肋过定点.(2) 若直线kpAkpB=、则直线M过定点.证明：将椭圆C按向量而(-兀0,-儿)方向平移,4j7£ fgl 厂 9侍确圆C

2、 ：2a(+计“，展开得:斗+斗+牛X+学y+羊+尊亠0.a1 Zr cr b2 a2 h2平面内的定点P(Xoo)和椭圆c上的动点厶分别对应椭圆上的定点O和动点4、设直线/歹的方程为mx + ny = ,2 2 代入展开式得亍+令+(mx + ny) +(2 2 、 _0_ 2o 2+Ti(a b-1 (mx + ny)1 = 0 (构造齐次式边同时除以/乃 乂 (ny0 + 1)2a2h2a2(mxQ +1)22n2mnxo + 2x0w 十 Imny + 2y0m2 2丄加丿0+mh2 y因为点川、歹的坐标满足这个方程，所以仪丹和忍冶是关于上的方程的两根.x(1)若kPA + kPB =

3、 2 ,由平移性质知kOA» + kOBf = 2 ,所以2mnx + 2x0m 2mny + 2y0wh2_2 12 “X： , (nyQ + l)22+7Ha2b2kOA + koif =: := 2 9整理可得到加和n的关系，从而可知直线A 'B'过定点，由平移性质可得直线过定点.(处0 + 1)2 加丿022+2m(2)若kPA - kPB = 2 ,由平移性质知kOA! -kOB = 2 ,所以k()気，=吕 = 2，整理可nx0 (ny0 +1)2- + 72“ab得到加和”的关系，从而可知直线0歹过定点，由平移性质可得直线ABxl定点.r2【例门（2。新

4、课标I）设椭圆C:亍宀1的右焦点为八过F的直线'与C交于八B两点，点皿的 坐标为（2,0）.（1） 当/与X轴垂直时，求直线的方程；（2）设O为坐标原点，证明：ZOMA = ZOMB .【答案】（1）略.宀1,（2）将椭圆按照蔬方向平移得椭圆。，则MtO,BtB FtF,椭圆C: 4丈 +2设直线 5。，： mx += 1,直线过即加=-1,椭圆 U: x2 + 4x + 2y2 +2 = 0,即：x2 +4x(mx + ny)+2y2 +2(mx + ny)2 =0 (齐次化)，两边同除以x?,整理得，2(2 + 2n2+(4« + 4mn) + 2m2 + 4m + 1

5、= 0, 又因为 k册=k(”, k= koff , 所 以x2xJkM + kMB = k()A> +-= 0 ,所以 ZOMA = ZOMB2+2n22巧【例2 （2019-全国模拟）已知O为坐标原点，椭圆+ =l（a方0）的离心率为兰，椭圆上两点M、 cT o2N （非椭圆顶点）满足AMON = 90°,且+=-OMON 2（1）求椭的标准方程.y2 1椭圆宀3 +宀-丹,即2+ S _ mnx+ ( + m m2 = 0 U 2丿又因为9当kpF + kQF= 0时，直线P0是否（2）不平行于y轴的直线与椭圆交于P、0两点，F为椭圆的右焦点,过定点？若过，求出此定点，若

6、不过，请说明理由.2【答案】”7.(2)将椭圆按万。平移得椭圆U ,则F t O , P -» F , 0 t 0,椭圆(7 :- +卩2 = 1,设Sg :皿+矽=1,2 1 _"+y2 + x(mx + ny)-(mx + ny = 0 ,两边同除以整理得，k PF + k QF = k op, + k OQ, = 0 ,所以777 = 1,即直线/叱过定点(1,0),所以直线PQ过定点(2,0).1亠2【例3 （2018新课标I）设抛物线C： y2=2x,点A（2,0）, （-2,0）,过点/的直线/与C交于M, N两点.（1）当1与x轴垂直时，求直线的方程.(2)证

7、明：Z.ABM = AABN .【答案】(1)略.(2)将抛物线按方向平移得抛物线U,则BtO , MtMJ NtM,抛物线。的方程为y y2y1 n（ 加）=0, xx 4 = 2（x - 2）,设直线对的方程为加x +矽=1 ,因为I过定点（4,0）,即m =,抛物线C : y2 = 2x - 4 , 4即 y2 = 2x（mx + ny）- 4（mx + ny）2 ,两边同时除以 x?,整理得（1 + 4n2 ）冬 + （Smn - 2n） + 2m2 = 0 所以 x2xkB” + kBN = S + S = 一 二?' = 0，即"BM = "BN 1 +

8、 42 2【例4】(2018宁德期末)已知抛物线E:y2 =2px(p0)与椭圆E :二+与=l(a 方 0)有相同的焦点F, a b且两曲线相交于点过F作斜率为k(k 0)的动直线Z,交椭圆C于M, N两点.(1)求抛物线E和椭圆C的方程；(2)若/为椭圆C的左顶点，直线AM , /N的斜率分别为心，他，求证：+ 为定值，并求出该定 值.2 2【答案2)亍+午十(1)将椭圆按乔的方向平移，则平移后椭圆方程为(x-2)1 + 2_ = 1,432 2设'w 方程为mx + ny = ,将直线代入椭圆方程，得二+ + x(mx + ny)= 0 ,两边“ a“43IIIIII整理得為 +

9、 為=kOM'+kON' =1=3"3IIIIII1m r=丄_3加,j_ 43mx += 1 过点 F （3,0） ,/. w =-k | k二心+他）彳& 上 2 klk22_3zm'4即：+ 定值为4.k、 k2【例5】(2019济南二模)已知0为午+，=1上一动点，0在x轴，y轴上的射影分别为点B,动点P满足用5 =乔，记动点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程;(3、(2)过点P的直线与曲线C交于M, N两点，判断以环为直径的圆是否过定点？若是，求出定5丿点的坐标，若不是，说明理由.III3y2【答案】冷*7(2)当直线1斜率不存在时，以MN

10、为直径的圆方程为x2 +y2=1;当直线1斜率为0时，由2 ， + y2 =1I 48 0 得x = ±,则此时圆的方程为疋寮两圆的公共点为B(O,1),下证以MN为直径的圆过.( B(O,1).将椭圆按BO方向平移，此时MtW , NtM, P 0,- 5丿新椭圆方程为十-+ ®+ 1尸=1 ,即+尹？ + 2尹=0 ,设直线M' M的方程为mx + ny = 9所以4"72-y2 + 2y（mx + w） = 0 ,即（2川 + 1） 2m + =04x2x 4（2 A由MW过点P 0,-上I5丿BkBN =koMkoN，=- = ,即BM丄BN ,所

11、以以MV为直径的圆过点5(1,0). “2n + l2 2【例6】(2019长郡模拟)己知椭圆C: + N = l(a">0)的左、右焦点分别为F2,椭圆C的离心率a o1 3为，且椭圆C过点(1-).2 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/过椭圆C的左顶点M,且与椭圆C的另一个交点为N,直线“巧与椭圆C的另一个交点为P,若P片丄MTV,求直线/的方程.2 2【解答】（1） +=143（2）连MP,设kMN =k , kMP = k2 , kPF = k3 ,将椭圆按MO 方向平移,得:Nt", PtP,则直线4343NP 过定点（3, 0）.设/卄，为 mx

12、+ ny = f ：.m= 平移后椭圆方程为呼+才2 23=1,即亍亍“02 2x y+ 兀（加兀 + ny） = 0,43-异+x1 、m=0,1m4丄3即 Xp + 2 = 1»4xp + 1丄2亦 心土亍+ 26 屁=- + 13=±2亦，M=±%, .防程:严土執+ 2)4达标训练r21- （2017全国文）设右B为曲线C：y = ±两点，力与B的横坐标之和为44（1）求直线AB的斜率（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线平行，且丄BM,求直线的方程.2- （2°13上海）已知椭圆C的两个焦点分别为幷（-1,0）、巧（1，0），

13、短轴的两个端点分别为Q, B2（1）若百色场为等边三角形，求椭圆C的方程；若椭圆C的短轴长为2,过点巧的直线/与椭圆C相交于P, 0两点，且丽丄豆，求直线/的方程.3- 江西）如图，椭圆C手+忘1心>0）经过点吨）,离心率e斗直线啲方程为“4（I）求椭圆C的方程;（2）是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线与直线/相交于点M,记P4, PB , PM的个斜率分别为勺，k2, 问：是否存在常数几，使得心+斤2=久他？若存在，求2的值；若不存在，说明理由.4（2015新课标I）在直角坐标系x0y中，曲线C.y = 与直线l:y = kx + a（a>0）交于M, N两点.4（1）当丘=0时，分別求C在点M和N处的切线方程.（2）y轴上是否存在点P,使得当上变动时，总有AOPM = AOPN ?（说明理由）5. (2018*眉山期末)己知抛物线的顶点为原点，关于y轴对称，且过点N(-l,g).(1)求抛