平面直角坐标变换

1、§ 5.7平面直角坐标变换为了考虑同一图形在不同的坐标系下的方程之间的关系，我们首先需要建立同一个点在不同的坐标系下的坐标之间的关系， 这就是坐标变换的问题， 因为我们研究的图形是点的轨 迹.我们仅考虑平面直角坐标变换.设在平面上给出了由两个标架 O; i, j 和O' i', j'所决定的右手直角坐标系， 这里i和j以及i'和j'是两组坐标基向量， 它们是平面上的两个标准正交基，我们依次称这 两个坐标系为旧坐标系和新坐标系.由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定，所以新坐标系与旧坐标系之间的关系，就由O'在O; i, j 中的坐

2、标以及i'和j'在O; i, j 中的分量所决定.任一直角坐标变换总可以分解成移轴（也叫坐标平移）和转轴 （也叫坐标旋转）两个步骤.1. 移轴如果两个标架O; i, j 和O' i, j' 的原点O与O'不同，O'在O; i, j 中的坐 标为（xo, y°），但两标架的坐标基向量相同，即有i' = i, j' = j那么标架O' i', j'可以看成是由标架 O; i, j 将原点平移到O'点而得来的（图5.7.1）.这种坐标变换叫做 移轴（坐标平移）. 设P是平面内任意一点，它对标架O

3、; i,（x； y ）,则有OP =OO O P但OP =xi 亠yj ,O P = x i y j , OO =xoi yo j 于是有x i y j =（x xo） i （y yo） j 故x, y = xo, yo + x', y' 根据向量相等的定义得移轴公式为从中解出x'和y',就得逆变换公式为j和O' i', j'的坐标分别为（x, y）与X = X 亠 Xoy = y"+y。X = X xo y'=yy。(5.7- 1)(5.7-2)89892. 转轴O = O'，但坐标基向量不同,若两个标架O;

4、i, j 和O' i', j'的原点相同，即且有/ （i, i'）=，则标架O' i', j'可以看成是由标架O; i, j 绕O点旋转角而得来的（图5.7.2）.这种由标架O; i, j 至悔架O' i', j'的坐标变换叫做 转轴（坐标旋 转）.下面推导转轴公式.设P是平面内任意一点，它对 O; i,j 和O' i', j'的坐标分别为（x, y）与 （x； y ），即有OP =xi y j0 P = x i 亠 y j因为/ （i, i' ） = :，新旧坐标基本向量之间 有关

5、系 I1I i = icost 亠 jsinfl=i cos :.兀丄丄n |丄.I sini sin 二亠 j cos、f2 2于是有OP =x（ i cosh " j si n 二） y （ i sin 二:卜 j cos® = （xcos:-ysi nM）i （x si nr " y coss） j因为O和O'是同一点，OP =O P，故可直接得到转轴公式：I =x"cosa -y sin a y =x "si na + y"cosa从（5.7 3）中解出x'和y',就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式:

6、(5.7- 3)= xcos”:亠 ysin .篇=-xsin 很亠 y cos二(5.7-4)式中的为坐标轴的旋转角.（5.7 4）式也可看成是由标架式.O ; i', j'绕O旋转-：角变到O;i, j的转轴公*根据线性代数的理论,(5.7 3)可写为Q，这里的坐标变换的矩阵_y_ycos a -sinaQ = .0cosa 一是一个正交矩阵，因而其逆矩阵Q=QT，逆变换公式可以直接由3. 般坐标变换公式在一般情况下，由旧坐标系 O xy变成新坐标系O' x'y'，总可以分两步来完成.即先 移轴使坐标原点与新坐标系的原点O'重合，变成坐标系

7、O' x y ,然后再由辅助坐标系O' x"y"转轴而成新坐标系 O' x'y'（图5.7.3）.设平面上任一点 P的旧坐标与新坐标分别为（x, y）与（x', y'）,而在辅助坐标系 O' x"y"中的坐标为（X", y"），那么由（5.7 1）与（5.7 4）分别得89"x =x" +xy =y+xo.IJx'cosg _y "sinot与dy =x sin° +y cos a由上两式得一般坐标变换公式为x = x co

8、s二-y sin ： £ 亠 x4*(5.7-5)y =x sn：.亠 y cos ：.亠 y°由(5.7-5)解出x', y'便得逆变换公式"x" = xcosa +ysina -(x0 cosa + y0sinot) 丿 *(5.7 6)y =rsina+ycosa (fsina+y0 cosot)平面直角坐标变换公式(5.7 5)是由新坐标系原点的坐标(Xo, yo)与坐标轴的旋转角:-决定的.4 .由给定的新坐标轴确定的坐标变换确定坐标变换公式，除了坐标平移和旋转外，还可以有其它方法.假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方

9、程, 可以确定又一种坐标变换公式.设在直角坐标系xOy里给定了两条相互垂直的直线li: Ax B1 y C = 0 ,I2：九乂 亠B2y 亠C2 = 0 其中AA2 B1B2 =o .如果取直线li为新 坐标系中的横轴O'x'，而直线I2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是（x, 丫）与（x', y'）.因为|x' |是点M （x, y）到O'y'轴的距离，也就 是M点到I2的距离（图5.7.4）,所以有| , Ax + by+CzlI X 1,Af - B；同理可得|Aix+Biy+Ci|y122y

10、a +Bi于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式X _ _ A2X_B2y_C2A BI丄 AiX + Biy +CiI7Ja； +B；并规定了一个轴的正方向， 就(5.7 7)为了使新坐标系仍然是右手坐标系，可将（5.7 7）式与公式（5.7 4）比较来决定（5.7-7 )中的符号因 二 A二 B2cos ：,sin ：A2 B；、兀 B；-A二 Bisin,cos.z.ABi. ABi因此(5.7- 7)中的第一式右端的x的系数应与第二式的右端的y的系数相等，所以(5.77 )的符号选取要使得这两项的系数是同号的.这种坐标变换的方法常用来在求得一般中心二次曲线的主直径的情况下，用

11、两条主直径作为新坐标轴，把二次曲线的方程化为标准方程.以上给出的坐标变换的公式(5.7 5)、( 5.7 6)和(5.7 7)实质上都是一样的.*5 .坐标变换下代数曲线及其次数的不变性F (x, y) = 0的形式，其中在直角坐标系下，如果我们所讨论的平面曲线的方程能写成F(x, y)是关于x和y的多项式，那么这种方程就叫做 代数方程，它所表示的平面曲线叫做 代数曲线不是代数曲线的曲线叫做 超越曲线代数方程的次数叫做 代数曲线的次数.由于上面给出的几个坐标变换公式都是一次式(线性的)，而任何代数方程经过一次式的变换之后必然还是代数方程，任何超越方程经过一次式的变换之后也必然还是超越方 程因此

12、有命题5.7.1曲线的代数性和超越性在线性坐标变换下保持不变.另一方面，代数方程的次数在一次式的变换之下也是保持不变的，因此还有命题5.7.2代数曲线的次数在线性坐标变换下保持不变.例1已知新坐标系的x'轴与y'轴的方程分别为 3x 4y + 6= 0与4x + 3y 17= 0,求坐标变换公式，并求点 A ( 0, 1)关于新坐标系的坐标.解 由题意，设M (x, y)是旧坐标系下任一点，其新坐标为(x', y')，则有=.4x 3y -17_5 3x 4y 6根据上面的符号选取法则得变换公式为:* 4x+3y-1753x 4y 64x+3y17x =5* 3x4y+6 y =90 90 若选第一个坐标变换公式，则点A (0, 1)关于新坐标系的坐标是(-14/5, - 2/5);若选第二个，