基本不等式专题辅导

1、、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若a,bR,则a2b22ab基本不等式专题辅导(a12(3)若ai,a2,a3,bi,b2,bR,则有:a22a32)(1b；b2242)(a1bla2b2a3b3)2设a1，a2,an与b1,b2,bn是两组实数，则有2)右a,bR,则ab2a2a；)(b12b22bn2)(a。a2b2anbn)22、基本不等式一般形式（均值不等式）、题型分析*右a,bR,则ab2Vab题型一：利用基本不等式证明不等式3、基本不等式的两个重要变形(1)若a,bR,则abab22(2)若a,bR*,则abb2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值;当两个正数的和

2、为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“二”4、求最值的条件：“一正5、常用结论(1)若x0,则x（当且仅当1时取“二”）(2)若x0,贝Ux（当且仅当1时取“=”)(3)若ab0,则ab（当且仅当b时取“=”)(4)若a,bR,则ab(a卢2(5)若a,bab特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“=”6、柯西不等式(1)若a,b,c,dR,则(a2b2)(c2d2)(acbd)221、设a,b均为正数，证明不等式7ab>112、已知b23、4、(15、a,b,c为两两不相等的实数abbcca已知aa)(1a,b,c1,求证:b)(1c)8abca,b,

3、cR6、（2013年新课，标n卷数学设a,b,c均为正数，且a(i)abbcca1;37、（2013年江苏卷（数学）b2（理）选修45:不等式选讲c1,证明:2.2ab(n)/bc选修4-5:2c1.a已知ab0,求证：2a3b32ab2a2b练习：1、已知xy x(4 x)题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)y3x2工(2)2x25一，求函数y4x2一二的最小值;44x5，、1,(3)yx(x0)(4)x1x(x0)x52、已知x,求函数y4x2的取大值;44x5题型三：利用不等式求最值(1、已知x2,求函数y2x4-)(凑项)4的最小值;2x4题型四：利用不等式求最值(二

4、)(凑系数)1、当口工C4时，求yx(82x)的最大值；变式1：已知x2,求函数y2x42x4的最小值;变式1：当口工4时，求y4x(82x)的最大值;变式2 :已知x 2 ,求函数y 2x4，一的最大值;2x 42、若0 x 2 ,求y Jx(6 3x)的最大值;题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题1 1一1、已知a,b0,a2b1,求t一一的取小值;ab法一：变式：若0x4,求yv'x(82x)的最大值;15 ,，一3、求函数y 2x 1 、5 2x(- x)的最大值;(提示：平方，利用基本不等式)、，, 一,11 ,一，一变式1：已知a,b 0,a 2b 2,求t 一 一的最小值

5、; a b2 8.一一变式2：已知x,y0,一-1,求xy的最小值;xy变式：求函数y4x3V114x(3x11)的最大值;4411变式3：已知x,y0,且1-xy一一19变式4:已知x,y0,且xy9,求xy的最小值。4,求xy的最小值;题型六：分离换元法求最值（了解）2_一x7x10.1、求函数y（x1）的值域;x1变式5:(1)若x,y0且2xy1,(2)若a,b,x,yR且a2xy,、11求一一的取小值；xy1，求xy的最小值;变式：求函数yx8(xx11）的值域;2、求函数y2的最大值；（提示：换元法）2x5变式6：已知正项等比数列an存在两项am,an,使得JamHna7a62a5

6、,右，求m4,一，一的取小值;n变式：求函数y4x9的最大值;、x 1函数yloga（x1）1的图像恒过定点A,若点A在直线mxyn0上，求4m2n的最小值；题型七：基本不等式的综合应用ab1、已知log2alog2b1,求39的最小值3、已知x,y0,x2y2xy8,求x2y最小值;2、（2009天津）已知a,b。，求葭2而的最小值;变式1：（2010四川）如果ab0,求关于a,b的表达变式1:已知a,b0,满足abab3,求ab范围;变式2：（2010山东）已知x,y°，六求xy最大值；（提示：通分或三角换元）,、211一一式a的取小值;aba(ab)变式2：（2012湖北武汉诊

7、断）已知，当a0,a1时,变式3：（2011浙江）已知x,y0,x2y2xy1,求xy最大值；题型八：利用基本不等式求参数范围、，-1 a1、（2012 沈阳检测）已知 x, y 0,且（x y）（ ） 9（） x y恒成立，求正实数 a的最小值；4、（2013年山东（理）设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当义取得最大值z一，212时，一一的取大值为（）xyzA.0B.1C.-D.34（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）一一 11 n2、已知x y z 0且恒成乂,x y y z x z如果n N，求n的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）、，, 一一1变式：

8、已知a,b 0满则一a4-4. ,一，、一 2 ,右a b c恒成立,b2变式：设x,y,z是正数，满足x2y3z0,求L的xz最小值；求c的取值范围;2八2八22(aa2a3 )(ibi题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式a b(a,b,c,d R,当且仅当一 一；即ad bc时等w成立)c d22222右 a,b,c,d R,则(a b )(c d ) (ac bd)2、二维形式的柯西不等式的变式(1)Va2 b2 vc2 d2 ac bda b(a,b, c, d R,当且仅当一 一；即ad bc时等w成立)c d(2) a2 b2 ,c2 d2 ac| |bd(a,b,c,d

9、 R,当且仅当a Wad bc时等号成立)c d-2(a b)(c d) ( . ac . bd )a b(a,b,c, d 0,当且仅当一 一；即ad bc时等w成立)c d(ai,bi R,当且仅当史业史时等号成立) bi b2 b35、一般n维柯西不等式设阚®, ,an与bib, ,bn是两组实数，则有：2222,2,22(ai a2an )(bi b26 ) (aibi a2b2anbn)(ai,bi R,当且仅当史 里曳时等号成立)bi b2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值222i、设 x, y, z R,右 x y z 4,则 x 2y 2z 的最小值为

10、时，(x, y, z) 析：(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)i2 ( 2)2 224 9 36x 2y 2z最小值为 6此日-ii2_ 2_2(2)2、一_一一一 ，、 222, 一2、设 x,y,z R, 2x y 2z 6,求 x y z 的取3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0,或存在实数k,使a k时，等号成立)4、三维柯西不等式右 ai,a2,a3, bi,b2,b3 R,则有:小值m ,并求此时x, y,z之值。42 4Ans： m 4;(x,y,z)(-,-,-)33 3,2.22b2b3)(aibia2b2a3b3)2223、设 x,y,z R, 2x 3y z 3,求 x (y 1) z之最小值为，此时y(析：2x 3y z 3 2x 3(y 1) z 0)6、求2sin33cossincoscos的