宁德市2020届高三1月质量检查(数学理)

1、2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分.第I卷1至3页，第II卷3至5页，满分150.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2 .第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3 .考试结束，监考员将试题卷和答题卡一弁交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四

2、个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z2i+2-,其中i是虚数单位，则复数z的模为1iA.二B.C.3D.22、口-人Ax+2-八2,以木己二久x40、B=x|y=log2(x2-2x-3),则AB=x1A.xI2x<1B.411xWV，C.x2r序.x茯1x1l-V)3 .已知等比数列1A . 士-44 .已知变量x , an满足a11B. 一4y满足约束条件1=一，4a2 a4 =4a3 -1，贝U a2 =811C. ±-D .1616y-1,jx y®1,则2x y的最大值为 y x 1,理科数学第6页共5页D.7我，P为空间两个不同的平面,a =

3、P且a工&且的段log 3 y =2z ,则的焦点F ,与抛物线C交于A , B若|AB| =3| CD | ,则k的值为5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为5A.B.无C.空D.1看336 .明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的一个算法.执行右图的程序框图，则输出的n=A.25B.45C.60D.757 .若a,b为空间两条不同的直线，则a!tt的一个充分条件是A.a/日且81Bb.C.ab且b域D.8 .若实数x,y,z满足log2

4、xx,y,z的大小关系是C.z<x<yD.z<y<x9 .已知点A(-2,1)和点B关于直线l:x+y-1元对称，斜率为过点A交l于点C，若#ABC的面积为2,则k的值为A.3或！b.0C.-1D.33310.已知斜率为k(k70)的直线l过抛物线C:x2=2py(p的222两点，又直线l与圆x+yk3p二0交于C,D两点.4jr*rA.2B.22C.4D.811.已知函数f ( x) =Asin(8x+a( AA 0J30)的周期为 孔，M ( m,0) , N( n,0)分别是函数 f (x)的3.图像与x轴相邻的两个交点，点Pj|a,_ (m a <n)在函

5、数f ( x)的图像上，且满足2MN PNIT工则A的值为12B. 212.已知函数f (x)=a x2 -Un x 一cos x(a R R ),以下四个命题: 2当a <-e时，函数f( x)存在零点;当a<0时，函数f ( x)没有极值点;当a=0时，函数f(x)在(0,：H)上单调递增;当a之2cos1B.C.D.时，f(x)&0在1,也)上恒成立.其中的真命题为2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学第II卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生

6、都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知向量a-(112),b-(m,1m)，若a/b,则ab=-2xa,x0,2),十二_=14. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x7),且f(x)1一4八x6,x2,4),则 f( 11)f( 15)=15.若 sin( a一)三电2(sin0f22cosa),则sin2Ct16. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD所在平面内的动点P到直线AA1,BBi的距离之差为2Ci Di.设的中点为三、解答题：本大题共6小题，满分E ,则PE的最小值为.70

7、分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. (12分)已知各项均为正数的数列an的首项ai二-1,前n项和为Sn,且Sni,Sn=2an2H.2(1)求数列an的通项公式;的前n项和Tn .(2)设bn三1，求数列b(n1)ann18. (12分)如图，矩形ABCD_L平面EBC,AB=1,2兀?EBC；，且M,N分别为AB,CE的中点.3(1)证明：MN/平面AED;(2)若BC-BE2,求二面角E-AD-B的大小.19. (12分)aBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且J2b_c=J2acosC,c=2/2.(1)求A;(2)若热BC为锐角三角形，D为BC中点，求AD的取

8、值范围.20. (12分),过F1已知椭圆C:上仲7y2=1(ab>>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为r作a2b22直线l与椭圆C交于A,B两点，AABF2的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)问：磷BF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由.21.(12分)已知函数f(x)是eaxl+-blnxax(a,bRR).(1)若b，曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=2x平行，求a的值;(2)若b=2,且函数f(x)的值域为2(升题求a的最小值.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

9、22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy中，圆C:(xT)2+(y1)1.以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，直线l的极坐标方程为8(0dQ«-)，直线l交圆C于A,B两点，P为AB中点.2(1)求点P轨迹的极坐标方程；(2)若|AB|OP|二的,求a的值.23.选修45:不等式选讲(10分)已知x+1+2x-1?m1在R上包成立.2(1)求m的最大值M.(2)若a,b均为正数，且a+L=M，求a-2b的取值范围.b-12020年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，弁给出了一种或几

10、种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.可视影响的程度决二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1.B2.A3.A4.B5.C6.D7.D8.C9.B10.A11.C12.D20分.二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分13.5

11、14.15.-316.。125三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分.2Sn.1'Sn-2an1,17.解：(1)由W两式相减，得:2,SnSn-1_2an(n&2)a ' '+ “n 1an2(an 1 an )(an 1又 丫 an >°)an4 -an2>an )( n 2) , ?(n 之 2)?当n=1时，S2#ST=2a22且a1=1,2故2a22-a2-1=0，得a2=1(a

12、2=一|<0舍去)，21 1八a2-a1=1=-,?4分2 2数列an为等差数列，公差为1,?2所以an=l-n.?6分2?111/21bn2('+j()由()及题意可得/一.、Tnn1,(n1)2n所以Tnbl+b2+b3|bn11111112(1)()()川(._)?10分22334nn12(1_L)=_2n.?分12n1n118.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,12分.考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分(1)证明：取DE中点F,分别连结AF,FN又N为BC中点，所以FN/CD,FN=CD

13、,.?1分2因为矩形ABCD中，M为AB的中点，所以AM/CD,AM=cd2所以AM/FN,AM=FN,?2分所以四边形AMNF为平行四边形，？?？3分所以AF/MN,?4分又因为AF坪面AED,MN二平面AED,所以MN/平面AED.?5分(2)因为矩形ABCDJ面EBC,矩形ABCD甯面EBCBC,ABBC1所以AB_1平面EBC.?6分如图，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),A(0,0,1),D(0,2,1),E(3Fl,O),?因为x轴邛面ABCD,所以m=(1,0,0)为平面ABCD的一个法向量，？?设n2w(x,y,z)为平面AED的法向量,因为AD三(0

14、,2,0),AE。三遇一1"),所以F2二0，得AE n2-02103x y z 0故可取n2(1,0, 3)?11分则 cos < n 1, n 2dn2nin2理科数学第8页共5页所以二面角 EdD上 的大小为12分3由图可知二面角的平面角为锐角,K?解法二:(1)取CD中点F,分别连结FM,FN,又矩形ABCD中，M为AB中占八、)所以AM/DF,AMDF,所以四边形AMFD为平行四边形，所以MF/AD,?1分U立又AD平面AED,MF平面AED,所以MF/平面AED.?2分因为F、N分别为CD、CE的中点.所以FN/DE,U又DE平面AED,FN平面AED,所以FN/平

15、面AED.?3分C-又因为MFFNF,所以平面FMN/平面AED,?又MN平面FMN,所以MN/平面AED.?(2)过点E作EG上CB交CB的延长线于G,过G作GH工DA交DA的延长线于H,连结EH,又因为平面ABCD_L平面EBC,矩形ABCD0平面EBC=BC所以EGJL"平面ABCD.EG_AH又EGGHG_二AHJL平面EGH,.EH_AH所以4HG即为二面角EAD-B的平面角，？?？10分因为AB二GH=1,GE=V3,所以tanNEHG=V3,?11分由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E_AD.B的大小为三.？?？12分319.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角

16、恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识.满分12分.解：(1)解法一：因为42bc=V2acosC,由正弦定理，得&sinB-sinC三亚sinAcosC?1分又sinB"sin/就一(A'C)-sin(AC)所以/2(sinAcosC*cosAsinC)-sinC=J2"sinAcosC?2分所以22cosAsinCsinC=0,?3分因为0<C<三所以sinC#0所以cosA=)又：0<A?4分2琳所以A=一：？5分4理科数学第11页共5页(2)由(1)知A0C根据题意得It2JI2豳得

17、4CME?2在扭BC中，由正弦定理得sinCsinB所以因为所以因为所以因为所以22sin(C_)sinC2sinC42cosCsinC(E更，3,所以tanAW(1,)42(2,4)?1为BC中点，所以AD二一22-HAD1-(ACAB)4gl(b2+4b”8)4-AB).1(b,2)21?4b(2,4)AD的取值范围为(5,10)解法二(1)因为“2b-c整理得b2c22所以cosA=a-a2-2b2bc(2)由因为922?tanA?J2acosC,由余弦定理,0V2bc?所以A2=-2bc=，2bc2江?又c22，故adBC为锐角三角形,10分12分2bc2a2-c?2ab?84b.?所

18、以所以延长a2b22C2CAD则四边形A在ABE中,c2b22b2JO=+b282b28?(2,4)分到点E,使得DEABECAE84b8b2=+4b?8分4b8b为平行四边形，所以ABE=ITBEACb.ABBE2ABBEcosabe2244?即4AD2b24b+8,所以AD11,?/j-x410因为b（2,4）,所以AD的取值范围为(5,10).?12分20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分.解：（1）7A离心率为ec?ABF2的心:为=8,=4a8，得a

19、2?b2a2c23,因此，椭圆C的标准方程为?x2y2要使?=一(2)设|AF2|ABFABF2的内切圆半径为+='S|AB|BF2|8，ABF22的内切圆面积最大，只需设A(xt,y1),B(X2,y2),直线l:xx2y2联立431消去x得：（3m2SABF21(IAF2|AB|BF2|)2后4r，SABF的值最大.？4)y26my90,xmy理科数学第11页共5页设 t =X2eax 1 ,则 ln t 产 21n x 掰 ax + 1,?7分易得 i>0，且 y1 + y2 =6m3m 4所以9,y“ 二 , ?3m 42S ABF2 % |F1F2 | y1 -y2 |

20、二(V)-4 y1 y236m236 一 12 m21 , ?,(3m2 4)2 3m243(m2 1) 112tm 131 ,则 sAbf2 = 3t 2# 11213t 一t?11设 y = 3t+- (t>1) , y'=3-? >0 ,所以 y tt=3t +1在1,全士单调递增, t?10 分所以当t =1 ,即m 0时，S abf 2的最大值为3, ?11分此时r =3所以bf2的内切圆面积最大为4Q ? 1612分（注：若讨论直线l斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分）21 .本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识

21、，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解：（1）当 b=0时，f （ x）= x2ea"1f (x) - xeax 1 (2 +ax) -a, ?由 f (1) 一 ea1(2* a) a =2 , ?得 ea 1(2 呜)(a 2)+=0 ,即(ea 1 - 1)(2 a) 0 0 , ?解得a-1 或 a 一 一 2 .?当 a 1 时，f (1)e0 +1 W ,此时直线2x恰为切线,故舍去,?所以a-2.?Hr(2)当b12时，f(x)一x2eax112lnxax,故函数f(x)可化为g(

22、t)=t-lnt+1.由g(t)=1_1=U1,可得ttg(t)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1产)，所以g(t)的最小值为g(1)=1-1n1/1=2一?8分此时t=1,函数的f(x)的值域为2,+2)t11nt21nxax1问题转化为当=时，二+；+有解，？?9分1_1-21nx即1n121nxax+1-0,得a。x121nx21nx1设h(x)=一x，则h(x)=x2,故h(x)的单调递减区间为(0,屿，单调递增区间为«ef,所以h(x)的最小值为«=_二?分h(e)e11故a的最小值为一'2=.?12分e22.选修4=4；坐标系与参数方程考查数

23、形结本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，合思想、化归与转化思想等.满分10分.解法一：(1)圆C的极坐标方颦-2P(sin0%os0)+1=0,?1分将。二"代入任一2P(sin®*cos9+10得：僻一2P(sin"+cosS)+1=0(0<立VL),2工=4(sin&*cos平一4>0成立，理科数学第14页共5页设点A,B,P对应的极径分别为R,2包P所以i 2 .2(sincos ),：?理科数学第18页共5页正1奉4(sin cos )4 |sin cos |一1,所以Po="=sina+co

24、sai,?4分2所以点P轨迹的极坐标方程为p=sin0+cos0，8会(0,主).?2分由(1)得，|AB|OP|qRp2|01P二JP1+P2)2-Pj4121P0|?分-4(sin心4cos唠)2-4|sin七J，cos叼=2Jsin21sin3.cos/V'3,?7分所以4sin2(疗sirft2,3(2sin2«-i)(2sin2«+3尸0,?分又aE(0,-),所以23二工或2d=5,?9分266即a三工或ct二史.？10分1212解法二：(1)因为P为AB中点，所以CP,AB于P,?1分故P的轨迹是以OC为直径的圆(在C的内部)，？?？2分,飞221其所在圆方程为：|xTI«y-4J=