非线性方程组求根的牛顿迭代法

1、二元非线性方程组求根的牛顿迭代法摘要:本文根据一元函数的Taybr公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上,通过MA TLAB仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。关键词:牛顿迭代法;一元函数;二元函数; Taybr公式; Matlab0 引言非线性方程的数值解法有逐步搜索法、区间二分法、迭代法、牛顿迭代法等, 那么, 对于对于非线性方程组,其牛顿迭代法的迭代方程是什么? 本文根据一元函数的Taybr公式和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法

2、,在此基础上利用推导出的二元非线性方程组求根的牛顿迭代法通过matlab仿真计算出一个方程组的根,检验了所得方法的有效性。1基本定理、结论定理1 (一元函数的Taybr公式)如果函数在含有的某个开区间内具有直阶的导数,则对任一 ,有其中= ,这里是与之间的某个值。定理2 (二元函数的Taybr公式)设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数, 为此邻域内任一点,则有 ,. 其中 表示定理3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法设已知方程f ( x) = 0有近似根 (假定f( ) 0,将函数f ( x)在点处展开,有f ( x) f ( ) + f( ) ( x -) ,于是方程f ( x) =

3、0可近似的表示为f () + f() ( x - ) = 0这是个线性方程,记其根为 + 1 ,则 + 1的计算公式为( k = 0, 1, )2二元函数的牛顿迭代法设z = f ( x, y)在点的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数, 为此邻域内任一点,则有于是方程f ( x, y) = 0可近似的表示为即同理设z = g ( x, y )在点的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数, 为此邻域内任一点,则同样有其中于是方程g ( x, y) = 0可近似的表示为即于是得到方程组求解这个方程组:当时x =y =从而:记符号又可改写为迭代公式为:通过迭代公式可迭代出当k = 1, 2, 时

4、,的值,当为给定的误差控制项)时, 原方程组的根即为。这就是二元函数牛顿(Newton)法。3方法应用例给定方程组初始条件取为x = 1, y = 1, 用二元函数牛顿迭代法求此方程组的根。解:令,计算其偏导数如下其代入迭代公式可得:运用matlab程序解得此方程组的根为:x = 1. 1572e - 005y = 1. 6094f = 8. 1770e - 006g = 3. 9235e - 005i = 5分析:初始条件取为x = 1, y = 1,可以换其他数值检验。说明误差在允许范围内! 其迭代次数为5,迭代速度比较快。参考文献: 1 马东升, 雷永军. 数值计算方法M . 北京: 机械工业出版社, 2001. 2 陈传璋,金福临,朱学炎,等. 数学分析(上册) M . 北京:高等教育出版社, 1983. 3 陈传璋,金福临,朱学炎,等. 数学分析(下册) M . 北京:高等教育出版社, 1983. 4 李海涛,邓樱. MATLAB程