D_C_隶属函数模糊集及其应用_I_D_C_隶属函数模糊集基本概念与性质

1、D. C. 隶属函数模糊集及其应用 ( I)D. C. 隶属函数模糊集基本概念与性质李雷(南京邮电大学 数理学院, 江苏 南京 210003)摘 要: 本文是D. C. 隶属函数模糊集及其应用系列研究的第一部分。建立了D. C. 隶属函数模糊集的基本概念。探讨了D. C. 隶属函数模糊集的基本性质和D. C. 隶属函数模糊集对一些常见的重要 t 模、余模 和伪补的封闭性。并以此建立了丰富的模糊数学应用模型。关键词: D. C. 隶属函数; 模糊集; t 模; 余模; 伪补中图分类号: O 159 文献标识码: A1 引言自L. A. Zadeh 教授 1965 年正式提出“模糊集合论”1 以来

2、, 模糊系统和数学已走过了近 40 年 的道路。 尽管在这条道路上遇到了许多坎坎坷坷, 经历了无数的风风雨雨, 这一学科毕竟得以蓬勃 发展起来。在理论上模糊数学的许多分支领域如模糊拓扑2- 4、模糊分析5, 12、模糊逻辑7等都得到 深入全面的发展并趋于成熟。 在应用上, 模糊系统理论和方法在工业控制8, 9、人工智能和模式识 别10、计算机理论和应用11等方面都取得了举世瞩目的成就。 更重要的是模糊系统和数学改变了 人们的观念, 使人们找到了一种用模糊集隶属函数将自然和社会的众多不确定性问题转化为精确 的数学问题的方法。这些不确定性问题通常是非线性问题, 从而使的模糊集描述不确定性现象的隶

3、属函数大都是非线性函数。人们在实际应用中已经获得许多类型的模糊集的隶属函数5, 8- 10, 并且 总结出了建立隶属函数的方法10。特别是模糊数理论的建立更对隶属函数提出系统的要求5, 12, 24, 其中凸性就是一个重要的条件, 更是一种自然的需要。 这因为一是在非线性数学研究的现实问题 中, 人们通常都要求论域是凸的, 函数是凸的、凹的或是两个凸函数的差; 二是在非线性数学模型 中, 特别在不可微函数和高维空间理论中, 人们研究比较多、应用比较广、理论较为成熟的就是凸函 数13, 15, 22; 三是凸函数与单调函数、有界变差函数类、拓扑中的单形和多胞腔、分析中的二阶导数和 集值导数、代数

4、中的二次型正定以及空间代数结构等方面有着密不可分的关系12, 13。所以, 凸性是 蕴含着丰富数学内容和具有简单的几何直观意义的数学对象。 这也正是凸分析和集值分析在非线 性科学中得以迅速发展和广泛应用的一个重要原因12。回首模糊系统与数学四十年走过的道路, 纵观模糊集理论将至不惑之年的发展历程, 人们会发 现模糊集理论一直是理论和应用两个方面相互促进协调发展。 但也不可忽视已经产生的一方面模第 4 期李雷: D. C. 隶属函数模糊集及其应用 ( I)49糊集理论逐步深刻与完善、一方面随着模糊数学广泛应用又急需进一步丰富充实大量实用方便并反映模糊特色的实际模型的现象。当然, 这种现象不单单是

5、模糊数学这个仅仅有四十年历史的学科 所特有的, 而是许多数学学科所存在的共性问题。解决这个问题的关键就在于以现有抽象理论作基 础和工具, 找到一种成熟的合适的理论框架, 并立足解决现实的具体问题。所以现在低维拓扑学, 曲 线、曲面、和曲体的分类, 三四维空间理论及其上非线性微分方程和非线性优化都成了现代数学及 其应用的主流方向4, 16。 解决模糊数学中的这一问题自然也就是要对模糊集的隶属函数寻求一个 理论和应用都较为成熟的具体的函数类, 一方面使模糊集理论建立在这一个理论之上, 另一方面又 为模糊集的应用提供丰富和便利的具体模型。 对连续型的论域, 自然通常要求是凸集, 而这在实际 问题中也

6、是如此。 但是通常的模糊集的隶属函数并不是凸函数, 如高斯隶属函数、柯西隶属函数不 是凸的。即使简单的梯形和三角形隶属函数、S 型和Z 型隶属函数, 也不是凸函数。模糊数形式上通 常也不是凸函数, 但又与凸性关系密切, 这自然使我们联想到要寻求一个较凸函数类更为广泛的函 数类。众所周知, 闭区间上可微凸函数的导数为单调增函数, 而两个单调增函数的差是有界变差函 数。这是一类非常重要的函数, 它可积、几乎处处可微, 且作成线性空间, 它的积分上限函数, 则是一 类很重要的函数, 可以证明这个积分上限函数是局部L ip sh itz 的。这类函数就是两个凸函数的差函 数类18, 19。我们称两个凸

7、函数的差为D. C. 函数。其实早在1959 年, P. H a r tm an 就讨论过用D. C. 函数表示一般函数的问题20。 近年来, 随着非线性学科的发展, 不可微函数和集值映射, 特别是凸 函数、凹函数引起人们的普遍关注, 所以D. C. 函数又在许多学科领域内受到重视15。 我们知道模 糊数空间可以等距同构嵌入到一个具体的B an ach 空间, 且在同构意义下, 两个模糊数的差等同于0, 1区间上的一个有界变差函数5, 12, 24。这自然就使我们想到用D. C. 函数作为隶属函数来探讨一 般隶属函数与这类函数的关系, 并以此建立丰富的模糊数学应用模型。本课题研究就是在系统讨论

8、D. C. 函数性质的基础上, 讨论以D. C. 函数为隶属函数的模糊集 的性质与模糊数之间的关系, 建立一般模糊集用D. C. 隶属函数模糊集的表示, D. C 隶属函数模糊 集的分解等问题。在应用方面上讨论D. C. 隶属函数模糊系统的万能逼近问题, D. C. 隶属函数模糊控制、模糊最优化、模糊测度和模糊模式识别等一系列问题.本文是这一系列研究的第一部分, 主要是建立D. C. 隶属函数模糊集的概念, 初步探讨D. C. 隶 属函数模糊集的基本性质和D. C. 隶属函数模糊集对一些常见的重要 t 模、余模和伪补的封闭性。2 D. C. 函数基础本节, 我们对 R n 中的凸集、凸函数和D

9、. C. 函数知识加以介绍。m设 x 1 , x m 为 R n 中的m 个点, 实数 1 , m 满足条件 0 i 1, 且i = 1。称点 1 x 1 +i= 1+ m x m 为 x 1 , x m 的一个凸组合。设 C < R n , 若 x 1 , x 2 C 和 R , 0 1, 有 x 1 +(1 - ) x 2 C , 则称C 为R n 的一个凸集。一些熟知的结论是C 为凸集当且仅当C 包含它的元素的 所有凸组合。特别当 C 为闭集时, C 为凸集当且仅当对任意 x 1 , x 2 C , 存在 (0, 1) 使 x 1 + (1-) x 2 C , 当且仅当对任意 x

10、1 , x 2 C , 1 (x 1 + x 2 ) C. 显然, 一族凸集的交是凸集, 但凸集的2并不一定是凸的。对 R n 的任一个非空子集 S , 记 co (S ) 为包含 S 的所有凸集的交, 称为 S 的凸包。显然 co (S ) 是凸集, 有界闭集的凸包是有界闭凸集。定理 2. 1设 S < R n , 则co (S ) = 1 x 1 + m x m | x 1 , x m S , 1 + m = 1, i 0, m 为任意自然数即 co (S ) 为 S 的元素的所有凸组合组成的集。定理 2. 2 (Cara theodory 定理)设 S < R n , 则 x

11、 co (S ) 均可表示为 S 中不多于 n + 1 个 元素的凸组合。在凸函数理论中起基础性作用的是 H ah n - B anach 分离定理。这个定理有多种表达形式, 但本质都是一致的。我们给出如下的定理形式。定理 2. 3 (Hahn - Banach 分离定理)设C < R n 为非空闭凸集, x 0 R n , 但 x 0 | C , 则存在g R n , g = 1 及实数 a > 0, 使得对任意 x C , 有< x - x 0 , g > - a(1)即< x , g > + a < x 0 , g >其中, < x

12、, g > 表示 R n 中的内积, g 表示 g 的范数。推论 2. 1 15 设C < R n 为非空闭凸集, x 0 R n , 若 x 0 | C , 则存在 y R n - 0, b R , 使< x 0 , y > < b, 且 x C , < x , y > b.现设 b R , y R n - 0, 称集H = x R n | < x , y > = b为 R n 中的超平面, 集H + = x R n | < x , y > bH - = x R n | < x , y > b分别称为闭半空间, 均

13、为凸集, 开半空间 H 0 , H 0可自然定义。当 n = 2 时, H 为R 2 中的直线, n =+ -3 时 H 为 R 3 中的平面。推论 2. 2R n 中任一个非空闭凸集 C 为包含 C 的所有闭半空间的交集。 设(x 0 , y 0 ) R n × R = R n+ 1 b R , 则 R n+ 1 的超平面H = (x , y ) R n+ 1 | < (x , y ) , (x 0 , y 0 ) > = b为线性函数 (仿射函数) y =b y 0-1 < x , x 0 > (y 0 0, 当 y 0 = 0 时 < x , x

14、0 > = b 为平行于y 0y 轴的超平面) 的图像。定义 2. 1(1) 设 C < R n 为凸集, f : C R , 若对任意 x 1 , x 2 C 和 0, 1有f (x 1 + (1 - ) x 2 ) f (x 1 ) + (1 - ) f (x 2 ) ,则称 f 为 C 上的凸函数。(2) 函数 f : C R 称为 C 上的凹函数, 若 - f 为 C 上的凸函数。(3) 函数 f : C R 称为 C 上的D. C. 函数, 若 f 为C 上两个凸函数的差, 即 f = p - q, p , q 为C 上的凸函数。称等式为 f 的一个D. C. 分解。凸函

15、数可以用凸组合和凸集加以刻画, f : C R 为凸函数当且仅当对任意 x 1 , x m C , 0 i 1 ( i = 1, , m ) , 1 + + m = 1 有f (1 x 1 + m x m ) 1 f (x 1 ) + m f (x m )现设 f : C R , 记 ep i (f ) = (x , y ) C × R | f (x ) 称为 f 的上图, 这是 R n+ 1 中位于 f的图形上方的点的集合。又对任意 a R 记L (f , a ) = x C | f (x ) a 称为 f 关于 a 的水平集。f : C R 为凸函数当且仅当 ep i (f )

16、是凸的。若 f 为凸函数, 则对任意 a R , L (f , a ) 是凸的。但 L (f , a ) 凸并不蕴含 f 是凸的。由推论 2. 5 可知 f 为凸函数当且仅当 f 为一族线性函数的上确界(这 些线性函数为边界的上半平面交为 ep i (f ) )。这也表明一族凸函数的上确界仍为凸函数。定理 2. 4设C < R n 为凸集, 内部 in tC Ø , f : C R 为凸函数, 则f 在 in tC 是局部L ip sch itz的, 即 x 0 in tC , 存在 x 0 的邻域 x 0 + 0B 及L > 0, 使得 x 1 , x 2 x 0 +

17、0B , | f (x 1 ) - f (x 2 ) |L x 1 - x 2 。定理 215设 C < R n 为凸集, 内部 in tC Ø , f : C R 为D. C. 函数, 则 f 在 in tC 内是局部L ip sch itz 的。证明因为 f 为两个凸函数的差, 所以在 in tC 内由推论 2. 1 知为两个局部L ip sch itz 函数的 差, 故也为局部L ip sch itz 函数。证毕。上述定理表明凸函数、凹函数以及D. C. 函数不连续的现象只能出现在定义域 C 的边界上。然而, 凸函数在其定义域内部可能是方向可微的, 而不必是可微的。例如:

18、 f : R R , f (x ) =| x | 在 0 点方向可微。不过可微的凸函数确有如下的特征, 是众所周知的。定理 2. 6 15, 21 设 f : C R 在开凸集 C < R n 上可微, 则 f 是凸的当且仅当对任意 x , y C有f (y ) f (x ) + < y - x , f (x ) >T其中, f (x ) =5f (x ) , 5f (x )= A f (x )。5x 15x n定理 2. 7 20, 21 设 f : C R 在开凸集 C < R n 上二次可微, 则 f 是凸的当且仅当对任意 x C , H e ssen 矩阵H (

19、x ) =52 f (x )15x 252 f (x )5x 2 5x 152 f (x )5x 1 5x 252 f (x )25x 252 f (x )5x 1 5x n52 f (x )5x 2 5x n= A 2 f (x ) = f (x )52 f (x )5x n 5x 152 f (x )5x n 5x 252 f (x )n5x 2是半正定的。即对任意 x C 和 y R n 有< y , H (x ) y > = y TH (x ) y 0定理 2. 8设 f : C R 在开凸集 C < R n 上连续可微, 则 f 是凸的当且仅当对任意 x C 和g

20、R n , < f (x + a g ) , g > 是关于满足 x + a g C 的实数 a 的单调增函数。定义 2. 2设 f : C R , 若 f 在 C 的任一点的某个邻域内为D. C. 函数, 则称 f 为 C 上的局部D. C. 函数。定理 2. 9 (Har tm an 定理) 20 每个局部D. C. 函数为D. C. 函数。定理 2. 10(1) 设 f : C R 在开凸集C < R n 上连续可微, 则 f 为D. C. 函数当且仅当对任意x C 和 g R n , < f (x + a g ) , g > 是关于满足 x + a g C

21、 的数 a 的单调增函数的差 (有界变 差函数)。(2) 设 f : C R 在开凸集C < R n 上二次可微, 则 f 为D. C. 函数当且仅当对任意 x C , f (x )可分解为两个 H e sse 矩阵 H (x ) 是半正定的函数的差。证明这是定理 2. 8 和 H a r tm an 定理的直接推论。定理 2. 11 15 任一个D. C. 函数 f 都有一个D. C. 分解 f = p - q, 其中 p 0, 或 q 0。 设论域U 为 R n 中的子集, U 上的一个模糊集A , 是指对任意 x U , 存在 A (x ) 0, 1与 x对应, 并称 A (x )

22、 为 x 属于模糊集A 的隶属程度。也即模糊集A 指的是一个函数 A : U 0, 1 ,称A 为A 的隶属函数, 简记 A (x ) 为A (x )。在不引起误解的情况下, 模糊集A 与它的隶属函数A (x )不加区别。U 上的模糊集全体构成的集族记为 F (U ) , 设A , B F (U ) , A < B 任意 x U , A (x )B (x )。称为A 与B 的并,称为A 与B 的交,(A B ) (x ) = m ax A (x ) , B (x ) (A B ) (x ) = m in A (x ) , B (x ) A (x ) = 1 - A (x )称为A 的补。

23、设A i | i I < F (U ) , A i | i I 的并和交分别为A i (x ) = supA i (x ) ,x UiIiIA i (x ) = infA i (x ) ,x UiIiI定义 2. 3设 C 为 R n 的非空凸子集, A F (C ) , 若A 为 C 上的D. C. 函数, 则称A 为 C 上的D. C. 隶属函数模糊集, 简称为D. C. 模糊集。记 C 上全体D. C. 模糊集作成的族为D C F (C )。3 D. C. 隶属函数模糊集的基本性质引理 3. 1设C 为R n 的非空凸子集, f , f i ( i = 1, m ) 为C 上的D.

24、 C. 函数, 则下列函数也是D. C. 函数。m(1) i f i (x ) , i R ;i= 1(2) m ax f i (x ) ;1im(3) m in f i (x ) ;1im(4) | f (x ) | , f + (x ) = m ax 0, f (x ) , f - (x ) = m an 0, f (x ) ;n(5) f i (x )。i= 1证明(1) 是有关凸、凹函数的众所周知性质的直接推论。(2) 设 f i (x ) = p i (x ) - q i (x ) ( i = 1, 2, m ) 是 f i 的D. C. 分解, 即 p i , q i 为凸函数。则

25、有mmf i (x ) = p i (x ) + q j (x ) - q j (x ) ,i = 1, mj = 1j i从而j = 1m mm ax f i (x ) = m axp i (x ) + q j (x ) - q j (x )1im1imj = 1j ij = 1因为凸函数族的极大值函数及和函数仍为凸函数, m ax f i (x ) 故为两个凸函数的差。1im(3) 同(2)。设 f i = p i - q i ( i = 1, m ) 为 f i 的D. C. 分解, 则有mmf i = p j - p j - q i ,i = 1, 2, mj = 1所以j = 1j

26、imm in f i = p j - m axmp j + q i为两个凸函数的差。1imj = 11imj = 1j i(4) 设 f = p - q 为 f 的D. C. 分解, p , q 为凸函数, 则| f | = 2m ax p , q -(p + q)第 4 期李雷: D. C. 隶属函数模糊集及其应用 ( I)53为 | f | 的D. C. 分解。f + 与 f - 为D. C. 函数是由常值函数为凸函数和 (2) , (3) 得到的。也可由 f + = | f | + f 及2f - = f - | f | 知。f + 与 f - 为D. C. 函数。2(5) 由结论 (4

27、) 和(1) , 可首先对 f 1 , f 2 为非负 d. c. 函数证明积为D. C. 函数。设 f 1 = p 1 - q1 0, f 2 = p 2 - q2 0 由定理 2. 8, p 1 , p 2 , q1 , q2 均为非负凸函数, 于是f 1 f 2 = (p 1 - q1 ) (p 2 - q2 )=1(p 1 + p 2 ) 2 + (q1 + q2 ) 2 -122(p 1 + q2 ) 2 + (p 2 + q1 ) 2由非负凸函数的平方是凸的知上式为 f 1 f 2 的一个D. C. 分解。对一般的D. C. 函数 f 1 = f + f - , f 2 = f +

28、 f - 有1 1 2 2f 1 f 2 = f + f + f + f -+ f - f + f - f -从而知 f 1 f 2 为D. C. 函数。m1 2 1 2 1 2 1 2再由归纳法知f i 为D. C. 函数。证毕i= 1定理 3. 2. 设 A , A i D C F (C ) , i = 1, m . 则下列模糊集均为D. C. 模糊集。m m(1) iA i (x ) , 其中i = 1, i 0, i = 1, 2, m ;i= 1m(2) A i;i= 1m(3) A i;i= 1(4) 1 - A = A ;m(5) A i (x )。i= 1i= 1证明这是引理

29、3. 1 的直接推论结果。推论 3. 1 D C F (C ) 作成有补格。4 D. C. 隶属函数模糊集的 t 模、余模和伪补的封闭性定理 3. 1 表明D . C. 模糊集关于 Z a d eh 并交补是封闭的, 我们下面讨论D . C. 模糊集对一些常 见的重要 t 模、余模和伪补的封闭性。引理 4. 1设 f: C R 为开凸集C < R n 上的D . C. 函数, g: R R 为凸函数, 则复合函数 g °f: C R 为D . C. 函数。证明设 x 0C , y0 = f (x 0 ) , 在 y0 的某个邻域 (y - 0 , y0 + 0 ) 内凸函数 g

30、 (y) 可表示为一组线 性函数的逐点上确界, 即g (y) = su p (a iy + b i) ,y (y0 - 0 , y0 + 0 )iI其中, a i, b i R , i I, I 是满足 s = su p | a i| < + 的指标集。设 f (x ) = p (x ) - q (x ) 为 f 的一iI个D . C. 分解, 其中 p , q 在满足 f (x 0 + 1B ) < (y0 - 0 , y0 + ) 的某个邻域 x 0 + 1B 内是凸的, 则对任意 x x 0 + 1B , 有a i f (x ) + b i = b i + a i p (x

31、) - a i q (x )= b i + ( s + a i) p (x ) + ( s2a i) q (x ) - S (p (x ) + q (x ) )= p i (x ) - q0 (x )其中, p i, q0 为凸函数, 且 q0 与无关。所以有g (f (x ) ) = su p (p i (x ) -q0 (x ) ) = su p p i (x ) - q0 (x ) = p 0 (x ) - q0 (x )iIiI其中, p 0 为凸函数的上确界为凸函数。故 g ° f 是局部D . C. 函数, 由 H a r tm a n 定理 (定理 2. 9) , g

32、°f 为D . C. 函数。证毕。推论 4. 1设 f: C R 为开凸集 C < R n 上的正D . C. 函数, 则 1f 为 C 上的D . C. 函数。证明由 g (x ) =1 ; R + = (0, ) R 为凸函数和引理 4. 1 知 1f 是D . C. 函数。x推论 4. 2在引理 4. 1 中的函数 g: R R 若为凹函数, 则 g ° f: C R 仍为D . C. 函数。定理 4. 1设A D C F (C ) , C < R n 为开凸集, 则S u g en o 模糊补 C (A ) =1 - A1 + A, (- 1, )仍为D

33、 . C. 模糊集。Y a g e r 模糊补 C (A ) = (1 - A ) 1, (1, )证明(1) 因为C (A ) =11 + A(1 - A ) , 所以由引理 3. 1、定理 3. 1 和推论 4. 1 知C (A ) 为D . C. 模糊集。(2) 因为幂函数 g (x ) = x (> 0) 在 > 1 时为凸函数, 在 0 < < 1 时为凹函数。所以由引 理 3. 1 和推论 4. 2 知 C (A ) 为D . C. 模糊集。证毕。定理 4. 2设 C < R n 为开凸集, A , B D C F (C ) , 则下列定义的 t2 模

34、、余模和平均算子均为D . C. 模糊集。(1) D om b i t2 模t(A , B ) =1 1, (0, ) ,A > 0, B > 0D om b i 余模1 +1 - 1A+1 - 1Bs(A , B ) =1 - 1, (0, ) ,A < 1, B < 11 +1 - 1A+1 - 1B(2) D u bo is2P rade t2模D u bo is2P rade 余模t(A , B ) =A Bm ax (A , B , ), 0, 1()s A , B= A + B - A B - m in (A , B , 1 - )m ax (1 - A ,

35、 1 - B , ), 0, 1(3) Y age r t2模t (A , B ) = 1 - m in 1, ( (1 - A ) + (1 - B ) ) 1 , (0, ) Y age r 余模(4) E in ste in 积s (A , B ) = m in 1, (A + B ) 1 , (0, ) A B E in ste in 和tep (A , B ) =2 -(A + B - A B )A + B sep (A , B ) =1 + A B(5) 代数积代数和(6) 最大- 最小平均算子tep (A , B ) = A Bsep (A , B ) = A + B - A B

36、v (A , B ) = m ax (A , B ) + (1 - )m in (A , B ) , 0, 1 (7) 广义平均算子(8) 模糊与v (A , B ) =A + B 21, R - 0(9) 模糊或v p (A , B ) = pm in (A + B ) +v (A , B ) = m in (A + B ) +(1 - p ) (A + B )2,p 0, 1 ( 1 - ) (A + B ) , 0, 12证明由引理 3. 1、定理 3. 1、引理 4. 1、推论 4. 1、推论 4. 2 以及幂函数的凸 (凹) 性可知定理的 结论为真。参考文献:1 Zadeh L A.

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