2018年高考数学一轮复习专题6.5数列的综合应用(讲)

1、第 05 节数列的综合应用【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测与数列有关的综合问题1.理解等差数列、等比数列 的概念，掌握等差数列、等 比数列的通项公式与前n项和公式及其应用.2 了解等差数列与一次函 数、等比数列与指数函数的 关系.3会用数列的等差关系或 等比关系解决实际问题.2017 浙江 6,22 ;2016 浙江文 8;理 6,20 ;2015 浙江理 20;2014 浙江文 19;理 19.1. 咼频考向.：根据数列的递推式 或者通项公式确定基本量，选择 合适的方法求和，进一步证明不 等式2. 低频考向：数列与函数相结合.3. 特别关注：(1) 灵活选用数列求和公式的 形式，关注

2、应用公式的条件；(2) 熟悉分组求和法、裂项相 消法及错位相减法；(3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.【知识清单】、等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义an+-an=常数时-常数an通项公式an=印十(n 1)dan=印qn(a1甘0)(1)定义法；(2)中项公式法：(1)定义法2an+=aan-2(n N *)?佝(2)中项公式法：anan = a；*为等差数列；(nEN * )( an式0)?an为等比数(3)通项公式法：an= pn +q( p, q列判定方法为常数，n w N*)?an为等差数(3)通项公式法：a*=cqn(c,q均是不列；为 0 的

3、常数，nEN*)?an为等比数(4)前n项和公式法：列2Sn= An +Bn(A,B为常数,(4)an为等差数列？ Aan(Aan总有nEN J?an为等差数列；意义)为等比数列(5)an为等比数列，且anAO,那么数列logaan（a a 0，且a式1）为等差数列(1)若m,n,p,qw，且(1)若m,n,p,qw N+，且m +n = p+q，则aaaaqm + n = p+q，贝Vama apq性质(2)an=am+( n m)dznn _m(2)an=amqSn,S?_Sn, S3n-S2n，仍成等比数列依次每n项和（Sn式o），即等差数列Sn,% - Sn,Ssn- S2n,，仍成等

4、比数列前n项和&佝+為）十15一九2 2q =1时，Sn =；当q鼻1时，Sa1(1qn)或Sa1anq1 -q1-q对点练习：【2018 年届广西桂林市柳州市高三模拟金卷】已知订是等差数列，公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列，且2a1a1，则 a.【答案】3【解折】V化成等比数列虽=碍 e,即 g +2 打= +MX+6小，化简得於=一%2 由 2a1 +=l 得坯+心，联立得 q 严討二一 1,故讣訂见二.数列求和1.等差数列的前n和的求和公式：snai an）二 na 凹 .2 22等比数列前n项和公式一般地，设等比数列ai,a2,a3,an/的前n项和是S aia2a

5、an,当q = 1时，Sn=a1(1 q )或Sn=aq;当q =1时，Sn= na-i(错位相减法)1 -q1-q3.数列前n项和重要公式：(1) k=1 2 3n=血卫k =12n(2) (2k -1)=1 3 5 2n-1二n2k =1【答案】(1)an=3n，bn = 3A； (2)详见解析.【解析】 试题分析：制用尊差与尊比数列的通项公式与前釈页和公式，求得和&的倩即可求解：(利用裂项 相消法求得数列的前科项和，即可得证.b2S2=12q 6 d 2试题解析：(1)设an的公差为d, /S2，二6 d!q =故1.A.2(1)1_1(11_JS1S2Sn322 33 4n(4

6、) k2=1222k a2n(3)、k3=1323n3k A32n2= 1 n(n 1)(2 n 1)62等差数列中，Sm.n= Sm - Sn- mnd；3等比数列中，Sm.=SnqnS=SmqmSn.对点练习:【2017 届浙江台州中学高三10 月月考】在等差数列an中，ai=3，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数,0 =1，公比为q，且b, S2=12,qb2(1)求 与tn；丄丄(2)证明：$S21 2+ -Sn 3，解得q = 3或q - -4(舍)，d =3，故ann(3 3n)=3 3(n_13n，W ；(2)Sn=21Snn(3 3n)3n n 1)1)r(110丄1

7、4n +122:1，二1乞2（仁丄）：:?,n 133 n 13即丄+丄e3 St S2Sn3【考点深度剖析】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、【重点难点突破】bn的前 n 项和为 Sn.(1) 若 an= 2n1,求 Sn；(2) 是否存在等比数列an，使 bn+2= Sn对任意 nN*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在，请说明理由;(3)若an是单调递增数列，求证：Sn2.【答案】(1)4 -彝.(2)满足条件的数列an存在，且只有两个，一

8、个是an= 1,另一个是 an= ( 1)n-1证明见解析 旷3二訐 r 二厂产(2)解 满足条件的数列an存在且只有两个, 其通项公式为 an= 1 和 an= ( 1)n 证明：在 bn+2= Sn中，令 n= 1，得 b3= b1.函数、最值等问题综合.考点1 等差数列和等比数列的综合问题【1-1】【2017 杭州调研】已知数列 an, bn中，a1= 1, bn= 1-字 an+1 /1, n N,数列an+1【解析】解 当 3a=2 八时 p b,a +3-所以+六）q = 1,贝Ubn= 0,满足题设条件.n_ 1此时 an= 1 和 an= ( 1).1 12若 qz 土 1,贝

9、 U 亍=q，即 q = 1,矛盾.综上所述，满足条件的数列 an存在，且只有两个, =1，另一个是 an= ( 1)n1.故 Sn= bi+ b2+ , + bn211+ 211+ , +2 丄-1a1a2a2a3anan+1=2ll丄、a1an+1=2 1 丄 2.an+1 /所以 Sn0.因为 1= a1a2, an,2一口an1,于是 0厂1.an+1an0 -an+12anbn= i12-an+1an+1an1 +an+11 亠丄an+1 /an+1an1 1 +, an+11西anan+1an+12an-士.设bn=丄bnbn+1【勺前n项和Tn.从而一=1= -bnbn+i4n(

10、n+ 1)4 卫n+ 1 丿【领悟技法】1 公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可以直接使用公式求和2.倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列耳？的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列

11、的前n项和公式就是用此法推导的.若an二bn*Cn，其中bj 是等差数列，fcj 是公比为 q 等比数列，令Sn- b?C2亠亠bnCnbnCn，则qS.，pQ亠亠-彳两式错位相减并整理即得4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法适用于类似(其中是各项不为 零的等差数列，c为常数)的数列、Janan 1 .1部分无理数列等5. 易错提示利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1) 裂项过程中易忽视常数，如1容易误裂为1-)1，漏掉前面的系数1

12、;n(n +2) 2 n n冇2 n+22(2) 裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误.应用错位相减法求和时需注意：1给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；2在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.1 123+,+1 、n n+1 厂 4(n+ 1)【触类旁通】【变式一】【2017 东北三省四校模拟】已知等差数列an的前 n 项和为 S，公差 0,且 S3ana1n1 31 = 30+ (n 1)X2= 2n，二 an= 2nX333+ S = 50, ai, a4, ai3成等比数列(1)求数列an的通项公式；设是首项为 1，公比为

13、3 的等比数列，求数列bn的前 n 项和 Tn. an【答案】(1)an= 2n+1.(2)Tn= nX3n.【解析 J(1)依題意得3X24X53a-Jn=2019?因此开始超过初 0 万元的年份是动 M 年，故选 C0,05【2-2】已知f x2，x：=l0,31,已知数列 曲满足 0：an空3, nN，且1 +x印a?a2010=670，则f）f）f2010）（）A.有最大值 6030 B .有最小值 6030 C.有最大值 6027 D .有最小值 6027【答案】A11【解析】f(3)=3，当4勺2二 二a2010 =3时，f(d)f2)f2010)=6030333+x191对于函数

14、f(x)2(0弐x咗3),k = f (),在x处的切线方程为1+x3163913y -3 (x )即y (11 -x),103103 +x312则f x2(11-x)= (x-3)(x) - 0成立，1+x1033所以 0；：an乞3,n，N时，有f(11-3a“)103f (ajf2f2010)乞10 11 2010-3(*2,2010)卜6030.A【2-3】【2017 届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4 月联考】数列、an?中，a-,2(2)JT-IIP Ian 1仝n N*a.-a.+1(i)求证：an d: an；(n)记数列：an的前 n 项和为Sn,求证：Sn: 1.【答案】(

15、i)见解析；(n)见解析.【解析】试題分析：(I)利用已知递推式作差】弔,可化为关于臥的代数式，可证此式小于o,从而证得线+i关键是求出和 E,因此要得出均+引+% 可利用放缩法由递推公式得出-and -a!1，从而证得题中不等式也可利用裂项方法，由已知递推式得试题解析:I .3| ( ) + 0A证：(1)因为 工，且，所以，所以:,1an2an J an Ja1-丄丄OiJan J1 1an Jan Aan Jland-11J1anand2an _2an _21+2an J3an J3一个一个地变形最后可得1_an1_an 11，这样也可求得和式Sn,完成不等式的证明.2(2)JT-IIP

16、 I所以，叫rt-ln-22 f 7|，所以 S” C I.(n)证法 2：心亡1打牛“=2!_州 +flj +.“+需，所以【2-4】【2017 届浙江省台州市高三 4 月一模】已知数列 皿满足:(1)求证:-;；(2)求证：盅凶務呼:.【答案】见解析；（2）见解析.【解析】试题分析匕根1BM+L= 2-AM+2+2 匡、证明不等式的左边 J （2）利用反证法设存在f利用条件和（+! 4土 CS所以 -:因亡*瓷所以一一.-.（2）假设存在.：汀.阴；3 儿代$旳由（1）可得当:忙亦时，一 _ . *丨，根据 ，而帚，EOn耘所以- -.- .On+1-l 歸血 7于是一.-J J-,-一.

17、累加可得； ；-；（*）啦 wittjv+rl由（1）可得、：，而当：；一:.时，显然有加.广.因此有-.-囱唧*1T这显然与（*）矛盾，所以迓;/辽 Ft【领悟技法】1.数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项 和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题.数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明

18、不等式，求解参数的取值范围. 以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用 函数的单调性求解，或利用放缩法证明解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差 乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项 相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较.数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：作差法；作商法；综合法；分析法；放缩法2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决.3

19、. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解.4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析 法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题.数列与解析几何的综合问题 解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列 的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解.5. 数列是一种特殊的 函数，故数列有着许多函数的性质等

20、差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着 广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的 进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注.数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点：正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征.【触类旁通】【变式一】【2017 届浙江省杭州市高三 4 月二模】已知数列aj 的各项均为非负数，其前 n 项（）右3i= 1,&505= 2017，求BQ的最大值;（2）若对任意 n N,都有q岂1，求证：0乞a

21、n-an+1.n（n +1）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析:1）根擔已知条件码兰3匸尹变形可得2%兰务十%，即4+1一叫兰% -陽+1，_Xr设 =伽-砖（21.23204）,根据累加求和可得十心十十5-4 =2016,根据不等式 丑+鱼+二生坦十空丝,可以得出* + + . + 的取值范围，又因为5409a6二印d1dd5，便可求出 玄的最大值；（2）首先假设a：akd，根据已知条件an11Bn 2an 1乞一 2得Bk 1辽Bk- Bk 1乞Bk 2，于是通过证明对于固定的k值，存在a1 aan1，由此得出与1矛盾，所以得到a.- a.1_ 0,再设b a ak .1，则

22、根据a. 1-a.a. .2-a.*可得bk_ bk 1,bk 0，接下来通过放缩，可以得到1-12 n bn，于是可以得出要证的结论.试题解析：（1 ）由题意知an彳- an空an2- and，设dj二aq -=1,2/ ,504，则a曲2乞d3 - d504，且ad2d3d504=2016，.d1 dd. d6d7,504 _2016 - d1d255409409所以d1 d2 d5乞20，BQ=B1d1d2,5空21.a+B（2）若存在N*，使得Bk1，则由亠产，得ak 1 -ak -ak 1 -ak，2，因此，从Bn项开始，数列Bn?严格递增，故aa?an-Bkak1an -n k 1

23、ak，和为Sn，且对任意的，都有anaan 2对于固定的k，当n足够大时，必有a1a an_1，与题设矛盾，所以不可能递 增，即只能an-an 1_0.令bk=ak_ak 1，k N，由ak -ak 1亠ak 1 -ak 2，得bk亠bk i，tk0，故1 _ q a2亠亠an= Ra2i亠a2亠 亠an= b 2b2aa亠an，所以bnk所以综上所述，对任意% _COS3?2n,，（叫；=1一笃122-an=Sm3?n-得1 g?4nJ,12故Snxi =219?4 2沙丄红4丄1一丄293 16427二2,1554易错典例:【2016 高考浙江理数】设数列订鳥满足an 12ak1ak 1

24、-(ll )若ann- ,证明:(I)证明:anl乏2n4(|aJ2 ), nN*；务兰2, nN审.易错分析：一是不能正确理解题意，二是在证明过程中不能正确第进行不等式的放缩11:一_2n，所以|印|an|+ +an|anP212n型22丿&23丿I2才丿1 1 + +1 22 21,因此.1 12n2n 117故lan|amfanan41+an41an 七fam 4am2门?m2门2门卅J2“卅22Jqm-J(II )任取n、“，由(I)知，对于任意m n,am?m2nn -4正确解析：试题分析：( (I先利用三角形不等式得|%|-勻吗EM+1才进而可证如纣胸2); (E由可得缪*匕*,再用累加法 r进而可得试题解析：(I )由,再利用朋的任蕙性可证I|2,an 1an2-1得