幂的知识点总结

1、幕的知识点【要点梳理】幕的知识点aman=am(其中m,n都是正整数).即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：(1幕的知识点幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质,逆用公式：把一个幕分解成两个或 ,其中它们的底数与原来的底数相，它们的即ama。，aAam*4P(m,n,p都是正整数)(3)多个同底数幕的积同指数之和等于原来的幕的指数。即a-=a-an(m,n都是正整数)要点二、幕的乘方法则公式的推广：(am»)p=a(a=0,m,n,p均为正整数)，从而va叫其中(联逆整数猾幕的来别底翳不篇据康融翻常常逆用幕的乘方运算能将

2、某些幕变形要点诠释：(1)解决问题.要点三、积的乘方法则(ab)n=anbn(其中n是正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘要点诠释：(1)公式的推广：(abc)n=an)6(11为正整数).(2)逆用公式：却匹=(6$逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时，计算2T2更简便.如：。12-要点四、注意事项底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式(1)同底数幕的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加指数为1,计算时不要遗漏幕的乘(2)方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加(3)积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)

3、都要分别乘方灵活地双向(4)应用运算性质，使运算更加方便、简洁带有负号的幕的运算，要养成先化简符号的习惯(5)(6)【典型例题】类型一、同底数幕的乘法性质1、计算：(1)424344；(2)2a3a4a5a2-2aea；y)m43)(xy)n(xy)n1(xy)m4-(xy>m(x【答案与解析】解：(1)原式=4234=4n(2) 原式=2a34 a5A2a6A2a7 aA2aAa<n n 1 m 4(3)原式=(x y)(x y)2n 1 m 42n m(x y) (x y) 2(x y).2n： ： ； m2n m【总结升华】(2) (3)小题都是混合运算,计算时要注意运算顺序

4、，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幕的乘法与整式的加减法的运算法则.在第(举一反三：【变式】计算：(1) 35 b 3)3 1 3)2；(2) Xp (-x)p (-x)印 ( p 为正整数)；(3)【答32卜2旭(-2)( n为正整数).案】解：(1)原式=35 (_3) 3 -35 3 32)小题中a的指数是1.在第小题中把X y看成一个整体.2532103-3-3.原式=XP原X2P . (_X2P =-xP 2P 2Pl = _X5P(3)式=25 22n (-2) 25 20 1 =_26 2n .2 /82、已知2壮=20,求2x的值.【思路点拨】同底数幕乘法的逆用

5、：22-22?【答案与解析】解:由2，八20得2x2八20.2X=5.【总结升华】(1)本题逆用了同底数幕的乘法法则m： n m，培养了逆向思维能力. na a a.(2)同底数幕的乘法法则的逆运用:类型二、幕的乘方法则月-m)3p ； (3) (ad【思路点拨】此题是幕的乘方运算，(1)题中的底数是a, (2)题中的底数是m, (3)题中的底数a的指数是3-m,乘方以后的指数 应是 2(3 -m) =6 -2m .【答案与解析】解:(1) (am)2 二 a2m.(2) (-m)3p=(-m)(3) (a?为 2 二 a2")【总结升华】运用幕的乘方法12二 m .定不要将幕的乘方

6、与同底数幕的乘法混淆幕则进行计算时要注意符号的计算及处理的乘方法则,也可以是单项式或多项式. 中的底数仍可以为单个数字、字4、已知X母2m 1=5,求X6m5的值.5【答案与解析】1 6m解： X2m【总结升华】5(1)逆用幕的乘方法则:12m 31 x -5 (x )- 5 丘巧.20 55amn=(am)n=(an)m.(2)本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.举一反三：【变式1】已知Xa=2,Xb=3 .求X%2b的值.【答案】3a 2b 3a 2b, a、3b2、3/J、2解：x x x (x ) (x )2 389= 72 .【变式2】已知8m =4, 8n 5,求83m2n的值

7、.【答案】解：因为 83m =(8m> =43 =64,82n =(8n)2 =52 =25.所以 83m2n=83m82n=64 25 =1600.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：(1) (ab)2=ab2 ；(2) (4ab)3 =64a3b3 ；(3) (-3x3)2=-9x【答案与解析】解：(1)错，这是积的乘方，应为：(ab)?二a2b2.(2)对.(3)错，系数应为9,应为：(-3X3)2 =9X6.【总结升华】(1)应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.(2)注意系数及系数符号，对系数一 1不可忽略.【典型例

8、题】类型一、同底数幕的乘法性质1、计算:5/8(2)(x2y>(2y一办【答案与解析】解:(1)(b2)3(b2)5(b2)=(b2)35，=(b2)g.【总结升华】(1)同底数幕相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项(2) (x-2y)(2y-x)=(x-2y)_(x-2y)=_(x-2y)式.(2)在幕的运算中，经常用到以下变形:an(n为偶数)'(a-b)nGam为偶数)为奇数)，_(b-a)n(n为奇数)类型二、幕的乘方法则2、计算:(2)(y3> (y2)32yLy5 ；(4) (X3)2(X3)4.(l)-(a-b)2h2m_24m12(3) (x)(x)；【答

9、案与解析】解:d)-(a-b)23=-(s-b)23=-(a-b)®.(2) (y3)2(y2)3一2yys=y$y6一2y6=2y6-2y6=0.10m _62m_2>4,m1>24(2m_2)2(m1)8m_82m2(X)(X)XXXXX.32/3.461218(4) (X)(X)XXX.【总结升华】(1)运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕的乘方与同底数幕的乘法混淆.(2)幕的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.3、已知8m=4,8n=5，求83m2n的值.【思路点拨】由于已知8m,&的值，所以逆用同底

10、数幕的乘法和幕的乘方把83m，2n变成83m82n=(8m)3(8M再代入计算.【答案与解析】解：因为83m=(8m)3=4?=64,82n=(8。2=52=25.所以83m2n83m82n=6425=1600.【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8m,&当成一个整体问题就会迎刃而解同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知a3m=2,b2m=3,则(a?mj+(l>j(a2b*=.【答案】一5;2322提示：原式二a3mb2m-a3mb2m代二2肝二3二原式二23A232二一5.类型三、积的乘方法则4、计算：2.

11、42.43、3、3-(2xy)a(ab)【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解:(1)-(2xy04=(-1)24(y2)4=T6x78.(2)勺2a4b3)3卜色2)32b9)3(田36)H42b2乙【总结升华】(1)应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.(2)注意系数及系数符号对系数一1不可忽略.举一反三：【变式】下列等式正确的个数是().(2x2y33=6x6y9申第-a2mf=a6m(3a6=3a95735"100101a100A.1个B.2个C.3【答A；I,提示：只有正确；一2x?y个D.4个3c69=-8xy；2m36m

12、-aa3a6'=27a812/85IO7107=3510-=3.510-同底数易的除法【要点梳理】要点一、同底数幕的除法法则同底数幕相除，底数不变，指数相减，即-a”ra（a工o,mn都是正整数，并且mn）要点诠释：（1）同底数幕乘法与同底数幕的除法是互逆运算（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数,0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幕相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式要点二、零指数幕任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a。=1（a工0）要点诠释：底数a不能为0,0。无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫

13、0次单项式.要点三、负整数指数幕1任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幕，等于这个数的n次幕的倒数，即a-（a工o,n是正整数）.a引进了零指数幕和负整数指数幕后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幕的运算性质仍然成立amanamn（|TI>Fl为整数，3=0）；mmmabab（m为整数，a=0,b=0）amamn(ITI、h为整数，3=0).要点诠释：aa=O是a。的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如2xy51（xy=0）,ab5（ab=0）（a+b）要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成a16的形式，其中n是正整数，1a|：

14、10（2）利用10的负整数次幕表示一些绝对值较小的数，即a10J的形式，其中n是正整数，1匀a|：10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幕的除法1、计算:（1） xA，X3 ；（2）（ -a） 3" a ；（3）【思路点拨】利用同底数幕相除的法则计(2xy)5"(2xyy ；(2) 、 (4)(4)两小题要注意符号.算.【答案与解析】8.38-35解：(1) X X X X .3.34(2)522(-a)5-2a = -a a .333(3) (2 xy)、(2 xy) = (2 xy) = (2 xy) =8x y .【总结升华】（1

15、）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同.（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号2、计算下列各题：5125（5a2b） F2b5a）5(1)(Xy)5"(xy)(3)(3106)4-：-(3106)2(4)(x2yM3L(2yx)2p【思路点拨】(1)若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幕的底数(5a-2b)-=(2b-5a)-(2)注意指数为1的多项式如xy的指数为1,而不是0.【答案与解析】解：(x-yA(x-y)=(x-y)5t=(x-y>.1251257(2) (5a-2b)J(2b-5a)=(2b-5a)(2b-5a)=(2

16、b-5a)(3) (315)4-(31S,=(31002=(310*=910-.(4) (x-2y)”(2y-x)=(x-2y产(x-2y)=(x-2y)J=x-2y.【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幕的除法法则进行计算.3、已知3“=2,34,求9m5的值.【答案与解析】9m 1 2n解： 一92n(32)2n32 m 234n32ml 3234n32m _32(3/附凡32(3+当3m =2, 3n =4时3原式二22 3264【总结升华】逆用同底数除法公式,设法把所求式转化成只含3m,3n的式子，再代入求值.本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，

17、我们可以把它再写成除式的形式.举一反三：【变式】已知25m=52m,求m的值.【答案】f5解：由2x5m=5x：2m得5m二2m，即5m°+2mJ=1,.55底数一不等于0和1,2，即m-1=0类型二、负整数次幕的运算4、计算：i-；(2)a2b"(a'b)3"(ab).I3)【答案与解析】1_94 49解：(1)=JI3；(2)a2bJ(a'b)3u(ab)J=a2b：La；b3_ab=a0b=b.【总结升华】要正确理解负整数指数幕的意义.举一反三:I变式】计算：2242'2(二-3.14卜.12)【答案】解:2州24 T 2 (二-3.

18、14)o12 21132 822516 1 =1732322八 2 1 1 16 11 2 128、已知3m右贝Ijm的值'【答案与解析】解：3m1133=3 ，m - -3 .27 33 n n n < u _o. o ii _o.mn=(_3)SA=81【总结升华】先将臂形为底数为3的幕，,1272）=21 , 16=2，,然后确定m、n的值，最后代值求举一反三:【变式】计算：(1)(aW)-(2)b2cn-Ac-232【答案】解：原式abcr-6ac一。8(2)原式二b2C“8b6C*=8b8C712类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：(3)-0.000135

19、； ( 4)0.000671)0.00001;(2)0.000000203【答案与解析】0.00001=10'；I JZ 7 )z 3234 - 7( /( /l z( 解0.000000203=2.03江10;-0.000135=-1.3510°0.00067=6.7况10鼻.【总结升华】注意在a10中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）【巩固练习】一.选择题3*5,-c一C的值是(A.-c8*2.金金2的值是()_n七Ao3下列计算正确的是224A.XXX4416C.aaa)B15-C小15C.C2n2C.a8D.CD.ae()B.D

20、.X3XX4=X723aaa10的幕的形式,其中正确的是().B. 1000X 10。= 10 304D. 100X1000=104 .下列各题中，计算结果写成A.100X102=103C.100X103二IO5 .列计算正确的是（）.Axyi；=xy32c.-3X2=9X432am|>8a9b5成立，则()B. -5xy2= _5X2D. -2xy28x3y6B. m = 3, n = 12A.m=6,n二12C.m=3,n=5.填空题7.若2m=6,2。=5,则2m+=8 .若(a3)a=a?贝Ux=.9 .已知a3n=5,那么a6n=.1。若a'a"=a8厕m=；

21、若3%十=81,则x=r2n3r3n325J2)J=；L(-n)I=；(-3)=12.若n是正整数，且a2n=10,piiJ(a-)2-8(-aO-三.解答题，-、/32y(4) (xy) =xy13.判断下列计算的正误.(1)X3X3X6(3)(_2ab2)2=12a2b414. (1)384、3X ( -X ) ( -X )：3-10 (-0.3 10) (0.4 10)6333-5a6-3a3 a3 ；1b3a233. )(_a 3b+；35b -2a 1 2a - b ；15.=X35,求n的值.3915(2)若a。bmbab,求m、n的值.【答案与解析】选择1题D；法案3_2【解析】(丫)©&