应变梯度理论的新进展(一)：偶应力理论和SG理论

1、| 维普资讯 h ttp:/vhzi No, 2tunc 19?9t机 械 皤JOURNAL "F MECHANICAL STRENGTH®qq V")別可应变梯度理论的新进展偶应力理论和SG理论RECENT ADVANCES IN STRAIN GRADIENT PLASTICITY ICouple stress theory and SG theory黃克智*旦值明J姜汉卿(清华天*工軽力学亲.北京1D0084 JHwang Kehchih Qiu Xmming Jiang Hanging(Detriment vf £川辭初片程耳 Mcchanics

2、*T?iAw</ Umirj/v«-BeijilOCOSi+CAi! >満要仆绍两种应吨描度塑性本构模型15战瓷禅度舉哼廉怡偶应力理论、SG应变悌度塑住理论n祁对它H! 在断製力学中的应用进厅了评述，给出一种苇虑可压缩性的方法井狠锯这种模型用薄梁弯曲的例于洽出了可压堀性的 总响"本文的讨论虽眼制在胎变理论范围内但按照拒应的方法也可戏得到流动理论的形式.关链詞应变樺度塑性個应力离阶应力断諛中图分类$ 03利'一Abfiiracl In lhe paper two kind of framewnrk al strain grp die dt plastici

3、ty recently dpvhpd aixl their applications are rcvicwwl j st ram graditnt piasticuy far CS sEid - ihv cuupie stress-chttur;r, scram gradirnl pieidcity for 5G 艮 ohd. Thp AppIicatiL>jis are mainly focussed on rhe racturt problems. One way cl crcdntin lor Tnaicrial Limpressibilii 旅 auggf Tetl- The r

4、eview is confined to ibe drforTiiatiun thecr version T though xh* flow thury vtrsion can l)e paralle'lly coniTT ucted.Key vords siraLo gradLenh plasticity> pit stress, bightr-order Eire%、fracture| 维普资讯 h ttp:/| 维普资讯 h ttp:/十丹曲的汨收封切犒，旳畸第；3收到修改稿，国家亡翠科学基全址玄帀目*也旳it列I靈助"两克智*男，主于19丝年亍讨江西雨昌丄肌朕.

5、中园科学喘院工作于请华丸学二程力学畚门讨朋屮，©坏理论口璽性本陶研究室純授、 磚士主辱闻"9拧年卑业十江西中!Ek4!i32年清华研究主坐业走国固体力学专象.溝华尢学工程力学哥究听斫怏匡射茂事位委员去力 学评徴组召集人远东与大津制断裂哮会粗姜、国际理论与应用力学麻合会理事”国乐材料力学行由学盘常委.快期从宇肝裘力半理论艮应 用.包括材粒强M宅理论，蚩细观新裂才学.匝变棒席与艮寸姣应断舉力学崔域寒器与置沮工程中的应用；财料平枸理论包聒材料丈变刑乖 构理论.耳肓相麦情况的牛恂理谱、形墟记忆吉金.佚电村*1哥卞罚筈灵等科学研寬，曾主帝了 7顼国蜜車大科研项口.昨为第一號鑿若欝茶

6、国家自性科学三尋谁.国实粒委乙托进歩一等龔等H项可师国癌与部佥贸奖励，此夕卜僉加张厚国或自然利学三等變.国墓背委科技进步一 茅桨等彳顶遽嵐一已出版5邯专膏*圧国内外学术刊轉与舍裁上屋吉论宜170叢翔，1弓!言新近的试验表明”当非均匀塑性变理恃征丘度在 徵来量级时材料R有很强的艮度效应.M Fleck 等：在细铜统的扭转试验中现務到.当铜丝的直径为 12 pm时，无哉纲的扭转融化增加至170 直匣吋的 3倍；Stolken和Evans1- ft薄梁弯曲试验中也观霜到 当梁的厚度从100 »rn减至12.5 (xm吋*无量纲的弯 曲硬化也显著增加；而在单轴拉伸情况这种艮度效应 并不年在。

7、在微米量级的尺度下微观硕度试验与縣粒 增强金属基复合材料中也观察到尺度效应，当压痕深 度从10 诚至1 pm时*金属的硬度增如一倍'"''i 对于M碳化硅颗粒加强的铝一硅基夏合村料丄 观察到当保持颗粒体积比为15蚪的条件下将縣粒直 径从比rim减为7. 5 Mm后境合村料的强度显著增 加.由于在传统的塑性理论中本鞫模型不包含任何艮 度所以它不能预测尺度效应。然而，在工程实践中迫 切需要处理微米量级的设计和制造问题洌如，厚度在 1丰m或者更小尺寸下的薄膜；雅个系统尺寸不超过 1C严m的传感器、执行器和徴电力罢统(MEMS).零部 件尺寸小于10 的微电子封装：颗

8、粒或若纤维的尺 寸在微米量级的先进夏合材料及微加工现在的设计 方法”如肓限元方法1 FEM】和计算机辅助设卄 (CAD几都是基于经典的齟性理论而它们在这微 小尺度不再适用。另一方面现左按照量子力学和原子榄拟的方法在现宴的吋闾和氏度的瓦度下赴理微米瓦 度的结枸依然很兩睢、所LL建立连纯介质框架匚考 虑P寸效应的本构模型就成为联系经與塑性力学和原 子模拟之间磁要的桥梁；促使建立泅砚尺寸下连续介境理论的另一亍目的 是在韧性材料的堂觇断裂行为和原子断裂过程之闸建 立联系=在系列值得注意的试验中-Elssner等测 戢了单品靛/蓝宝石界面的宏现断裂韧度和原子分离 功使用专门设计的四点弯曲试件测量宏观断裂

9、功以 测岀界面韧性"原子分翦功通过界面上的微观孔隙平 商形肽来确定，尽管锤是利性材料,具有很多位惜但 这蘭种材料的界面裂纹仍保持为原子尺度的尖裂蚁, 即裂尖没有純化匸原子点阵或强界面分离所需要的力 约为0盟E或者IByIE为弹性模量，叭为拉伸屈服 应力而按照经典的塑性理论池旳川也指出裂 纹前玄摄大应力水平只施达到4至5倍很明显这 远远小于Elssner等&在试验中观察到的结果不足 以达到使原子分离.考虑应变梯度的影响有望解释这 现象,在下面两节中主要介绍最近发屣起来的两种应变 梯度塑性理论及苴应用"这两种理论分别为£5应变 梯度塑性理论是"cou

10、ple .tress"的简宵WG应变 梯度塑性理论【SG 是"stretch and rotation gradients'' 的商写儿顺便指岀现在已有各沖各样的应变梯度理论。例 如Aifantis和他的合作护Z把应变梯度表示为等 效应变的-次和二次拉普拉斯算子然而他们在理论 中段有定义应变梯度的功捷矩量；壯网和Bas- 沁考虑应变梯度塑性可能的构造形式它应保持 经典齟性的基本结构.并且保证满足热力学的限制.他 们断言应变樺度理论唯一可能的构造形式为流动理 论而应蛮梯度作为一，内变量*表示即时切向硬化模 量的增加訂旦因为并没有-1统的方法枸造切向糙 fit所

11、愎这种方法尚未具体化;Dai和塊虽在他们 的率担关单晶应变禅度塑性理论中已经采用了这种内 变垦理论一2 应变梯度塑性理论偶应力理论位错理论表明材料的塑性礎化来瘪于几何必需莅 <geometrically necessary dislocation* 统计储存 位错 I statistically stored dislcxrarions)JT"：Hj,据此. Fleck和Hutchinson 111及Fleck等力发展了 种应变 栉度塑性理论它是经典的丄晞变或人擁劫理论的 - D&i H - Farkfc" D Mti tea jJy-necessAjy di

12、isloc 叭 ion densitv :n caniiLnuum cryscal pl&ricity i beory a nd FEM impbinrnWiorL 199? < unpub- IwKpd mrinuirript L 椎广”在理论中为了考虑魏转梯度的彫响引人了偶应 力孙£并且淸足二阶变形梯度本枸律的Clausius Duhem热力学限制条件八叫Fleck和Hulchinftod门应用这种理论成功地预测 了前面提到的细铜丝扭转匸'薄梁弯曲和颗粒增强 金属基夏合材料.的尺寸效应匸在这牛本构关系中为 了平衡应变和应变梯度的最纲引入了材料常数"

13、长 哽疑纲、，它被认为是材料的内祟拴度依赖于材料的 微结构：山叭在文献中对于铜估计F = 4旳而 在文献工中对于稈.估计#丄 時叫当非均习变底场 的特证尺寸匸比材料内票民寸/大得多时”应更梯度 效应小到可巴略去因为应变梯度项比应变项£的贡 献小得多即俺/在就H故此时该理论退化 为经典的J.塑性理论;但是当变形场特征尺寸L与林 料内與尺寸f JS于个数就级时例如在上面提到的 一些试验中】应变梯度效应就很重要“2-1控制方程在本节中对Fleck和HutcbinBonC1：1及Fleck等门 的应变梯度蜩性理论做一下总结只考虑平面应变变 形环=Q啲情况h Cauchy应力为如30“ 1*2

14、).把 它分为对称严九J和反应对称3g=陥两 部分*偶应力为这里希腊字母表示指标 収值范围为(12.平衡方程为3 =啤“亠 g =。(1叫' r1? _ Jl = °(2、茸中“表示对坐标的微分 5=肌“丑° 边界上的应力拽力7和偶应力拽力g为Tt =戏弘q =其中 哄边界上的单位外法线通过运动学的分析可以得到应变讪和俊移之 间及旋转向量叫=耐和曲率“ X.之间的关系J (叽*十宀 =1山 叭.】5/2(4J X，=叫从式中消去位務和旄转向量卑到X- M调条件及 X所要满足荊协调方程X = i2,i 一 i.：X：电.一 1 切门X.= 一 Xc.i = o形蛮理论

15、的本构关系可以適过应变能密度W表 示为如下形式% =朋7金鼬 化=尔7改”与经典几形变理论类佩假设应变能密度呼是应变 张董第一、第二不变量反曲率张量第二不变量(曲率张 量的第一不变量心是零1的函数.即就克智等；应变璋度理论的祈进屣"一)33(3)茸中由于阜纲的需要引入内禀村料常粒人而平面应 变悄况下的不变量为对苦虑应变梯度效应的弹姓强比材料和 Hutclunson Jl及Fleck等门建仪应变能函敕少眼下 面的巧式< 10?其中5 =署.巫是塑性槻化楷數工是单轴拉伸 屈眼应力的度<，K = £/3(1-2p)是库积模量E是弹 性僅駅心是怕松比。当曲率很小可以忽略

16、时即 加y 式11"退化为经典厲形变理论当/>=1时. 式门山退化询弹性偶应力理论aw =占匾亠尸炉+鬆& tn? 亠其中站E/屮1亠唧是剪切模莹.2.2断裂力学中的应用2, 2. 1 解折解Fleck和Hutchinson 11应用应变梯度理论计算了 由于稀政的刚体颗粒夹杂引起的宏观强比由于晞疏 孔洞引起的宏观软比*这种理论也被用来解决与断裂 招关的问题*关于応变梯匿效应在断製力学上的应用 可灿见Huang等L切的综述性文章"Xia和Hutchin-S Huang寻"点获得了考虑应变梯度效应时 弹哇一幕硬化材料的裂尖渐近解他1境现在裂尖偶 应力没有

17、奇异性*而应力罠有与HRR场九用同样的 奇异性，通过与路桎无关的/积分表示【型、1型 裂尖场的等效应力工为工=缶5 十 lU/2cVJ,'(r' CJ2J 也就是说.在I型型裂尖场中.奪敢应力与极角H 无关更重耍的是Jluang等阳】证明混伶型裂尖的应 力场是它对应的型型冋题解的我性叠加“ 由于在应更梯度瑕性理论中莪得解栃解很困堆. 所円有限元方法就成为重翌手段*有限元有法的主耍 困唯住于计算结杲与单元选取的关系很大，于是提出 了一个迫切需要解决的问题即判断某神有限单无是 否合适这需耍用解析解来进行比较而解析解仅仅在 应变梯度弹性情况才有可能*已经有k得到基于偶应 力理论弹性材

18、料的应变梯度效应.Steinberg利 MukiL用研究了应变梯度弾性村料无限大介瞳中有限 长裂纹的丨型应力场；Atkinson fQ Leppingten1 J，采用 Wkr-Hopt方法硏住了在半无限长裂纹上年用有随 距离指数衰减的法向表面力时的全场解：张林等空得 到了无限大弾性介质中E里裂纹远性作用场下的 全场解jH讪ng奪禺X悍到了毛限大弹建介质中【型 和I型裂纹远处受尺场作用的弹性全场解值得注竟 的是.弹性解除用于检查有限元计算结果的可借性外. 本身还具有很重耍的意义.Chen等L叩证明肆窝状结 构的连续件质描述奪同于具有应变拂哽敎应的弹性材 料其内禀村料长度就等同于蜂窝胞元的艮寸-

19、同 时他们由胞元璧的简单破坏准別证明蜂寓狀弹性材 料的莎裂韧度正比于 M 肛、这里帆呈胞元準的抗 拉强度川和L牛别为胞元的壁厚和尺寸: Fl?ek和 Shu-81得釧歼维增遢夏台材料同樺具有应变梅度效 应村料内票氏度等同于纤维厚度。2. 2.2 远场为HRR场和K场的弹型性有限元分特为了定出渐近解主导的范围+及研究裂绽尖端附 近从应变梯度塑性区到经典塑性区之间的过渡仏 利Hutchinsionr2<堆展了 一套育限元冇法*并在 ABAQUS有限元程序的基础上协人了新的単元和本 构在这种单元中位移和旋转柞为单元中独立的节点 变培:在Xia fH Hutchinson ZKJ的有限元分析中&

20、quot;远处 为HRR场“切很此全场均进入塑性。计真结果表 明当r>5 I吋服从HRR场*当r<Z/5吋应变梯度塑 性理论的裂尖场占主导它心之间存隹光滑的过渡， 这里尸表示到尖端的距离訂表示村料的内禀获度*在 Xia和Hutchinson1的有限元分析中作为远场边界 条件的HRR场加在r=l(W处hHuang等口肖在小范围屈服条件下对应变楼度弾 塑性材料的】型J型裂纹进行数值分祈。他们在有 限元分析中+所取区域的丰径为1 30人远远大于兀也 和 HutchinsonL2ilBf的区域 1 叭 在远方 r= 1 00(V 处"经典和场作为远处的边界条件来用Xi 和Hutc

21、hinson-展岀的新单元.在裂纹尖端的网格 划分非常精细英中最小单元的尺寸为10-7*并且力 求使单元虽宽比接近1,在小范围屈服条件下J型性硬化指数松=川吋.有| 维普资讯 h ttp:/| 维普资讯 h ttp:/4s ZhdUiig L Hu® 硝 Y Chen J T K 曲The mud? K iull-field wluDOn m dps tic mareru& with strain gradient effeg* bit J Frdcrujne-dnpre 朴 h2 H如益他 ¥ Chen J Y- Guo T F i 岀-1. -and 口*mei

22、埋詁 电w辻出吗 c口I xnd euTe 3 frctyr? in f Inhfic-phs口wvh fcrtnrad lentTnx J Fractnrr . 1勺勺代 t«n press i.|维普资讯 imp:|1PA& 甲|维普资讯 imp:|维普资讯 imp:|限元结果在r</5范围内和裂尖场的渐近解很接近. 误趙只有歆而且此结果也很接近Xifl和Hutcbrn- son L,-于裂尖场主导区的估算结果士然而如果允许 误望取10%.®有限元结果表明裂尖场主导区的尺寸 等于材料内票长度儿忆当K,比较大，塑性爸尺寸远 远尢于材料内禀艮度时才能惺证位于远

23、赴的Ki场 与应变梯度塑性製尖斷近场之间存在有HKR场：彈塑性小范围屈服I型冋题显示出一些与H型问 题五同的持去*当塑性硬比指数W-LO时，裂尖奇异场 的尺寸就是材料内樂氏度大于Xia和Hutchinson'I Cben J Y. Wen Yt Huang Y-er dl. , The nesr-rjp ahymptocic fbeldt in phenumenoloeicall strajn 誉昭d悴n pbsrKity- no be ubmmedli. 所沽计的氐另外在塑性区中'对任竞的r-Hung 等3,都滾有境现苻合HR杞场晌丫的角分布:这牛 结杲与Xi日和Hutchi

24、nson-10的结果不同他们规察到 T HRR场和应变梯厦塑性製尖场之间的过渡.差别 的原因在于Xia和Hinchin阳n"是全塑性屈服条件“ 而Huflng等门是小范围屈服条件.X3注记应变梯度塑性的偶应力理惟在定程度上成功地 估计了上面提到的細躺丝扭转薄梁弯曲比和裂尖 场*应力分析中所岀现的尺度效应.然而，5血和 Fleck-1将这种理论应用到压痕问题上、其结果与徴压 痕或者纳米压痕试箍,匸所观测到的提高2皿甚至 3U0%的结果苻合得不好匚按翌Xia和Hutch“呦及 H训吨等宀的解析和数值结果在裂纹而上距裂 矢/牡.塑性便比指数軒=5时1型阿题的最大切应 力是经典塑性解f经典鶴

25、性解就是1型的HRR解的 倍”然而在I型问题中没有观察到这种结果“原 因是在应变繰度偶应力理论中位移的二阶梯度只涉 受旋转梯席、而I型冋魁的裂尖场是无症的旋转梯度 变为低阶项因此对袈纹面上的力没有贡献由于这个 原因.Fleck和Hutchinson21提出了另一套理在 应变梯度塑性SG理论.在这个理论中除了考虑症转 梯度外还考虑担仲梯度。在下-査将讨论这种理论u3应变梯度塑性SG理论 一拉伸和旋转梯 度理论M3. 1本构方程在第2章中讨论的偶应力理修不是完整的高附梯 度理论由式1中可以看出除了经典应变知外只 有旋转张量3的禅度啓门而没有考虑植仲梯度”相应 地除了经典的Cauchy应力外只有谓应

26、力出现、而 没有其他的高附应力出现.Fleck和Hutchinson提出的应变梯度塑性SG 理论是一牛完整的二防梯度理论：由干在平面应变情 况下，下面的式（14）中定义的分解“静忒部分"和 “偏量部分”包含了离面分量所以我们给出三维情况 下的公式拉丁字母表示指师的取值范围为（1氛 3）.应变亦和应变梯度与位秽鲂的关系为岂-, +<13&治=和心（13b）应蛮偏量知和应变梯度偏fi$义为叮=务一玄忌3tl4a）帀二加-嗚H4b）其中就为加的静水部分叨I = ©沧 +<15>与应变偏量叮和应变梯度偏量M功共辘的应力分 别为对称应力G气一眄二1*2,3）

27、和对前两个牯 标对称的高阶应力以=|-,7.4=1,2.3<®变 理论的本构关系可且通过应变能密度IV吉示为；=网M =血睥（1）Fleck和Hutch加讯此假设时于不町压缩材料来 说'应变能巒度函教少仅仅仮赖于应瘦和应疲梯度张呈 的二阶不变量。应变张量的二阶不蛮童为= V2<7/73U7>而对于不可压箔材料来说Smhly占科和FkckK：证 明应变梯度张量有三个二阶不变量分别为和/%/心/瑕,和Eg；HS）Fleck和Uutchmson ,2：把应变张量和应变梯蛋张量的 不变址组合成一个新的等效应变 严=J討叮+皿山+ oVW + iW（19） 这里常数

28、z 和6具有怏度尸的呈细。Flec-k和 Hutchinson-圧堡仪这些常数应该由做观试验拟合而 得、这将在第33节中洋细讨论* Fleck和Huhin- son-2：应用这个新的等效应变 << 采用与单轴拉伸形 式相同的应变能函数即对于不可压编材料来说应变 能函数齿W = /ir （h亠1八爲石。川冷J"川 （20） 这里珂是塑性功硬化腊数圧“是拉伸屈服壷力且有 平術方程和边界条件可以宙虚功原理获 得"玉2断製力学中的应用Fleck和Hutchinson-1-研究了金属甚材料由刚性 颗粒夹茱导致的强化和孔洞的尖稳问题t Chen等触 得了 T型J型裂纹的渐近

29、無.蟆而在裂纹延民线前方 作用的面力的苻号星“不正确”的它和经典嵐黄克智尋：应变梯度理论的新逬展（一】85场或若HRR场相反=因此可以断盲.按照Flxk Hjtch.nson的应变梯度塑性SG理论求悍的渐近解主 导区为无限小对製纹尖端场的分析同样采用有限元方法°由于 在裂誤具有很大的拉伸梯度*且几乎不町压.为了精确 地体现裂尖的应变梯度效应* W亡i和Huwhizon发 展出一种新的有限元方法，这种单元在F】=1的槪限 情况下与和Hunnx住利用Wiencr-Hopf方法律到 的弹性全场解析解不仅是在裂尖而且在全场范围内 都符合得非常好©这一结果说明Wei和Hutchins

30、on 发展的新有限元方法可以体现裂尖的应变梯度效应. 包括錠转禅度和拉伸梯度。在文献辽:中应用这种单元来研究塑性硕化指數 情况下的断裂问题，在远处施加经典K ,或K |场 作为远场的边界条件.W?i和日皿咼©1：丄把内禀材 料长度和蹩性区尺寸之比作为远处载荷的度量. 其中在I型和Q型冋题，峭性区尺寸砥估计为& = K 或乩=K-,厲恋： 其中K一和Kl是远处施加的应力强度因子，萇是拉伸 屈服应力村料长度/>=/：=/1=/2<见下文式（25）. 内集材料长度/和鲍性区尺寸曲之比打R严Z 在 I型间题中对泊松比#=山49的情况.发现在裂纹延 长线上W=Q）当距裂尖距

31、离r i咸小至005Z时正应 力丁,将会由“正确''的苻号转变为“不正确”的符号因 此在裂统类端0. 05f的范阖内正应力T.的符号是 “不正确”的°这牛区Jsto. 05/C<0.1 pm）已经超出了 应变样度理论所讨伦的0. 1 jtim 10 Mm的范围了、然 而当泊松比*6 3时*得到的结论和=0.49的情况 有很大的差别不管距离裂纹尖端有多接近止应力 始终保持正确的苻号。这似乎预示着五町压缩性在 裂尖渐近解中扮演着重要的甬色还有待进一步的研 究：W占和HLHuhimim"在型裂纹稳态扩展中应用 应变梯度塑性5G理论得到了比应用CS理论高得多

32、的裂尖应力场，3.3应变梯度理论中的材料常数在应变樺度塑性理论中一个重要的方面是确定材 料常®.Nix和G皿按照细观或位错理论的观点，认 为这卜材料特征长度的呈级是平均位错间距的平方和 Burner向量之比心人但.是按照连续介质的观点、 这个材料常数和应变梯度不变呈前面的系數门心和 有一定的关系下面讨论这一问题°Smyyhlyaev和Fleck 1 "把应变梯度张量的偏量¥/分为三卜互相正交的张量*其中叭；代表拉伸梯度 张量另两亍们T和叭2代表碇转梯度张量乜式（19）+ 应变梯度张量的二阶不变址和拉伸、旋转梯度的关系 为+ 6：锦+仏如=畑;旳工+ f期

33、:诃:；一刖:河:歹 <21） 这里/是与拉仲棉度育关的杆料怏度仏和上是与两 十旋转梯度有关的材料长度.Smyshlyaev和Fleck w： 及Fleck和Hutchinson111给出这些怏度与口、门和门 的关系为Z; = <. + c > g =门（“通过密薄梁弯曲试EStolken和Evans-1）.细铜丝扭 转试验（Fleck等和微压痕试验-'-.Begley和 HufchinsonCtJ定出了这些材料常数沖处=¥ 一 J滸（23） 也就是铜的 / = 4= 0. 25 梓m 0- 5 me * 存=2 pnitZ = 1-8 找 rru 葆的 I

34、 = 6 pm Ji = 6 3S 从巧 U* 75 pm ,Zn = 3 jitm th 2- 7 严m<基于旋转梯度的理论（Fl&k和Hutchinson11'1, Fleck等中相应的材料长度为IA = 0 扎=*/ 厶=寸寿 （24 但按照这样的材料民度d微压痕或纳来试验中 仪仅能预测10% 20%的增加.与试验中规察到的 增加200300 %相望甚远，（；ao等总:和Hu肋g等发展出了一种新的模型. 把等效应变梯度与儿何必需位错密度联系起来.按照 这种理论材料悅度为I = & =舊=J/2（,25）很明显这里厶和厶与Fleck-Hutchinson的理论

35、（式 Q阴）很接近但是L比式（23呻的大很多.按照这种 材料长度得到c=Ci = 0和c = d 在（；说等庁和 Huang等建的模型中除了材料常数的选择与Flee" Hutchinson1的啟变梯度塑性SG理论不同外，本构 模型也不一样在本文第二部分中将详细讨论这种理 论<3.4可压缩性0 Wdi 十 HuTrhinsc-n J Wr Gn fimir clcmnl mcihod for the mied trnn probhm轧 1日9& fwcxlk in 卩匸口“阳人Shi M X> liudSiR Y The “jkTic kill-fild oliit

36、jon nn maTprsa& with 寻tnHn gudirnT effects,- IS9tl* ork m progress L71 Gdo HiHung Y tNix W Dm 吐Mfii hrtnism-baed sTraan grddlicni pJastanty- J , Tlheaiy. J Mcrh Phys Solids 199乩 hn |?理” h E】Y lOani If. Nix W D< et aJ. . Mpchanim-KaAed 汛活m 財亠山亡血 plasticny* 丨.Analysis. )98- (n prss),按照式仃I定艾的等效应

37、变适用于不可压缩材 料-现在给出一卜具區的考虑可压缩材料的位移场i.i = A ：才；17 jt： j 亠 2月才2 = 2皿-|口 1 R；卅一”一拦I 十 2C2：Tj <26） 叫=241! + 2丑心些+ C才一北十X：相应的应变场为纯林积膨胀*即% =金、 e = 2（ Arj + R孔 + Ct 127）把式俚斜代入式门9】*得到尊效应变= 10 在匚驴十炉 +HO （28）既然式吃门给出的是一牛纯怵积膨胀.也就卮说既沒 有统计祐存位错也洼有几何必需位错那么笄效应变 应该为0,而不应该是式貂给岀的结果，原因是.在 尋效应变严的宦义式HI中.仅反除左了悴积应变 S而投育除去悴积

38、应变的樽度耳心Smyshlyaev和 Heck 引人了曲率張量的偏最*，它和应变梯度偏 量於的关系为X/ = 5加（29）这里纵”是置换张量，把乂分为对称部分；r和反对称 部分亡Z；s =（X； + Z/） /2< 3CH Z； = skew<X；）= <1/ - Z/V2利用式（2D.<29）和（刘几武门4中的等效应变F可 以表示为'兰=角叮叮+巾加树+字炽焉十沅元（31） 其中矢量五的定义为7T = e t x*'1 - - 2axl （ / I 沂一斗肆（比：、 黄克智和井上证明廉=* 一訂弘 =扛=卍-厉与朴 武:=&、；并且建议矩竽效应

39、变石的表达式【31】屮用77-'代替五* =务務十琢沖 +号空 g 十4/xJ' （34） 苛只有体积膨胀的位移场（肝几按糜式（34定更的等 效应变占杷这乍新的尊效应变式”弋入应变能 密度W的表达式黄克智和井卜-X建议应变能密度 函数采用加下形式W = tl吃曲师尸+ E伽一） 这样就可以处理可压缩村科，为了考察可压缩性的影晌下面绐出一牛薄梁弯 曲的例子口假设薄梁的变形为平面应变弯曲曲率为 肌梁厚为触內卑材料长度 Z 和I：按照式3取 值它们和门心与心的关系为式畑,无缸纲的弯矩无世躬曲翠讹注殳活国r£須卡*"= I/A=2Zy-lXS ,E I时不同心佚下无

40、摊朝皓弯铤一无世訓的曲辛宦韻国5 = j.£r =M0>Fi蛊 I NDrmlied hendi-njj, rTLomeniI he nori ria li/rdlcurvacure for differenr raiMis of mtnn&cc msnendkngihs lo the b阳m thLckrw辞沖"<« =九 E$ « 50D 'Af/< E t与无量纲的曲率就之间的关系见图X底图 中的曲线可匕看出不同的村料内禀怏度和梁厚之比 Uh下，不可压编®=止时及可压缩宀=6歸两种悄 况的区贰.其中塑性砚

41、化指数为为5,弹性模量E是初 始屈服应力壬的500倍-0的这条曲线对应经典 塑性理论从图1可以看出技磐SG理论可以得出很 强的强化效应。当lfh = 2时也就是梁厚是内禀材料 长度的一半时.弯矩比经典情况下的弯矩大8倍多。 =0- 3和6$两种情况下弯矩之间的差别大约为 可压缩带来的影响并不大原因是弯曲问题本身 的协积应变很小a在前面3. 2节中已经指出按照不可压缩情况,SG 理论计算出的裂纹前方力的苻号是-不正确”的。现在 违不知道爭虑可压缩性给斷裂问题带吏的影响，这一 冋题的研究正在进行中：4结论新近的一些试验显示，当非均匀塑性变形的持征 尺寸为徴米量级时，经典的连续仆质塑性理论不再适 用

42、。所以迫切需要建立新的连续仲质魁性理论来址理 微米尺度下的问题用于殺系统的设计和制造（如 MEMS），或作为研究韧性材料断裂的工具.为了适应 这些需要，应变梯度塑性理论在近几年发展起来本文对两种应变梯度塑性的理论及其在断裂力学 中的应用进行了仓绍和评述n除了经典的应变分.IT. QS理论考虑了能转梯度.SG理论考虑了位移的全部 二阶梯度* CS理论只是沁理论的一个特珠情况（特续】 養 宥 文 就1 Fleck N Ai Muller G Atliby M F. et *il - Srr.nti rjdtvnt pl品-CKity： （hecuy and QK-penmyn仁 ArtMBier1

43、 咋©4 12； i7l2 务oik史n J Sw Evatis A G» A mhCnDbeiLd tetr method furthe plasTicity length scale Harvard Umvfriiiy Rpflri Meeh 320-| 维普资讯 h ttp:/導刃巻第2期欝克智等:应变嚴度埋伦的新渥展Ujyj*：JorL of ETiirteeriiing 孔 nd Applied Sc Ltcu t Harvard Una verity * Canihndge% 1997.久 Nix W Lk Mechanical prapcrurs ict ih

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