应变能密度的分析

1、3.2弹性应变能密度函数321弹性应变能密度函数的定义弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分 将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界 吸收热量，或者向外界发散热量。现分析弹性体内任一有限部分刀的外力功和内 能的变化关系，设弹性体内取出部分 工的闭合表面为S，它所包围的体积为Vo 以W表示外力由于微小位移增量在取出部分 工上所作的功，8U表示在该微 小变形过程中取出部分 工的内能增量，sK表示动能增量，Q表示热量的变化（表 示为功的单位），根据热力学第一定律，则有s

2、W = s K + s U - s Q我们首先假设弹性体的变形过程是绝热的，也就是假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽 略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一 定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为 弹性变形能或弹性应变能。 由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程， 所以，卸载后，弹性应变能将全 部释放出来。下面，推导单位体积弹性应变能的表达式。仍以X、Y、Z

3、表示单位体积的外力，表示作用在弹性体内取出部分 工表面上 单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，可以认为弹性体在外力作用下始终 处于平衡状态。外力所作的功 W包含两个部分：一部分是体力 X、Y Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W2,它们分别为111 二厂(3.30)w二皿兀 qt/r 二V以及咒二 JJ工仲沼二 JJODf + fr + N険活（3.31） SS于是，有W =兀+ W2 = jJ碑0 + ®耳淬V£=jjf （A7/ + Yv + 乃叹厂 + （Xu + Yv + Zw）dS v$（3.32）因此，外力由于微小位移增量在取出部分工上所作的功 W可以表

4、示为(3.33)dW8W+ dW2 二 jJXfSu + XufdSVs将平衡微分方程（1.66 ）和静力边界条件（1.68 ）代入上式，并利用散度定 理，上式可化为5W二町（-叽网）亦+（勺网旳亦vs=m gjj网）胪+jjj冋西力羽=jjj叭肿VVV（3.34）利用几何方程（2.12 ），并注意到°耳二一 jy、汇'二，最终可推得相应的内能增量$U为dU 二 d Jlh牧珂二山円闻羽（3.35）VV定义函数uo（j），使之满足该定义式称为格林（Green ）公式。将它代入式（3.35），有§u=H吋诃=M讐亦 训肌亦=< 诃VV Ubij¥V(3

5、.37)由上式可以看出，函数U0（ j）表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变 能密度函数（或弹性应变比能函数），简称为应变能。由于弹性应变能密度函数 表示弹性体的内能概念，因此，它必然是一个势函数，故也称之为 弹性势函数。对式（3.36 ）取积分，可得U Q （爲）r侖t. "!匚,打（3.38）这里，Uo（ j）和Uo（O）分别表示物体变形之后和未变形时的弹性应变能密度。通常，取uO（O）=O，于是有(3.39)根据格林公式（3.36），假如uo（j）的具体函数形式能够确定的话，那么，弹 性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。 这表明，弹性应变能密度函数是 弹性材料本构关

6、系的另一种表达形式。若假设uo（§）对j有二阶以上的连续偏导数，则由格林公式（3.36），可进一步 推得%二叽运； CS.（ 340）上式就称为广义格林公式。将式（3.3 ）代入广义格林公式，可得(3.41)这就证明了各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个以上我们讨论的是弹性体的准静态加载过程，如果弹性体在外力作用下处于. 运动状态,同样可以证明,弹性应变能密度函数仍具有式（3.39）所表示的形式 此外，还可以证明，对于变形过程是等温的情形,弹性应变能密度函数也可以近 似地表示为式（3.39 ）的形式。3.2.2线弹性体的弹性应变能密度函数对线弹性体，它的应力与应变之间呈线性关系，如

7、式（3.2）所示，因此，由 式（3.39 ）可以发现，弹性应变能密度函数 uo（ij）定是应变张量分量的二次齐 次函数。根据齐次函数的欧拉（Euler）定理，有(3.42)代入格林公式（3.36），得（3.43）这就是线弹性体弹性应变能密度函数 Uo（ §）的最一般表达形式。对于各向同性弹性体，则有Wo （勺）二 + 5局二札防 + 2G& +£； + £；） + G（殆 + 了； + 总）（3.44）或"o（W ）二寺（b； + b + b； ） - 2 （耳弓 + bz + bzbj +右儒+；+：）（3.45）从表达式（3.44 ）或式（3

8、.45 ）中可得到一个重要的结论：各向同性弹性体的弹性应变能密度函数恒为正，而且分别为 g和c j的二次齐函数。若将式（3.45 ）分别对各个应力分量求偏导数，则可推得込二勾（346）上式表明：对弹性势函数uo（ c ij）求各个应力分量的偏导数，就可以得到相应 的各个应变张量分量。从弹性应变能密度函数 比（§）出发，我们还可以求出整个弹性体的总应变能U。设一个弹性体的体积为V，则整个弹性体的总应变能U为&nbs,p;&, ;nbs, p; (3.47)V1N2 （x）dx 1以下，列出几个各向同性弹性体常用的应变能表达式:° £4 :（工）凤 1

9、 F EI EA（）2dx （杆拉伸情形）"U血M它-Ei（yax （梁纯弯曲情形） 2Jo dx2=-f理辿=-（GI （坐）临（圆轴杆扭转情形） 2Jo G仁2Jo 八dx323体变能和畸变能的概念在介绍体变能和畸变能的概念之前，我们首先对各向同性弹性体的本构方程（3.21）作一有意义的分解，即把应力张量和应变张量都分解为球量和偏量两个 部分（T ij = sij +（T m S ijij = eij + m S ij这里，（T m =（T ii /3 = （T x+（T y+ c z）/3为平均应力或静水应力,j m= di / 3= （ j x + j y+ j z）/3 为

10、平均正应变。于是，式（3.21 ）就改写为勺+ b再-兄陶+ 2"（勺+ sm3g ） =2“旬+（加9 + 2岭）爲 =2“旬+（32十2“）&詢利用体积模量K=（3入+2卩）/3，则上式变为(3.48 )sj + a m S ij = 2ge i+3Ke m将式（3.26 ）代入上式，可得片=2/佝=2G§jafwuf（3.49）由此可见，对各向同性弹性体，其变形可以分为相互独立的两个部分：一部分是由各向相等的正应力（静水应力）引起的相对体积变形（体积应变）；另一 部分则是由应力偏量作用所引起的物体几何形状的变化（即畸变）。现考察各向同性弹性体在两种特殊的应力状态作用下的弹性应变能：一种对应的应力张量是球量，另一种对应的应力张量是偏量。由于在以应力球张量描绘 的应力状态作用下，各向同性弹性体仅产生体积变化， 所以，称与之对应的弹性 应变能为体变能；而在以应力偏量描绘的应力状态作用下， 各向同性弹性体仅产 生几何形状的变化，所以，称与之对应的弹性应变能为 畸变能（或形变能）。根 据各向同性弹性体的弹性应变能密度函数的表达式（