中考数学压轴题北京专冲刺：中考数学压轴题北京专冲刺3

1、中考数学压轴题冲刺第三讲新定义问题中考点津新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表 现其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点其问题模型可以表示 为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”这种新定义问题虽然在构造方式 上“五花八门”， 但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律.新定义题型是近几年北京中考最后一题的热点题型“该类题从题型上看， 有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的; 有理解新概念再解决新问题的，等等这类试题不来源于课本且高于课本，结 构独特.北京第 25 题分析北

2、京第 29 题分析年份201420 仃考点新定义问题一一先学习后判断，函数综合给出新定义，学习，应 用佳题点拨例题 1 在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于 1，则称P为图形M的关联点.(1)当LO的半径为 2 时,点P在直线y二-x上，若P为LO的关联点，求点P的横坐标的取值范围.(2)LC的圆心在x轴上，半径为 2,直线y=-x与x轴、y轴交于点A、B若线段AB上的所有点都是LC的关联点，直接写出圆心w1 或 2wxw2 2【答案】(1)F2，B，wXW二 或于，(2)2wx在点jo中，U O的关联点是C的横坐标的

3、取值范围.【解析】试题分祈 M 1)由题 It 得p 只零在以 0 为便心，半泾为 1 和 3 两圆之间 Pf可，由邂=0 号的值可知出 为鈕的关联点$满足条件的 P 只需在以 O 为圆心半彳劲 1 和 3 两圆之间艮呵所以,P橫坐标范围是 華 W 進丰 或 密肛半,一分四种情况讨论即可，当圜过点 A CA=3 时当圆与小圆三444担创叮匚岂.凰.过鱼:吐自园这虜.2主.賞飓毎二_ _试题解析：(1),2_2点 P 与。的最小距离为才，点 P，为，二。的关联点为 F2和 F3.设点 P 的坐标为 P (x ,-x)与。的最小距离为 1,点 F3与。的最小距离根据定义分析，可得当直线题意；y=_

4、x上的点 P 到原点的距离在1 到 3 之间时符合当 OP=1 时， 由距离公式可得,OP=解得当 OP=3 时， 由距离公式可得,OP=/；：,x2x9,解点的横坐标的取值范围为一仝 XW 二 或二 XW22 2 2j广、，八/鶯尸 -:广O; 八0 f ” ”%、t 1idi j0t魚f %J tt-jpvf3 /十”V一/J丁严 x+1 印由、轴的交点分 mA. B 两点，令 H 得，得1 令得孟=0 得Z(1.0) (OJ：S分析得：如團 1当同过点 A 04,此时 CA=3.二点 C 坐标为 j C(-2t0) I十-、* % #R/ 、/ / 1:广、(Sfcb亠；I C / .1

5、j/f * 、 抵J%h0 A f/JFV图1如图 2,当圆与小圆相切时，切点为 D, CD=1,yJ/fff# L _1ffi J - * ys J) 求II%*i h 1 j.,:1c * 9 iX3 即!工y*J/ /I圉2又丁直线 AB 所在的幽裁解析式为仆*1：/直线 AB 与轴形成的夹甬是 4 宁，./. RTA 吕 CD 中，CA-V2 ,/亡点坐标为（1-72,0；A C 点的横坐标的取値范围为 如图 3,当圆过点 A 时，AC=1 ,C 点坐标为（2,0）如图 4,当圆过点 B 时，连接 BC ,此时 BC =3,在 Rt OCB 中，由勾股定理得OC=二品,C 点坐标为（2

6、 2 ,0）.0 4 P CE4C 点的横坐标的取值范围为 2兀 2 2 ;综上所述点 C 的横坐标的取值范围为-W22例题 2 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（，点 Q 的坐标为（，）,且，若 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与 某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P,Q 的“相关矩形”。下图为点 P, Q 的“相关矩 形”的示意图。14101!1V1 1| 11JJ （1）已知点 A 的坐标为（1，0），1若点 B 的坐标为（3，1）求点 A，B 的“相关矩形”的面积；2点 C 在直线 x=3 上，若点 A,C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表 达式；（2）的半径

7、为_，点 M 的坐标为（m,3）。若在上存在一点 N,使得点 M,N的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围。分析：（1）由相关矩形的定义可知：要求 A 与 B 的相关矩形面积，则 AB 必 为对角线，利用 A、B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度， 进而可求出 该矩形的面积；由定义可知，AC 必为正方形的对角线，所以 AC 与 x 轴的夹角必为 45,设直 线 AC 的解析式为；y=kx+b，由此可知 k= 1，再（1，0）代入 y=kx+b，即可 求出 b 的值；（2）由定义可知，MN 必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即 直线 MN 与 x 轴的夹角为 45,由因为点

8、 N 在圆 0 上，所以该直线 MN 与圆 0 一定要有交点，由此可以求出 m 的范围.解答：（1）：A （1, 0），B （3，1）由定义可知：点 A, B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1,点 A, B 的“相关矩形”的面积为 2X仁 2;由定义可知：AC 是点 A, C 的“相关矩形”的对角线, 又点 A, C 的“相关矩形”为正方形直线 AC 与 x 轴的夹角为 45,设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=-x+n把( 1, 0)分别 y=x+mm=-1,直线 AC 的解析为：y=x-1 ,把(1, 0)代入 y=-x+n ,n=1, y=-x+1 ,综上所述，若点 A,

9、 C 的“相关矩形”为正方形,*./y直线 AC 的表达式为 y=x-1 或 y=-x+1 ;J(2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b ,水v点 M, N 的“相关矩形”为正方形，少 VJ J 5 x由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45 ,/ %/ a k= 1 ,-4点 N 在 O 上，当直线 MN 与 O 有交点时，点 M N 的“相关矩形”为正方形，当 k=1 时，作 O 的切线 AD 和 BC,且与直线 MN 平行，其中 A、C 为 O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D,直线 BC 与 y 轴交于点 B, 连接OA OC把 M (m, 3)代入 y=x+b ,

10、b=3-m,直线 MN 的解析式为：y=x+3-mvZADO=45, /OAD=90,OD=2OA=2D( 0 , 2)同理可得：B (0 , -2 ),令 x=0 代入 y=x+3-m, y=3-m, -2 3-m 2,1w m0,对于任意 的函数值 y,都满足-Mvy 如，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其 边界值是 1.（1） 分别判断函数 y=2 （x 0）和 y=x+1 （- 4$电）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2） 若函数 y=- x+1 （a 承希，ba）的边界值是 2，且这个函数的最大值

11、也是 2,求 b 的取值范围；（3） 将函数 y=x2（ - 1 承Wn，m%）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的 边界值是 t，当 m 在什么范围时，满足一垄W?i$.1/分（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；析（2）根据函数的增减性、边界值确定 a=- 1;然后由 函数的最大值也是 2” 来求 b 的取值范围；（3）需要分类讨论：mv1 和 mN两种情况由函数解析式得到该函数图象过点（-1, 1）、（ 0,0）,根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（-1， 1 - m） （0,- m）；最后由函数边界值的定义列出不等式 专目-mW或-y=x+1 （- 4$电）

12、是有界函数.边界值为：2+1=3;(2)v函数 y=- x+1 的图象是 y 随 x 的增大而减小,当 x=a 时，y= - a+1=2，贝Ua=- 1 f - 2- b+laa-（3）若 m 1，函数向下平移 m 个单位后，x=0 时，函数值小于-1，此 时函数的边界 t，与题意不符，故 m1.当 x=- 1 时，y=1 即过点（-1，1）当 x=0 时，y最小=0，即过点（0，0），都向下平移 m 个单位，则（-1，1 - m）、（ 0，- m）昱1 - mW或1 - m-，440WnQ或上知勻.44模拟训练1 昌平29.在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：对于。C 及。C 外一点

13、 P，M，N 是。C 上两点，当/ MPN 最大时，称/ MPN 为点 P 关于。C 的“视角”.（1）如图，。O 的半径为 1，1已知点 A （ 0，2），画出点 A 关于。O 的“视角”;若点 P 在直线 x = 2 上，则点 P 关于。O 的最大“视角”的度数_ ;2在第一象限内有一点 B （m，m），点 B 关于。O 的“视角”为 60求点K- m0）不是有界函数.B 的坐标;3若点 P 在直线y X+ 2 上且点 P 关于。0 的“视角”大于 60求 点 P 的横坐标 Xp的取值范围.(2)0C 的圆心在 x 轴上，半径为 1,点 E 的坐标为(0, 1),点 F 的坐标为(0, -

14、1),若线段 EF 上所有的点关于OC 的“视角”都小于 120,直接写出点 C 的横坐标 xC的取值范围.面直角坐标系 xOy 中，对于半径为 r(r 0)的OO 和点 P,给出如下定义：若 r PO-2V-22329.在3-211 1Illy-2 -1 0123-1-2-2詞O2 3X(3)当OO 的半径为 2 时，直线 y =11 X b (bM0)与 x 轴交于点 M，与3y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在OO 的“近外点”，直接写出 b 的取值范围.加54321-7 65 -4 3 2 -10-11 2 3 4 5 6 7 J2-3-4-5-L4J21站dW-7-6-51 2 j

15、 4 5 6 7x-4-5备川图3 东城29 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 P 与点 Q 不重合以点 P 为圆心作经过点 Q 的 圆，则称该圆为点 P，Q 的相关圆”.(1) 已知点 P 的坐标为(2, 0)，1若点 Q 的坐标为(0, 1)，求点 P，Q 的相关圆”的面积；2若点 Q 的坐标为(3, n)，且点 P，Q 的相关圆”的半径为.5，求 n 的值.（2）已知 ABC 为等边三角形，点 A 和点 B 的坐标分别为（J3 , 0）, U3 ,0），点 C 在 y 轴正半轴上若点 P, Q 的 相关圆”恰好是厶 ABC 的内切圆且点 Q 在直线 y=2x 上，求点 Q 的坐标.（3

16、）已知 ABC 三个顶点的坐标为：A（七，0），B（9，0）,C（ 0，4），点 P2的坐标为（0，3），点 Q 的坐标为（m, 3）若点 P, Q 的相关圆”与 ABC2 2的三边中至少一边存在公共点，直接写出m 的取值范围.气43j2-11jiii11 1JJ11J5 4 -3 -2 -L-2j4 房山29.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 与点 B 的坐标分别是（1, 0），（7，0）.（1）对于坐标平面内的一点 P,给出如下定义：如果/ APB=45,贝 U 称点 P 为线段 AB 的“等角点”.显然，线段 AB 的“等角点”有无数个，且 A、B、P 三点共圆.设 A、B、P

17、 三点所在圆的圆心为 C,直接写出点 C 的坐标和。C 的半径；y 轴正半轴上是否有线段 AB 的“等角点”？如果有，求出“等角点” 的坐标；如果没有，请说明理由；(2) 当点P在y轴正半轴上运动时， / APB是否有最大值？如果有， 说明此 时/APB最大的理由，并求出点 P 的坐标；如果没有，也请说明理由5 丰台29.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P （x, y）和 Q（x, y）,给出如下定义： 若yuy（xm），则称点Q为点 p 的“可控变点”._y （x 0 ）例如：点（1 , 2）的“可控变点”为点（1, 2）,点（-1, 3）的“可 控变点”为点（-1,- 3）.（1）

18、点（-5,- 2）的“可控变点”坐标为 _;（2） 若点 P 在函数 y =x216 的图象上，其“可控变点” Q 的纵坐标 y 是 7,求“可控变点” Q 的横坐标；（3）若点 P 在函数 y = -x2*16 （-5乞xa）的图象上，其“可控变点” Q 的纵坐标 y的取值范围是-16乞y乜16，求实数 a 的取值范围.6 海淀29.在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P, Q 两点给出如下定义：若点 P 到两坐 标轴的距离之和等于点 Q 到两坐标轴的距离之和，则称 P，Q 两点为同族 点下图中的 P，Q 两点即为同族点.1作g2B* 旺.11 I1 !1a-3 -2 -101123(1)

19、已知点 A 的坐标为(-3，1)，1在点 R( 0,4)2,2),T( 2,-3)中，为点 A 的同族点的是_；2若点 B 在 x 轴上，且 A,B 两点为同族点，则点 B 的坐标为_；(2) 直线 I:y=x-3，与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,1M 为线段 CD 上一点， 若在直线x=n上存在点 N,使得 M, N 两点为 同族点，求 n 的取值范围；2M 为直线 I 上的一个动点，若以(m, 0)为圆心，-.2为半径的圆上 存在点 N，使得 M , N 两点为同族点，直接写出 m 的取值范围.27 怀柔29.在平面直角坐标系xOy中， 点P和点P/关于y=x轴对称， 点Q和点

20、P， 关 于R (a,0 )中心对称，则称点 Q 是点 P 关于 y=x 轴，点 R (a,0 )的“轴中 对称点”.(1)如图 1，已知点 A( 0,1).若点 B 是点 A 关于 y=x 轴，点 G(3,0 )的“轴中对称点”，则点 B 的坐标若点(-3,0 )是点 A 关于 y=x 轴，点 R(a,0 )的“轴中对称点”，则 a= ;(2) 如图 2,OO 的半径为 1，若。O 上存在点 M 使得点M是点 M 关于 y=x轴，点 T (b，0)的“轴中对称点”，且点M在射线 y=x-4(x4)上.1。O 上的点 M 关于 y=x 轴对称时，对称点组成的图形是;2求 b 的取值范围；(3)

21、0E 的半径为 2,点 E (0, t )是 y 轴上的动点，若。E 上存在点 N,使得 点 NT是点 N 关于 y=x 轴，点(2, 0)的“轴中对称点”，并且 NT在直线P1上，请直接写出 t 的取值范围.8 石景山备用图29 .在平面直角坐标系xOy中， 点P的坐标为(a,b)， 点P的变换点P的坐标定 义如下：当a b时，点P的坐标为(-a,b);当a b时，点P的坐标为(-b,a).(1)_点A(3,1)的变换点A的坐标是_ ；点B(4,2)的变换点为 B，连接OB，OB，贝U .BOB= _；(2)已知抛物线y =7x 2)2m与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，顶点为E点P在

22、抛物线y(x 2)2m上，点P的变换点为P.若点P恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D是菱形，求m的值；(3)若点F是函数y = -2x -6(-4x-2)图象上的一点，点F的变换点 为F，连接FF，以FF为直径作。M，OM的半径为r，请直接写出r的取 值范围-5 -4 -3 -2 -I023-0), 0B= - m2m2=、2m = 2,则厶 AOB 的纵横比M_ , AOE 的纵横比、2_ ;2点在 F 第四象限，若 AOF 的纵横比为 1,写出一个符合条件的点 F 的坐标;13点 M 是双曲线 y 二一上一个动点，若 AOM 的纵横比为 1,求点 M 的坐标;2x（2）如图 3,点

23、 A（1, 0）,OP 以 P（0,3）为圆心，1 为半径，点 N 是OP 上一个 动点，直接写出 AON 的纵横比 的取值范围.图3依题可得1252=( 5)2,解得n = _2.(2) ABC 内切圆的圆心的坐标为(0, 1),半径为 1. 即点 P 的坐标为(0, 1),且 PQ=1.因为点 Q 在直线 y=2x 上，所以令 Q (n,2n).可得n2(2n-1)2=12.解得n=0或n=上.5所以 Q 的坐标为(0, 0)或(4,-)55 B ( 2 ,2 ) . 4 分点 P 关于。O 的“视角”大于 60点 P 在以 0 为圆心 1 为半径与 2 为半径的圆环内.点 P 在直线y3

24、x 2上，由上可得 xP=0 或 33 0 xP 空 3 .332 朝阳29解:(1) B, C.(2)vE(3,4)E0=5.心 5, 35r -5.2.10 . *r二5.(3)二乞b岂2一3或-2 . 3乞b_ 二333东城29.解:PQ=5，点 P, Q 的相关圆”的面积5n；(3) 点 P, Q 的相关圆”与 AC 相切时，半径最小为-;2点 P, Q 的相关圆”过点 B 时，半径最大为310.2所以 m 的取值范围：_3乔:和3V：3询.7 分2 2 2 24 房山 29.( 1)圆心 C 的坐标为(4,3)和(4,-3)；半径为兰； 3 分y 轴的正半轴上存在线段 AB 的“等角

25、点”4 分如图所示： 当圆心为 C(4,3)时， 过点 C 作 CD 丄 y 轴于 D, 则D(0,3) , CD=4C 的半径 r=3.24,0C 与 y 轴相交，设交点为 Pi、P2,此时 Pi、P2在 y 轴的正半轴上 连接 CPi、CP2、CA,贝 U CPi=CP2=CA=r=3/2/CD 丄 y 轴，CD=4, CPi=32 DPi=CP12- CD2=、2=DP2 Pi(0,3+ .2 ) P2(0,3-(2)当过点 A, B 的圆与 y 轴正半轴相切于点 P 时，/ APB 最 大.6 分理由如下：如果点 P 在 y 轴的正半轴上，设此时圆心为 E，则 E 在第一 象限在 y

26、轴的正半轴上任取一点 M (不与点 P 重合)，连接 MA, MB , PA, PB,设 MB 交于OE 于点 N,连接 NA,点 P,点 N 在OE 上，APB=ZANB,vZANB 是厶 MAN 的外角， / ANBZAMB，即ZAPBZAMB.此时，过点 E 作 EF 丄 x 轴于 F,则 AF=丄 AB=3, OF=42连接 EA, EP,vOE 与 y 轴相切于点 P,则 EP 丄 y 轴，四边形 OPEF 是矩形，OP=EF , PE=OF=4.OE 的半径为 4, 即 EA=4,在 RtAAEF 中，EF=EA2- AF2= 42- 33= 7,OP=7即 P(0,7). 8 分

27、T-5 丰台29解：(1)点 M 坐标为(-5, 2).(2)依题意，y=X216 图象上的点 P 的 可控变点”必在 函数2-X 16 x _ 0 x -16 x：0的图象上.可控变点”Q 的纵坐标 y 是 7,当一 x2.17，解得 x =32分当X2-16=7，解得 x.迈 3. 3 分故答案为- .23 或3. . 4分，6(3)依题意，y=X2+16 图象上的点 P 的可控变点” 2必在函数_x/16-0)Ax -16(xv0)1 1|1a的图象上(如图).芸0V -1 y 1.-8 分7 怀柔29 解：(1) B (5,0 ) . 1 分 a=-1. . 2 分(2). 圆3 分当

28、以 1 为半径的圆过（4,0 ）时，圆心坐标（3,0 ）.当以 1 为半径的圆与射线 y=x-4 相切时,圆心坐标（丄,0 ）4 分(3)1. 8 分 8 石景山29. (1)A(-3,1);.BOB =90 .2 分(2)解法一：由题意得，y = -(x 2)2m的顶点E的坐标为E(2,m),m 0.点P恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D是菱形， 点P的坐标为P ( -2, -m).如图 1,若点P的坐标为P(2, -m),点P在抛物线y = -(x 2)2m上,2-m - -(2 2) m.m=8，符合题意.5 分如图 2,若点P的坐标为P(-m,2)，由题意得，y = + X 2) m的顶点E的坐标为E(- 2m,m 0. 点P在抛物线y =-(x 2)2m上,设点P的坐标为(x, -(x 2)2m).若x -(x 2)2m，则点P的坐标为P (-x,-(x 2)2m),3 分 点P恰好在抛物线的对称轴上，且四