中考复习专题练习切线的判定与性质

1、学习必备欢迎下载切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。经典例题：【例 1】如图，AC 为OO 的直径，B 是OO 外一点，AB 交OO 于 E 点，过 E 点作OO的切线，交 BC 于 D 点，DE = DC,作 EF 丄 AC 于 F 点，交 AD 于 M 点。(1) 求证：BC 是OO 的切线；(2) EM = FM。分析：(1)由于 AC 为直径，可考虑连结 EC,构造直角三角形来解题， 要

2、证 BC 是OO 的切线，证到/ 1 +Z3 = 90即可；(2)可证到 EF / BC,考虑用比例线段证线段相等。证明：(1)连结 EC,vDE = CD,/1 =Z2/ DEBOO 于 E, ./ 2=ZBAC / AC 为直径， / BAC+Z3= 90/1 + / 3 = 90,故 BC 是OO 的切线。(2)/ 1 +Z3= 90,. BC 丄 AC又 EF 丄 AC,. EF / BCEM AM MFBD一AD - CD/ BD = CD , EM = FM【例 2】如图， ABC 中，AB = AC , O 是 BC 的中点，以 O 为圆心的圆与 AB 相切于点 D。求证：AC

3、是OO 的切线。分析：由于OO 与 AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段 OE,证 OE 就是OO 的半径即可。证明：连结 OD、OA，作 OE 丄 AC 于 E/ AB = AC , OB = OC , AO 是/ BAC 的平分线/ AB 是OO 的切线， OD 丄 AB又 OE 丄 AC,. OE= ODBDC学习必备欢迎下载 AC 是OO 的切线。学习必备欢迎下载【例 3】如图，已知 AB 是OO 的直径，BC 为OO 的切线，切点为 B , OC 平行于弦AD， 0A =r。(1) 求证：CD 是O0 的切线；(2) 求AD 0C的值；9(3) 若 AD + 0C

4、=工r，求 CD 的长。2分析：(1)要证 CD 是O0 的切线，由于 D 在O0 上，所以只须连结 0D，证 0D 丄 DC即可；(2)求AD 0C的值，一般是利用相似把AD 0C转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由AD 0C,9AD + 0C = -r 可求出 AD、0C,根据勾股定理即可求出 CD。2证明：（1）连结 0D，证/ 0DC = 90即可；（2）连结 BD/ AB 为O0 的直径，/ ADB = 90/ 0BC = 90, / ADB =/ 0BC又/ A =Z3ADB 0BCAD AB0B 0CAD 0C =0B AB =2r229（3

5、） 由（2）知AD OC =2r，又知 AD + 0C= r2292 AD、0C 是关于x的方程x rx 2r -0的两根2解此方程得为=丄,x2=4r2/ 0C r0C=4r CD =0C2-OD2二16r2-r2二-15r探索与创新：【问题一】如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为直径，在正方形内 部作半圆，圆心为 0, CG 切半圆于 E,交 AD 于 F，交 BA 的延长线 于 G , GA = 8。学习必备欢迎下载(1) 求/ G 的余弦值；(2) 求 AE 的长。BDC学习必备欢迎下载略解：(1 )设正方形 ABCD 的 边长为a, FA = FE = 6 ,在 Rt FCD 中

6、，FC2二FD2CD2,(a b)2=(a -b)2 AB / CD ,.7G=7FCD, COS三G =5(2)连结 BECG 切半圆于 E,./ AEG=ZGBE7G 为公共角， AEG EBGAE GE 161BE GB 32224 l在 Rt AEB 中，可求得AE55【问题二】如图， 已知 ABC 中，AC = BC,7CAB = ：(定值)，0O 的圆心 O 在AB 上，并分别与 AC、BC 相切于点 P、Q。(1)求/ POQ ；(2)设 D 是 CA 延长线上的一个动点，DE 与OO 相切于点 M ,上，试判断/ DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。式子表示出来，由于 为定

7、值，则/ DOE 为定值。解：(1)连结 0C/ BC 切OO 于 P、 1 =72, 0P 丄 CA / CA = CB ,CO 丄 AB7COP=7CAB, 7COQ= 7CBA-a2，解得a =4b。- cos FCD二CDFC a +ba 4b5b点 E 在 CB 的延长线分析：(1)连结 OC,利用直角三角形的性质易求/POQ;(2) 试将/ DOE 用含的OQ 丄CB学习必备欢迎下载/CAB = ： ,.7POQ=7COP +7COQ=2：(2)由 CD、DE、CE 都与OO 相切得:7ODE=丄7CDE, 7OED=17CED2 2 7DOE=180(7ODE+7OED)=180

8、=1801(7CDE+ 7CED)21(1807ACB)2学习必备欢迎下载=1801180( 1802)2=180 -:/ DOE 为定值。跟踪训练：一、选择题：1、圆的切线垂直于经过切点的半径 ”的逆命题是（）A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、在 Rt ABC 中，/ A = 90,点 O 在 BC 上，以 O 为圆心的OO 分别与 AB、AC 相切于E、F,若 AB =a,AC =b，则OO 的半径为（)f-a +baba + bA、. abB、C、D、ab

9、a b23、正方形 ABCD 中，AE 切以 BC 为直径的半圆于E, 交 CD 于 F,则CF : FD =()A、1 : 2B、1 : 3C、1 : 4D、2 : 54、如图，过OO 外一点 P 作OO 的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B ,连结 AB ,在 AB、PB、PA 上分别取一点 D、E、F,使 AD = BE, BD = AF，连结=( )A、900/ P、填空题:A、B 是切点，/ APB = 780,点 C 是OO 上异于 A、B 的任一点，则/ ACB =_6、如图，AB 丄 BC , DC 丄 BC , BC 与以 AD 为直径的OO 相切于点 E, AB = 9

10、, CD = 4,DE、DF、EF，则/ EDF1800/ P5、已知 PA、PB 是OO 的切线,第 3 题图学习必备欢迎下载则四边形 ABCD 的面积为_。7、如图，OO 为 RtAABC 的内切圆，点 D、E、F 为切点，若 AD = 6, BD = 4，则 ABC的面积为_ 。8、 如图，已知 AB 是OO 的直径，BC 是和OO 相切于点 B 的切线，过OO 上 A 点的直线AD / 0C,若 OA = 2 且 AD + OC = 6,贝UCD =_。AB , BD = 0B，/ CAB = 30，请根据已知条件和所给图形写出 4 个正确的结论(除 OA = OB = BD 夕卜)：

11、_;_;_;_。10、若圆外切等腰梯形 ABCD 的面积为 20, AD 与 BC 之和为 10,则圆的半径为 _。三、计算或证明题：11、如图，AB 是半OO 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动(不 与点 M 重合)，点 Q 在半OO 上运动，且总保持 PQ= PO,过点 Q 作OO 的切线交 BA 的延长线于点 C。(1) 当/ QPA = 600时，请你对厶 QCP 的形状做出猜想，并给予证明；(2)_ 当 QP 丄 AB 时， QCP 的形状是_三角形；(3)则(1)( 2)得出的结论，请进一步猜想，当点P 在线段 AM 上运动到任何位置时， QCP-

12、-定是_ 三角形。12、如图，割线 ABC 与OO 相交于 B、C 两点，D 为OO 上一点，E 为BC的中点, OE 交 BC于 F,DE 交 AC 于 G,/ADG=ZAGD。9、如图，已知O0 的直径为第 7 题图B学习必备欢迎下载(1)求证：AD 是OO 的切线；(2)如果 AB = 2, AD = 4, EG = 2,求OO 的半径。学习必备欢迎下载15、如图，AB 是OO 的直径，点 C 在OO 的半径 AO 上运动，PC 丄 AB 交OO 于 E,PT 切OO 于 T, PC= 2.5。(1)当 CE 正好是OO 的半径时，PT = 2,求OO 的半径;(2)设PT2二y,AC二

13、x，求出y与x之间的函数关系式;(3) PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形？若能， 请求出 PTC 的面积;若不能，请说明理由。13、圆与 AB14、如图，在 ABC 中，/ ABC = 90, O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的交于点 E,与 AC 切于点 D , AD = 2, AE = 1,求SBCD。如图，AB 是半圆(圆心为 O)的直径，0D 是半径，BM 切半圆于 B, OC 与弦AD 平行且交 BM 于 Co(1)求证：CD 是半圆的切线;(2)若 AB 长为 4，点 D 在半圆上运动，设 AD 长为x，点 A 到直线 CD 的距离为y,试求出y

14、与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。CMC第 14 题图B学习必备欢迎下载跟踪训练参考答案一、 选择题：DCBB二、 填空题：5、51 或 129； 6、78; 7、24; 8、2、3;9、/ ACB = 90, AB = 2BC , DC 是OO 的切线，BD = BC 等；10、2三、 计算或证明题：11、( 1 ) QCP 是等边三角形；(2)等腰直角三角形；(3)等腰三角形12、( 1 )证 OD 丄 AD ； ( 2)23；13、过 D 作 DF 丄 BC 于 F，S、18BCD 514、 (1)证/ ODC = 90；(2)连结 BD，过 A 作 AE 丄 CD 于丘，证厶 ADB AED ,ADAByx12 /则有，即，y x (0：x：4)AEADx4415、(1)OO 的