概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分ppt课件

1、61 概述概述62 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分63 用积分法求梁的挠度与转角用积分法求梁的挠度与转角64 按叠加原理求梁的挠度与转角按叠加原理求梁的挠度与转角65 梁的刚度校核梁的刚度校核 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 66 简单超静定梁的求解方法简单超静定梁的求解方法6 6 概概 述述齿轮传动轴的弯曲变形齿轮传动轴的弯曲变形轧钢机或压延机的弯曲变形轧钢机或压延机的弯曲变形 本章的主要内容：本章的主要内容： 引见梁的弯曲变形，寻求确定梁弯曲变形引见梁的弯曲变形，寻求确定梁弯曲变形 的根本方法；的根本方法； 梁的刚度计算；梁的刚度计算； 求解简单超静定梁。求解

2、简单超静定梁。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线 方向的线位移，用w表示。规定： w ， w (。 2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示。规定： ， (。 一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xyxy平面内的光滑曲线，该平面内的光滑曲线，该三、转角与挠度的关系：三、转角与挠度的关系：二、梁变形的两个根本位移量二、梁变形的两个根本位移量 (1) dd ddtgxwxw小变形小变形Pxw yx曲线称为挠曲线，曲线称为挠曲线， w =f (x) 挠曲线方程。挠曲线方程。 6-2 6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分EIxMx)(

3、)(1一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程EIxMxw)(dd22式2就是挠曲线近似微分方程。222/3222dd )(1 )dd(1 dd)(1xwxxwxwx小变形小变形xM00dd22xwxM00dd22xwyyooEIM1)2()(dd22EIxMxw)(dd22xMxwEI对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下方式：对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下方式：二、求转角方程、挠曲线方程二、求转角方程、挠曲线方程CxxMxEIxwEId)()(ddDCxxxxMxEIw d d)()(1.微分方程的积分 式中C、D为积分常数，可根据梁的边境条件和延续性条件确定。EI

4、xMxw)(dd22PABCPD2.边境条件和延续性条件边境条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是知的。边境条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是知的。例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。讨论题：指出以下梁的边境条件。q laa q LAABB延续性条件延续性条件: 挠曲线上恣意点有独一确定的挠度和转角。假设延续性条件不满足，那么挠曲线就不延续(图a)和不光滑(图b)。ABABCC边境条件：延续性条件：, 0Aw0Bw右左CC,右左CCww图a 图b 对上述梁： 适用于小变形情况下、线弹性资料、细长构件的平面弯曲。 可运用于求解接受各种载荷的等截面或变截面梁

5、的位移。 积分常数由挠曲线变形的边境条件、延续性条件确定。EIxMxw)(dd22挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程优点：运用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程；缺陷：计算较繁。例例1 1 求以下各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。求以下各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLPxM写出挠曲线微分方程并积分确定积分常数 )()(xLPxMwEI CPLxxPwEI22DCxxPLxPEIw23260 ; 0 DC题一、解： PLxyx当0 x时，0AAw，0Aw求得：AB63 用积分法求梁的挠度与转角用积分法求梁的挠度与转角写出挠曲线方程并

6、画出挠曲线的大致外形)3(6)(2LxEIPxxwEIPLwwB33maxEIPLB22max最大转角及最大挠度绝对值最大xPLyBBwB 题二、解： 建立坐标系并写出弯矩方程)( 0)0( )()(211LxaaxxaPxM写出挠曲线微分方程并积分211212CCPaxxPwEI222111213126DxCDxCxPaxPEIw )( 0)0( )(211LxaaxxaPwEIxyPLaABC1x2x确定积分常数001xwEI001xEI01D01CxyPLaABC1x2x边境条件 延续性条件axx21 当 时， 21ww 21222PaC632PaD 写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致外形

7、)3(62maxaLEIPawwBEIPaCBC22max最大挠度及最大转角PLaxy)3(6)(1211xaEIPxxw)3(6)(222axEIPaxwEIPaxxwx2d)(d)(2222CBwBCaaEIEI2PABC例例2 求图示梁自在端的转角和挠度。求图示梁自在端的转角和挠度。 解：建立坐标系并写出弯矩方程1x 2x AB段)0(1ax 11PxM)(22xaPM AB段)0(2ax 写出挠曲线微分方程并积分写出挠曲线微分方程并积分 BC段 111PxMwEI 121112CxPEIwEI111316DxCxPEIwBC段 PaPxwEI 222222222222CPaxxPEIw

8、EI22222322262DxCxPaxPEIw确定积分常数确定积分常数边境条件： 延续性条件： 当ax 2时，0022w，322265,23PaDPaC求得 0,21xax2121,ww 求得 312123,45PaDPaC在处，写出写出AB段的转角方程和挠曲线方程段的转角方程和挠曲线方程2211452PaxPEI31231123456PaxPaxPEIw自在端的转角、挠度为201451PaEIxA301231PaEIwwxA 6-4 6-4 按叠加原理求梁的挠度与转角按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于构造而引起的变形一、载荷叠加：多个载荷同时作用于构造而引起的变形

9、等于每个载荷单独作用于构造而引起的变形的代数和。等于每个载荷单独作用于构造而引起的变形的代数和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()()(2121nnPwPwPwPPPw 二、构造方式叠加逐段刚化法：二、构造方式叠加逐段刚化法：例例3 3 按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和C C点点 挠度。挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表(表6.1)查简单载荷引起的变形。EIPawPC63EIPaPA42EIqawqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaqqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA)43(122qaPEIa)6245(34EIP

10、aEIqaEIPawPC63EIPaPA42EIqawqC2454EIqaqA33 qCPCCwww例例4 4 构造方式叠加逐段刚化法构造方式叠加逐段刚化法) ) 原理阐明。原理阐明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价21wwwBPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCM6-5 6-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 maxwwmax一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 三类刚度计算问题：三类刚度计算问题：、校核刚度：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计截面尺寸；、确定答应载荷。、确定答应载荷。或指定截面的挠度、转角不超越某一规定数值。或指定截面的挠度、

11、转角不超越某一规定数值。 maxwwmaxPL=400mmP2=2kNACa=0.2m200mmDP1=1kNB例例5 5一空心圆杆，内外径分别为：一空心圆杆，内外径分别为：d=40mmd=40mm、D=80mmD=80mm，杆资料的，杆资料的E=210GPaE=210GPa，工程规定，工程规定C C点的点的w=0.0001L,Bw=0.0001L,B点的点的 =0.001=0.001弧度弧度, ,试对试对C C截面的转角和挠度进展刚度校核。截面的转角和挠度进展刚度校核。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3

12、3aEILPawBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3)(323aEILaPawBB3)(233解：解：查表求简单载荷变形。查表求简单载荷变形。02BEIaPwC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMEILaPEIaPEIaLPwC3316223221EIaLPEILPB316221叠加求叠加求C C截面的转角和挠度截面的转角和挠度48124444m101

13、88 10)4080(6414. 3 )(64dDIcm1053. 333163223221EILaPEIaPEIaLPwC)(1011. 03163221弧度EILaPEILPB 001.01011.03C cm104L0001.0cm1053.333wwC校核刚度校核刚度该杆满足刚度要求。该杆满足刚度要求。6-6 简单超静定梁的求解方法简单超静定梁的求解方法处置方法：变形协调方程、物理方处置方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求出全部未程与平衡方程相结合，求出全部未知力。知力。解：解：建立静定基和相当系统建立静定基和相当系统 判别超静定次数，解除多余约束并在该处加上相应的多余约束

14、力，得到原超静定构造的相当系统。EIqLABqLRBABxyLAB静定基静定基相当系统相当系统几何方程变形协调方程0BBRBqBwww+qLRBAB=RBABqAB物理方程变形与力的关系补充方程EILRwEIqLwBBRBqB3;83403834EILREIqLB 83qLRB求解其它问题反力、应力、变形等0BwLqMABA 对上述超静定梁选择其它方式的静定基对上述超静定梁选择其它方式的静定基几何方程变形协调方程：0AAMAqALqBALMABA物理方程：EILMEIqLAAMAqA3,243补充方程03243EILMEIqLA求得82qLMA 0A+=几何方程 变形协调方程：解：建立静定基BCBLw例例6 6 构造如图，求拉杆的内力。构造如图，求拉杆的内力。L1EAqLABCqLRBABEI=LBCEAqLRBABCRBAB+qAB物理方程变形与力的关系补充方程EILRwEIqLwBBRBqB3; 834EALREILREIqLBB13438I