第二节多元函数的基本概念ppt课件

1、一、平面区域的概念一、平面区域的概念二、二元函数的概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性一、平面区域的概念一、平面区域的概念（1 1邻域邻域回忆回忆。且且是是两两个个实实数数与与设设0, a,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 ),( axxaU的的称称为为点点数数集集aaxx ,邻邻域域 ),( aU记记作作),( axaxaU) ,( aaxa a a（1 1邻域邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),( 2020 yyxxyx一、平面区域的概念一、平面区域的概念 :)( 00

2、PUP 的的去去心心邻邻域域点点 .)()(0| ),( )(20200 yyxxyxPU注：注：，有有时时也也可可用用点点集集的的邻邻域域点点)( 00PUP来描述，称为方形邻域。来描述，称为方形邻域。而前述领域称为圆形邻域。而前述领域称为圆形邻域。 .,| ),( 00 yyxxyxP0显然，任何圆形邻域内必显然，任何圆形邻域内必含方形邻域，任何方形邻含方形邻域，任何方形邻域内必含圆形邻域。域内必含圆形邻域。（2 2区域区域的的E E为为P P，则则称称E EU U( (P P) )使使得得U U( (P P) ), ,的的某某一一邻邻域域P P个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上

3、的的一一P P是是平平面面上上的的一一个个点点集集，E E设设 .EE 的的内内点点属属于于EP 为为的的点点都都是是内内点点，则则称称如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集内点内点.（如下图）（如下图）内点：内点：开集：开集：开集开集.U(P)E=外点外点EP 是是，则则称称点点集集都都属属于于且且该该折折线线上上的的点点都都可可用用折折线线连连结结起起来来，内内任任何何两两点点，为为一一点点集集，如如果果对对于于设设EEEE 连通：连通：连通的连通的.开区域：连通的开集称为区域或开区域开区域：连通的开集称为区域或开区域.yx(x,y)|E41221 例

4、如，例如，xyo.0 , 0 | ),( yxyxD（不连通）（不连通）xoy的的为为），则则称称，也也可可以以不不属属于于属属于于本本身身可可以以点点的的点点点点，也也有有不不属属于于的的于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEP ( EP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为EE边界点：边界点：边界点边界点.41),(221 yxyxE例如，例如，圆周x2+y2=1和x2+y2=4均为圆的边界.41| ),(E222 yxyx例如，例如，xyo闭区域：闭区域：对于点集对于点集 E，如果存在正数，如果存在正数 K，使一切点，使一切点 PE 与某一点与

5、某一点O 间的距离间的距离 |OP| 不超过不超过 K，即，即KP O对于一切点对于一切点 PE 成立，则称成立，则称 E 为有界点集。为有界点集。否则称为无界点集否则称为无界点集.0| ),(E3 yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，41| ),(E222 yxyxxyo（3 3聚点聚点设设 E是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个 点点，如如果果点点 P的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个 点点属属于于点点集集 E，则则称称 P为为 E 的的聚聚点点. . （1 1内点一定是聚点；内点一定是聚点；（2 2边界点

6、可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点补充补充（3 3点集点集E E的聚点可以属于的聚点可以属于E E，也可以不属于，也可以不属于E E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4 4n n 维空间维空间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点. 数组数组 (x, y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应R平面点平面点(x, y)

7、全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)2R数组数组 (x, y, z)一一对应一一对应空间点空间点(x, y, z) 全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)3R推广：推广：n 维数组维数组 (x1, x2, , xn) 全体称为全体称为 n 维空间，记为维空间，记为.nRn 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 设两点为设两点为特殊地，当特殊地，当 n =1, 2, 3n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空时，便为数轴、平面、空间两间两 点间的距离点间的距离n 维空间中邻域概念：

8、维空间中邻域概念： .,| ),(00nRPPPPPU 区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义（1 1二元函数的定义二元函数的定义回忆回忆y 按按照照一一定定法法则则总总有有确确定定的的数数值值和和它它对对应应，则则称称 y 是是 设设x和和y是两个变量。是两个变量。D是一个给定是一个给定 的的数集数集，若对于每个数，若对于每个数Dx ，变量，变量 ).(xfy x 的的函数函数，记作，记作 ),(),( DyxyxfzzW 点集点集 D -定义域，定义域，- 值域值域.x、y -自变量，自变量，z -因变量因变量.二、二元函数的概念二、二元函

9、数的概念当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. . 对对应应地地，函函数数)(xfy 称称为为一一元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定定义义 1 1 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点 DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定 的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数， 记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 点集点集 D -定义域，定义域，- 值域值域.x、y -自变量，

10、自变量，z -因变量因变量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函数数也也可可记记为为、是是函数的两个要素函数的两个要素: :定义域、对应法则定义域、对应法则. .与一元函数相类似，对于定义域约定：与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. .例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （2 2二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yx

11、fz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意 取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz . . 以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空 间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当),(yx取取遍遍D上上一一切切 点点时时，得得一一个个空空间间点点集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形. . （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. .xyzsin 例如例如, ,图形如右图图形如右图. .2222azyx 例如例如, ,

12、右图球面右图球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :xyzo三、二元函数的极限三、二元函数的极限（4二重极限的几何意义* 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。在U(P0, )内，函数),(yxfz 的图形总在平面 Az及 Az之间。补充补充说明：说明：（1定义中 的方式是任意的；0PP （2二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证. 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx

13、 , 0 , 当当 时，时， 22) 0() 0(0yx.01sin)(2222 yxyx原结论成立例例3 3 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx . 2103120 例例4 4 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusi

14、nlim0, 1 2220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .0PP,)(lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)y,(lim0AxfPP ) ). .0 0P P 以以某某种种方方式式趋趋于于 ( (P P )y,(AxfAxfyyxx )y,(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px轴轴沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py轴轴沿沿平平行行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx

15、),(lim0000)(yxxky 例例5 5 设设解解 . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf但取但取,kxy ),(lim00yxfkxyx 2200)(limkxxkxxkxyx 其值随其值随 k k 的不同而变化。的不同而变化。不存在不存在).,(lim 00yxfyx求求 ),(lim00yxfyx, 00lim 0 y ),(lim00yxfyx, 00lim 0 x.12kk 故故),(lim00yxfyx( (1 1) ) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋趋向向于于),(000yxP， 若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断

16、言言极极限限不不存存在在； (2) (2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：又如又如,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41,)(),(24223yxyxy

17、xf 四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性定义定义3 3（1二元函数连续的概念例例6 6 )0 , 0(y),( , 0 )0 , 0(y),( ,),(2233xxyxyxyxf讨讨论论二二元元函函数数. )0 , 0(处处的的连连续续性性在在点点利用极坐标变换，设x=cos,y=sin，那么解解 ),0 , 0( f0)cossin(lim)y, x( flim330)0 , 0()y , x( 所以函数在所以函数在0 0，0 0连续连续. .注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。例如例如(1) (1) . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(

18、22yxyxyxxyyxf. )0 , 0(是是间间断断点点.),(2xyxyyxf 时，时，当当 2xy . ),(无定义无定义yxf因而，因而，的间断点。的间断点。上的所有点均是上的所有点均是 ),( 2yxfxy 例如例如(2) (2) 二元初等函数：二元初等函数： 由由x和和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数。二元初等函数。一切二元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在定义区域内的连续点求极限可用在定义区域内的

19、连续点求极限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定定义义区区域域 PPfPfPP例7 求极限 .lim21xyyxyx xyyxyxf ),(解解是二元初等函数。定义域：.0 , 0 | ),( yxyxD0 , 0 | ),()2 , 1( 1 yxyxD点点.D 于是，于是， xyyxyx21lim2121 .23 （不连通）（不连通）xoy例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00例例9 9* *. .求函数求函数222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4

20、222yx的连续域的连续域. .解解: :02 yx2yx 2oyx2补充补充（2闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次定理1 最大值和最小值定理定理2 介值定理内容小结内容小结1. 1. 区域区域 邻域邻域 : :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域区域连通的开集连通的开集2. 2. 二元函数概念二元函数概念二元函数二元函数)y,(xf ( (图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面) )DP)(zPf 2R APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有有)( APf3. 3. 二元函数的极限二元函数的极限4. 4. 二元函数的连续性二元函数的连续性1) 1) 函数函数连续在0)(PPf)()(lim00P