第二节两个重要极限-4分析ppt课件

1、2.2.5 2.2.5 两个重要极限两个重要极限1sincosxxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积1sinlim. 10 xxx证证: 当当即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有当当20 x时时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例1. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinli

2、m0 xxcos1lim01例例2. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3 30sin5lim.xxx求求0sin5 limxxx解解05sin5lim5xxx 0sin55lim.5xxx 500.xtxt 令令，当当时时，有有 所以，原式所以，原式 注：在上例中，应用公式时，我们使用了代注：在上例中，应用公式时，我们使用了代 换换 ，在运算熟练后可不必代换，直接计算：在运算熟练后可不必代换，直接计算：5tx 0sin5limxxx0sin55lim5xxx0sin5limttt 5

3、 15. 5 15. 说明说明: 计算中注意利用计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx注注1limsin1xxx ，3 limsinxxx解解3sin3lim3xxx 3sinlim 33xxx3 13. 例例4 43limsin.xxx例例5. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x212.exxx)1(lim1证证: 当当0 x时, 设, 1nxn那么xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）

4、（nnnneexxx)1(lim1当当x, ) 1( tx那那么么,t从而有从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时时, 令令例例6. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt那么xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx那么 原式111)1 (limexxxlimx例例7. 求求.)cos(

5、sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1例例8431lim(1).2xxx 求求431lim(1)2xxx 4311lim(1)(1)22xxxx22311lim(1)lim(1)22xxxxx 22e1e . 解解22311lim(1)lim(1)22xxxxx 例例92221lim() .1xxxx 求求2221lim()1xxxx 22211lim11xxxx 解解22221(1)lim1(1)xxxxx 222211lim(1)(1)xxxxx 222211lim(1)(1)xxxxx 2e ee . 211lim(1) .nnnn 求求211(1)nnn解解e ().n 1n 另另一一方方面面，当当时时有有211(1)nnn22121(1),nnnn 2,2,3,1nnxnn 取取22121lim(1)nnnnn 2121lim(1)n