421选用直线与圆的位置关系(710)

1、.OA.B.C.点在圆内点在圆内dr点在圆上点在圆上 dr 点在圆外点在圆外 dr (d表示圆心到点的距表示圆心到点的距离，离，r为圆的半径。为圆的半径。)Oxy轮船轮船港口港口轮船航线所在直线轮船航线所在直线 l 的方程为：的方程为：02874yx 问题归结为圆心为问题归结为圆心为O的的圆与直线圆与直线l有无公共点有无公共点 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的的圆的方程为圆的方程为: :922 yx想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有

2、三种位置关系：（1 1）直线与圆相交，有两个公共点；）直线与圆相交，有两个公共点；（1 1）（2 2）直线与圆相切，只有一个公共点；）直线与圆相切，只有一个公共点；（2 2）（3 3）直线与圆相离，没有公共点）直线与圆相离，没有公共点（3）判断直线与圆的位置关系有两种方法：判断直线与圆的位置关系有两种方法：那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？方法一：代数法方法一：代数法直线方程L：Ax+By+C=0 圆的方程C：(x-a)2+(y-b)2=r2Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2由方程组：mx2+nx+p=0（m 0

3、）0相交方程组有两解两个交点方法二：几何法直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交drd=rdrdrdrdrdr小小 结结位置关系 图形几何特 征 方程特征判定方法几何 法代数法 相 交有两个公共点方程组有两个不同实根d0 相 切有且只有一个公共点方程组有且只有一个实根 d = r=0 相 离没有公共点方程组无实根 dr0所以方程组有两解，所以方程组有两解，故直线故直线L与圆与圆C相交相交22551031|3 0 1 6| 几何法：几何法：圆心圆心C（0，1）到直线）到直线L的距离的距离d= = r所以直线所以直线L与圆与圆C相交相交比较：几何法比代数法运算量少，简便。比较：几何法比代数法运算量少

4、，简便。dr弦长弦长=22102 ( 5)()102 例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判 断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及 弦长。解法一：（求出交点利用两点间距离公式）解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB422 yx2 2已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值22212121422301717,221717,2217 1717 17(,), (,)2222|14yxyxyxxxxyyABAB 由消去得圆的弦长的求法圆的弦长的求法1几何法几何

5、法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 设圆的半径为设圆的半径为r，弦心距为，弦心距为d，弦长为，弦长为L，则，则 2r2d2.2代数法（也叫公式法）：代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，两点， 解方程组解方程组 消消y后得关于后得关于x的一元二次方程，从而求的一元二次方程，从而求 得得x1x2，x1x2，则弦长为，则弦长为|AB| （此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式（此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ） (其中其中x1 ，x2为两交点的横坐标为两交点的横坐标k为直线斜率

6、为直线斜率)扩展内容扩展内容：若直线与圆相交，求弦长问题：若直线与圆相交，求弦长问题：422 yx解法二解法二：（弦长公式）：（弦长公式）22212122212122214223031,2|(1)()43(1 1 )( 1)4 ()142yxyxyxxxxx xABkxxx x 由消去得2 2已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值xyOAB422 yx解法三解法三 ：解弦心距解弦心距, ,半弦及半径构成的直角三角形半弦及半径构成的直角三角形）2221221 ( 1)| 214dABrd 设圆心设圆心O O（0 0，0

7、0）到直线的距离为）到直线的距离为d d，则，则xyOABdr2 2已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值 练习：求直线练习：求直线3x+4y+2=0被圆被圆 截得的弦长。截得的弦长。03222xyx例例2 2、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的的方程。方程。5 54 4.yOM.方法一：解方程组求交点，然后利用距离公式求斜率；方法一：解方程组求交点，然后利用距离公式求

8、斜率；方法二：利用几何性质，求弦心距方法二：利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的然后用点到直线的距离求斜率。距离求斜率。X+2y+9=0,或或2x-y+3=0.720,03.的圆的方程截得的弦长为线轴相切，且被直与上求圆心在直线练习yxxyx例例3：求过一点：求过一点P(-3,-2)的圆的圆x2 + y2 +2x 的切线方程。的切线方程。 解：设所求直线为（）解：设所求直线为（） 代入圆方程使代入圆方程使； 即所求直线为即所求直线为提问：上述解题过程是否存在问题提问：上述解题过程是否存在问题？X=-3是圆的另一条切线是圆的另一条切线34注意：注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判

9、断这点与圆的位置关系，在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系， 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条；若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线若点在圆内，无切线 2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。论。 若存在，则经常设直线的方程为斜截式；若不存在，则特殊情况特殊对待。若存在，则经常设直线的方程为斜截式；若不存在，则特殊情况特殊对待。 三三.若直线与圆相切，求切线方程问题：若直线与圆相切，求切线方程问题： 例例4. 已知圆的

10、方程是已知圆的方程是 ，求经，求经过圆上一点过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx ),(00yxMyxO),(00yxMP(x,y)x0 x + y0 y = r 2 设设P（x,y)是切线上的任是切线上的任意一点意一点,则则OMMP 0OM MP 解解：利用平面向量知识。：利用平面向量知识。y变题变题.已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222xaybr),(00yxMP(x,y),(00yxMxOC0000,MCxa ybMPxxyy ， 00000 xaxxybyy切线方程为：解：设P（x,y)是切线上的任意一点,则M

11、CMP 三三.若直线与圆相切，求切线方程问题：若直线与圆相切，求切线方程问题：求圆的切线方程一般有两种方法：求圆的切线方程一般有两种方法： (1)代数法：代数法：设切线方程为设切线方程为yy0k(xx0)与圆的方程组成与圆的方程组成 方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 0进而求得进而求得k. (2)几何法：几何法：设切线方程为设切线方程为yy0k(xx0)利用点到直线的利用点到直线的 距离公式表示出圆心到切线的距离距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令，然后令dr，进而，进而 求出求出k. 以上两种方法，以上两种方法，一般来说几何

12、法较为简洁，可作为首选一般来说几何法较为简洁，可作为首选 练习练习1.求过求过M（4，2）且与圆）且与圆 相切的直线方程相切的直线方程.22860 xyxy.,0128)4 , 2(. 222切线的方程求的切线作圆经过点练习xyxA例例4 求过点求过点A(2,1)的直线中的直线中, 被圆被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得弦长最大的直线方程截得弦长最大的直线方程.C解解:圆心圆心 C(1,-2)kAC=3过过AC点的直线方程为点的直线方程为:y-1=3(x-2) 即即: 3x-y-5=0答答:所求直线方程为所求直线方程为3x-y-5=0.xy.A有关圆的最值问题有关圆的最值问题问题问题1.已

13、知点已知点A(1,3)， P为圆为圆: (x-2)2+(y+1)2=4上上一点，求一点，求|PA|的最大值和最小值的最大值和最小值.有关圆的最值问题有关圆的最值问题问题问题2.已知直线已知直线3x-2y+6=0， P为圆为圆: (x-2)2 +(y+1)2=4上一点，求点上一点，求点P到直线的距离的最大值和最小值到直线的距离的最大值和最小值.Key: 最大值是：最大值是：d+r，最小值是：，最小值是：|d-r|.Key: 若相离，若相离，最大值是：最大值是：d+r，最小值是：，最小值是：d-r. 若相交，若相交，最大值为：最大值为：d+r, 最小值为：最小值为：0.C例例5 求过圆求过圆: (

14、x+2)2+(y-2)2=9内一点内一点A(-1,3) 的最长弦和最短弦所在的直线方程。的最长弦和最短弦所在的直线方程。A12123k),2 , 2(C:AC 圆圆心心为为解解最长弦所在的直线方程为：最长弦所在的直线方程为：x-y+4=0最短弦所在的直线方程为：最短弦所在的直线方程为： x+y-2=0有关圆的最值问题有关圆的最值问题CO例例6. 已知已知x,y满足方程满足方程 x2+y2-6x-2y+6=0,求求: (1)x2+y2的最大值的最大值A1019|OC| 如图如图10414210(|OA|)yx(22max22 ）有关圆的最值问题有关圆的最值问题解：解：(1)CO例例6. 已知已知

15、x,y满足方程满足方程 x2+y2-6x-2y+6=0,3(2)1yx求：的最大值和最小值。A有关圆的最值问题有关圆的最值问题03kykx,k1x3y 则则：设设21k3k1k32 P03k8k32 374k 374)1x3y(;374)1x3y(maxmin 法二：联立方程，得法二：联立方程，得=0时的时的b值值.常用结论常用结论:1:过圆过圆x2y2r2上一点上一点(xo,yo)的切线方程为的切线方程为xox+yoy=r2 2:过圆过圆(x-a)2(y-b)2r2上一点上一点(xo,yo)的切线方程为的切线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r23:过圆过圆x2y2r2

16、外一点外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为连线的直线方程为xox+yoy=r24:过圆过圆(x-a)2(y-b)2r2外一点外一点(xo,yo)的作圆的切线，的作圆的切线， 两切点的连线的直线方程为两切点的连线的直线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2定义法：定义法：有无交点，有几个有无交点，有几个代数法：代数法：直线直线l与圆与圆C的方程的方程组成的方程组是否有解，有组成的方程组是否有解，有几个解几个解几何法：几何法：判断圆判断圆C的圆心到的圆心到直线直线l的距离的距离d与圆的半径与圆的半径r的的关系（大于、小于、等关系（大

17、于、小于、等于）于）判断直线与圆判断直线与圆的位置关系的位置关系1 1、几何方法解题步骤：、几何方法解题步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断作判断: : 当当drdr时，直线与圆相离；时，直线与圆相离； 当当d=rd=r时，直线与圆相切时，直线与圆相切; ; 当当drdr时，直线与圆相交时，直线与圆相交把直线方程化为一般式把直线方程化为一般式, , 圆的方程化为标准圆的方程化为标准式，求出圆心和半径式，求出圆心和半径把直线方程与圆的方程联立成方程组把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其求出其的值的值比较比较与与0 0的大小的大小: : 当

18、当000时时, ,直线与圆相交。直线与圆相交。 2、代数方法主要步骤：、代数方法主要步骤：利用带入消元法，得到关于另一个元的一元二次方程利用带入消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 一只小一只小老鼠在圆老鼠在圆(x-5)(x-5)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=9=9上环行，上环行，它走到哪个位置时与直线它走到哪个位置时与直线l ：3x+4y-2=03x+4y-2=0的的距离最短，距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计请你帮小老鼠找到这个点并计算这个点到直线算这个点到直线l的距离。的距离。 趣味题趣味题p最短距离为最短距离为2例例1.求圆求圆 上的点到直线上的点到直线y=x1的最近距离和

19、的最近距离和最远距离最远距离224240 xyxy222.,4x yxyyx例 已知实数满足，求的最大和最小值。2 22 2.yx的最大值为，最小值为1.,0.yxbxyb解法 设即0.2xybbdr由题意，圆心到直线的距离22b即，2 22 2b.,.yxbyxb解法2设则xyObyxb则 可视为直线的截距2 22 2.yx的最大值为，最小值为由图象可知，切线的截距最大与最小值，224xy又表示一个圆，222.,4x yxyyx例 已知实数满足，求的最大和最小值。222.,4x yxyyx例 已知实数满足，求的最大和最小值。2cos2sinxy解法3.令2sin2cos2 2sin()4yx

20、则2 22 2.yx的最大值为，最小值为222.,4x yxyyx例 已知实数满足，求的最大和最小值。221.,44x yxyxy变题 已知实数满足，求3的最大和最小值。4xyk解：设3kk 最大为10， 最小值为-103 04 021010105kdkk 22404xykxy3与恒有公共点222.,4x yxyyx例 已知实数满足，求的最大和最小值。222.,41yx yxyx变题2已知实数满足，求的取值范围。2,20.1ykkxykx解：设则20 020221kxykkdk圆心， 到直线的距离，2340,kk即40.3kk或240.13yx的取值范围为，即222.,4x yxyyx例 已知实数满足，求的最大和最小值。22.,40 x yxyyyx变题3已知实数满足，求的最大和最小值。,.y xkyxk解：设 -则24yxkykxy直线与曲线有交点 其中 是直线在 轴.上的截距 22 2.k结合图像可知：-l1l2oxABy2 22.yx所以：的最大值是，最小值是-23.4xxmxm例 关于 方程有两个不同的实数解，求 的取值范围。212,4yxm yx解：令24yxmyx方程有两解直线与曲线有两个不同交点.l1l2oxABy22 2.m结合图像可知：: )(047) 1() 12( :,25)2() 1( :. 222Rmm