高考数学大一轮复习 13.1合情推理与演绎推理课件 理 苏教版

1、数学数学 苏苏 （理）（理）13.1合情推理与演绎推理第十三章 推理与证明、算法、复数 基础知识基础知识自主学习自主学习 题型分类题型分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 练出高分练出高分一、合情推理1.归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法).(2)特点：归纳推理是由 到整体、由 到一般的推理.部分个别2.类比推理(1)定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法).(2)特点：类比推理是由 到 的推理.特殊特殊3.合情推理合情推理是根据已有的事实、正

2、确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.二、演绎推理1.演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提已知的 ；(2)小前提所研究的 ；(3)结论根据一般原理，对 做出的判断.一般特殊一般原理特殊对象特殊对象u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )(3)在类比

3、时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )题号答案解析1234 18观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.解析等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n .解析例1设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)

4、，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.题型一归纳推理题型一归纳推理思维点拨解析思维升华先正确计算各式的值，再根据自变量之和与函数之和的特征进行归纳.例1设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.题型一归纳推理题型一归纳推理思维点拨解析思维升华例1设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.题型一归纳推理题型一归纳推理思维点拨解析思维升华例1设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并

5、给出证明.题型一归纳推理题型一归纳推理思维点拨解析思维升华证明：设x1x21，例1设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.题型一归纳推理题型一归纳推理思维点拨解析思维升华2x1x1x2x1x2x例1设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.题型一归纳推理题型一归纳推理思维点拨解析思维升华2x1x2x12+xx2x1x2x1x2x1x2x1x1x归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题

6、.例1设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.题型一归纳推理题型一归纳推理思维点拨解析思维升华跟踪训练1(1)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_.解析由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五个等式为56789101112139281.解析567891011121381思维点拨解析思维升华例2已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nn*)，若bm

7、c，bnd(nm2，m，nn*)，则可以得到bmn_.题型二类比推理题型二类比推理等差数列an和等比数列bn类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.例2已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，则可以得到bmn_.题型二类比推理题型二类比推理思维点拨解析思维升华例2已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，则amn .类比等差数列an的上述

8、结论，对于等比数列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，则可以得到bmn_.题型二类比推理题型二类比推理设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.思维点拨解析思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.例2已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，则可以得到bmn_.题型二类比推理题型二类比推理思维点拨解析思维升华(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；

9、低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.例2已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，则可以得到bmn_.题型二类比推理题型二类比推理思维点拨解析思维升华跟踪训练2在平面上，设ha，hb，hc是三角形abc三条边上的高，p为三角形内任一点，p到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，我们可以得到结论： 1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_.解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥abcd四个面上的高，p

10、为三棱锥abcd内任一点，p到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，于是可以得出结论： 1.例3已知函数f(x)(a0，且a1).(1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；题型三演绎推理题型三演绎推理思维点拨解析证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f(x)(a0，且a1)的图象关于点( ， )对称.例3已知函数f(x)(a0，且a1).(1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；题型三演绎推理题型三演绎推理思维点拨解析例3已知函数f(x)(a0，且a1).(1)证明：函数yf(x)的图象关于点

11、( ， )对称；题型三演绎推理题型三演绎推理思维点拨解析例3已知函数f(x)(a0，且a1).(1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；题型三演绎推理题型三演绎推理思维点拨解析例3已知函数f(x)(a0，且a1).(1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；题型三演绎推理题型三演绎推理1yf(1x)，思维点拨解析例3已知函数f(x)(a0，且a1).(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思维升华解析解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)

12、f(2)f(3)3.例3已知函数f(x)(a0，且a1).(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思维升华解析演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.例3已知函数f(x)(a0，且a1).(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思维升华解析跟踪训练3已知函数yf(x)满足：对任意a，br，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为r上的单调增函数.证明设x1，x2r，取x1x1

13、f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1).yf(x)为r上的单调增函数.高频小考点高频小考点11 高考中的合情推理问题高考中的合情推理问题五边形数 n(n,5) n2 n，六边形数 n(n,6)2n2n可以推测n(n，k)的表达式，由此计算n(10,24)_.解析由n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，n(n，k) n2 n，n(10,24) 100 101 1001001 000.答案1 000解析设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，解析归纳观察法.观察每行不

14、等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.温馨提醒(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误 .应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳.(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题.方 法 与 技 巧1.合情推理的过程概括为2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失 误 与 防 范1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由

15、一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.1.数列2,5,11,20，x,47，中的x_.解析523,1156,20119，推出x2012，所以x32.32234567891012.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理_.结论正确 大前提不正确小前提不正确 全不正确解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误.345678910123.下列推理是归纳推理的是_.a，b为定点，动点p满足papb2aab，则p点的轨迹为椭

16、圆；由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式；由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆 1的面积sab；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.24567891013解析从s1，s2，s3猜想出数列的前n项和sn，是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理.24567891013答案4.给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是_.23567891014解析(

17、ab)nanbn(n1，ab0)，故错误.23567891014sin()sin sin 不恒成立.如30，60，sin 901，sin 30sin 60 ，故错误.答案1由向量的运算公式知正确.2346789101523467891015解析若an是等差数列，若cn是等比数列，23467891015答案6.仔细观察下面和的排列规律： 若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_.23457891016解析进行分组|，答案1423457891016易知f(14)119，f(15)135，故n14.7.在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的 ”.拓展到空

18、间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的_.23456891017解析设正三角形的边长为a，高为h，内切圆半径为r，由等面积法知3arah，所以r h；同理，由等体积法知4srhs，所以r h.8.(2013陕西)观察下列等式：(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_.23456791018解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n13(2n1).23456791018答案(n1)(n2)(

19、nn)2n13(2n1)9.已知等差数列an的公差d2，首项a15.(1)求数列an的前n项和sn；解a15，d2，23456781019(2)设tnn(2an5)，求s1，s2，s3，s4，s5；t1，t2，t3，t4，t5，并归纳出sn与tn的大小规律.23456781019解tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.t15，t2422218，t3432339，t4442468，t54525105.s15，s22(24)12，s33(34)21，s44(44)32，s55(54)45.由此可知s1t1，当2n5，nn时，sntn.23456781019归纳猜想：当n1时，sntn；当n2，nn时，sntn.10.在rtabc中，abac，adbc于d，求证： ，那么在四面体abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.23456789110解如图所示，由射影定理ad2bddc，ab2bdbc，ac2bcdc，23456789110又bc2ab2ac2，猜想，四面体abcd中，ab、ac、ad两两垂直，ae平面bcd，23456789110证明：如图，连结be并延长交cd于f，连结af.ab平面