第三节泰勒公式ppt课件

1、上页 下页 返回 结束 第三节第三节 泰勒公式泰勒公式一、问题的提出一、问题的提出二、泰勒公式二、泰勒公式三、麦克劳林公式三、麦克劳林公式四、泰勒公式的应用四、泰勒公式的应用 第三章 上页 下页 返回 结束 一、问题的提出一、问题的提出 1 1、关于多项式、关于多项式 由于它本身的运算仅是由于它本身的运算仅是多项式多项式 是最是最 nnnnnxaxaxaxaaxP 112210)(简单的一类初等函数简单的一类初等函数. .所以在数值计算方面，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具多项式是人们乐于使用的工具. .有限项加减法和乘法，有限项加减法和乘法，因此我们经常用多项式来近似表达函数因

2、此我们经常用多项式来近似表达函数 上页 下页 返回 结束 初等数学已经了解到一些函数如初等数学已经了解到一些函数如 : :2 2、近似计算举例、近似计算举例 的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样,arctan,cos,sin,lg,5xxxxx来计算它们？来计算它们？些结果提供了近似计算这些函数的有力方法些结果提供了近似计算这些函数的有力方法. .以以的近似计算为例的近似计算为例. . xxfcos)( 高等数学微分学中所研究出来一高等数学微分学中所研究出来一上页 下页 返回 结束 线性逼近优点线性逼近优点: :形式简单，计算方便；形式简单，计算方便

3、；一次线性迫近一次线性迫近 利用微分近似计算公式利用微分近似计算公式 ，对，对 附近的附近的 ,)()()(000 xxxfxfxf 0 x的线性逼近为的线性逼近为: : )(xfxffxf)0()0()( )(1cos)(1xpxxf 缺乏：离原点缺乏：离原点O O越远，近似度越差越远，近似度越差. .y=1)(1xpyx1-1O上页 下页 返回 结束 二次逼近二次逼近 期望：期望： 二次多项式二次多项式 迫近迫近22102)(xaxaaxp xxfcos)( 0210cos)0()0(afp 1200sin)0()0(afp 10cos)0()0(2 fp212 a)(2xp2,2 它要比

4、线性逼近好得多，但局限于它要比线性逼近好得多，但局限于 内内. .二次逼近为二次逼近为 , ,21)(cos22xxpx 可以看出，可以看出，y=1y=1)(1xpy yx x 1-1O上页 下页 返回 结束 八次逼近八次逼近 八次多项式八次多项式 迫近迫近 8822108)(xaxaxaaxp xxfcos)( 令：令： , ,求出求出)0()0(8fp 10 a)0()0(8fp 01 a )0()0()8()8(8fp ! 818 a! 8! 6! 4! 21)(cos86428xxxxxpx 比比 在更大的范围内更接近余弦函数在更大的范围内更接近余弦函数. . )(8xp)(2xp)(

5、2xp)(8xpy=1)(1xpyx 1-1O上页 下页 返回 结束 (1)(1),)(0连连续续在在若若xxf)()(lim00 xfxfxx 则有则有 由极限和无穷小量间的关系由极限和无穷小量间的关系 )()(0 xfxf)()(0 xfxf (2)(2),)(0可可导导在在若若xxf由微分有由微分有 xxfxfxxf)()()(000 )()()(000 xxxfxfxf )(0 xxx - x 的一次多项式的一次多项式 从几何上来讲，就是在从几何上来讲，就是在 x0 点的附近可以用曲线在该点的附近可以用曲线在该点处的切线来拟合曲线。点处的切线来拟合曲线。-以直代曲以直代曲用常数代替函用

6、常数代替函数误差太大数误差太大缺乏缺乏: 1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。上页 下页 返回 结束 就必须用高次多项式来近似表达函数就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给同时给出出问：若问：若f (x)在在 x0 处二阶可导处二阶可导,会不会有一个二次多项式来近似表示？会不会有一个二次多项式来近似表示？ 若若f (x)在在 x0 处处 n 阶可导阶可导, 结果又会如何？结果又会如何？ 因而因而 对于精确度要求较高且需要估计误差时对于精确度要求较高且需要估计误差时候候误差公式。误差公式。问题：给定一个函数问题：给定一个函数f (x)，要找一个在指定点，要找一个在指

7、定点 x0 附附近近与与f (x)很近似的多项式函数很近似的多项式函数P (x)，nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 记为记为 )()(xPxfn 使得使得)()()(xPxfxRnn 误差误差可估计可估计上页 下页 返回 结束 问：要找的多项式应满足什麽条件，误差是什么？问：要找的多项式应满足什麽条件，误差是什么？从几何上看，从几何上看， ),(xfy )(xPyn 代表两条曲线，代表两条曲线， 要使它们在要使它们在x0附近与很靠近，附近与很靠近，很明显很明显首先要求两曲线在首先要求两曲线在 )(,(00 xfx相交相交, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近还

8、要求两曲线在要靠得更近还要求两曲线在 )(,(00 xfx相切相切, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近还要求两曲线在要靠得更近还要求两曲线在 )(,(00 xfx弯曲方向相同弯曲方向相同,)()(00 xfxPn 即即因为弯曲程度要用切线的变化率因为弯曲程度要用切线的变化率-二阶导数来刻画二阶导数来刻画.0 x)(xf)(xPnxy进而可推想：若在进而可推想：若在 )(,(00 xfx附近有附近有 )()(00 xfxPn )()(0)(0)(xfxPnnn 近似程度越来越好近似程度越来越好 上页 下页 返回 结束 从物理上看从物理上看 ),(tfy )(tPyn 是两个质点的运动方程

9、是两个质点的运动方程 , 首先要求两曲线在首先要求两曲线在 )(,(00 xfx相交相交, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近还要求两曲线在要靠得更近还要求两曲线在 )(,(00 xfx相切相切, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近还要求两曲线在要靠得更近还要求两曲线在 )(,(00 xfx弯曲方向相同弯曲方向相同,)()(00 xfxPn 即即那么那么 表示两个质点在表示两个质点在 t 时刻位置相同；时刻位置相同；表示两个质点在表示两个质点在t 时刻位置、速度均相同；时刻位置、速度均相同；表示两个质点在表示两个质点在t 时刻位置、速度、加速度均相同时刻位置、速度、加速度均相同;一

10、种情形比一种情形更相近一种情形比一种情形更相近. 我们知道速度是路程的变化率，我们知道速度是路程的变化率， 加速度是速度的变化率加速度是速度的变化率, 可以推想，可以推想， 假设在假设在t 时刻加速度的变化率乃至更高阶的时刻加速度的变化率乃至更高阶的变化率都相等，变化率都相等，则在则在t 时刻两个质点的运动状态会更接近。时刻两个质点的运动状态会更接近。上页 下页 返回 结束 综上所述，综上所述， 无论几何的或物理的两方面都启示我们无论几何的或物理的两方面都启示我们 所要找的多项式应满足下列条件所要找的多项式应满足下列条件 ),()(00 xfxPn ),()(00 xfxPn ),()(00

11、xfxPn )()(00 xfxPn )()(0)(0)(xfxPnnn )1( n具有直到具有直到 阶导数，阶导数，如果函数如果函数 在含在含)(xf0 x),(ba的某个开区间的某个开区间 内内nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 00)(axPn 10)(axPn 20! 2)(axPn nanxP!)(0)n(n 设设由此便得由此便得)(00 xfa )(01xfa )(! 2102xfa 30! 3)(axPn )(!10)(xfnann 上页 下页 返回 结束 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxpn 那么那么)()()(xpxfxR

12、nn nnxxnxf)(!)(00)( )(00 xfa )(01xfa !)(0)(nxfann nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 )(! 2102xfa 误差误差上页 下页 返回 结束 定理定理1 1 二、泰勒二、泰勒TaylorTaylor公式公式（泰勒公式如果函数（泰勒公式如果函数 在含在含 的某个的某个)(xf0 x),(ba)1( n开区间开区间 内具有直到内具有直到 阶导数，阶导数，),(bax 则则对对 )()()(000 xxxfxfxf其中：其中：10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余项余项nnxxnxf)(!)(00)( （ 在

13、在 与与x x 之间）之间）0 x)(xRn 公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项阶泰勒公式的拉格朗日余项 .)(xPn证明证明:)()()(xPxfxRnn 200)(!2)(xxxf 上页 下页 返回 结束 )()()(xPxfxRnn 证明证明:欲证欲证式成立，只要证式成立，只要证 式成立式成立 其中：其中：10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余项余项 （ 在在 与与x x 之间）之间）0 x只要证只要证 )!1()()()()1(10 nfxxxRnnn 为此令为此令 10)()( nnxxxQ因为

14、因为 有有 阶导，阶导， 有任意阶导，故有任意阶导，故)(xf1 n)(xpn)(),(xQxRnn也有也有 阶导，且阶导，且1 n0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn0)()()()(0)(000 xQxQxQxQnnnnn )()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)( )(xRn 200)(!2)(xxxf )(xPn上页 下页 返回 结束 )(0之之间间与与在在nx )()()()(00 xQxQxRxRnnnn )()()()(nnnnnnQR )(203之之间间与与在在 x)(102之间之间与与在在 x)()()()(10 xQxRxxx

15、Rnnnn )()(11 nnQR )()()1()1( nnnnQR)(01之之间间与与在在xx )()()()(0202xQQxRRnnnn )()(22 nnQR )()(33 nnQR )()()()(0101xQQxRRnnnn )()()()(0)()(0)()(xQQxRRnnnnnnnnnn 0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn0)()()()(0)(000 xQxQxQxQnnnnnx对对 和和 在在 及及)(xRn10)( nxx0 xx为端点的闭区间上应用为端点的闭区间上应用Cauchy定理定理10)()( nnxxxQ)(10之之间间与与在在 nn

16、x 上页 下页 返回 结束 )()()(xPxfxRnn 10)()( nnxxxR!)1()()1( nfn )(0之之间间与与在在xx ,0)()1( xPnn10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxR )!1()()()()1()1()1( nxQxfxRnnnnn)(0之之间间与与在在xx )()()1()1( nnnnQR证毕！证毕！上页 下页 返回 结束 定理定理1 1 （泰勒公式如果函数（泰勒公式如果函数 在含在含 的某个的某个)(xf0 x),(ba)1( n开区间开区间 内具有直到内具有直到 阶导数，阶导数，),(bax 则则对对 )()()(000 xxxfxf

17、xf10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余项余项nnxxnxf)(!)(00)( （ 在在 与与x x 之间）之间）0 x)(xRn 式称为式称为 的具有拉格朗日型余项的具有拉格朗日型余项 的的n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf称为称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项阶泰勒公式的拉格朗日余项 .200)(!2)(xxxf 上页 下页 返回 结束 时时的的某某邻邻域域内内当当在在Mxfxn )()1(010! )1()( nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn )()()(000 xxxfxfxf10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余项余项nnxxnx

18、f)(!)(00)( （ 在在 与与x x 之间）之间）0 x)(xRn 关于泰勒公式的几点说明关于泰勒公式的几点说明200)(!2)(xxxf 其中：其中：1.在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为泰勒公式可写为上页 下页 返回 结束 公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的佩亚诺阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项余项 .)()(0nnxxoxR 注意到注意到在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为泰勒公式可写为 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(0nxxo

19、 公式公式 称为具有佩亚诺型余项的称为具有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.上页 下页 返回 结束 2.2.特例特例: :(1) 当当 n = 0 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为 )(xf)(0 xf)(0 xxf (2) 当当 n = 1 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理给出拉格朗日中值定理 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 20)(!2)(xxf 可见可见 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 201)(!2)()(xxfxR 误差误差 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 10)1()(!)1()( nnxxnf 200)(!2)(xxxf nnx

20、xnxf)(!)(00)( 之之间间与与在在xx0 )0(之之间间与与在在xx )0(之之间间与与在在xx )0(之之间间与与在在xx )(00 xxxf fd上页 下页 返回 结束 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 10)1()(!)1()( nnxxnf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 之之间间与与在在xx0 3.3.在公式在公式中，中，从而泰勒公式变成如下形式，从而泰勒公式变成如下形式， 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf, 00 x令令 ),10( x令令 , 0 之之间间和和

21、在在此此时时x 称为带有拉格朗日型余项的称为带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式上页 下页 返回 结束 三、麦克劳林三、麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式 由此得到近似公式：由此得到近似公式： nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 3.3.在公式在公式中，中，从而泰勒公式变成如下形式，从而泰勒公式变成如下形式， 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf, 00 x令令 ),10( x令令 , 0 之之间间和和在在此此时时x 称为带有拉格朗日型余项的称为带有

22、拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式上页 下页 返回 结束 与泰勒多项式相应，上式右端的多项式称为与泰勒多项式相应，上式右端的多项式称为f(x)f(x)的的n n阶麦克劳林多项式，阶麦克劳林多项式，相应变成：相应变成：1)!1()( nnxnMxR四、几个初等函数的麦克劳林公式：四、几个初等函数的麦克劳林公式： 例例1 1 求出函数求出函数 的的n n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. .xxfe)( 此时的误差估计式此时的误差估计式解解 因为因为xnxfxfxfxfe)()()()()( 把这些值代入把这些值代入式，式，1)0()0()0()0()( nffff所以所以 2! 2)0

23、()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf上页 下页 返回 结束 并且注意到并且注意到: : ) 10(e)()1( xnxf，就得到，就得到: : )10()!1(e!1! 211e12 nxnxxnxnxx四、几个初等函数的麦克劳林公式：四、几个初等函数的麦克劳林公式： 例例1 1 求出函数求出函数 的的n n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. .xxfe)( 解解 因为因为xnxfxfxfxfe)()()()()( 把这些值代入把这些值代入式，式，1)0()0()0()0()( nffff所以所以 2! 2)0()0()0()(xfxff

24、xf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf上页 下页 返回 结束 ) 10(e)()1( xnxf，就得到，就得到: : )10()!1(e!1! 211e12 nxnxxnxnxx由这个公式可知，假如由这个公式可知，假如 用它的用它的n阶麦克劳林多阶麦克劳林多xenxxnxx!1! 211e2 多项式近似表达多项式近似表达:那么当那么当x0 x0时的误差为时的误差为: :)10( ,)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxR如果取如果取x=1x=1，就得到，就得到e e的近似式为的近似式为: :上页 下页 返回 结束 !1! 2111en 其误差其误差 :

25、 :)!1(3)!1(e nnRnnxxnxx!1! 211e2 多项式近似表达多项式近似表达:那么当那么当x0 x0时的误差为时的误差为: :)10( ,)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxR如果取如果取x=1x=1，就得到，就得到e e的近似式为的近似式为: :上页 下页 返回 结束 例例2 2 求出函数求出函数f(x)=sinxf(x)=sinx的的n n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . 解解 因为因为 ，所以，所以), 2 , 1(),2sin()()( nnxxfn mnf)1(0)0()(122 mnmn当当当当, 2 , 1 , 0 m于是由公式于是由公式得到得到

26、 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf)()!12()1(! 51! 31sin212153xRxmxxxxmmm 上页 下页 返回 结束 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf)()!12()1(! 51! 31sin212153xRxmxxxxmmm )10()!12()()(12)12(2 mmmxmxfxR)(xRn)10()!12(2)12(sin)(122 mmxmmxxR), 2 , 1(),2sin()()( nnxxfn又又上页 下页

27、返回 结束 )()!12()1(! 51! 31sin212153xRxmxxxxmmm )10()!12(2)12(sin)(122 mmxmmxxR其中其中当当m=1m=1时误差为：时误差为：)10(6! 3)23sin()(332 xxxxR类似地，还可以得到：类似地，还可以得到： 上页 下页 返回 结束 其中：其中：)10()!22()1(cos)(2212 mmxmmxxR)()!2()1(! 41! 211cos12242xRxmxxxmmm )()1(3121)1ln(132xRxnxxxxnnn 其中其中知知 )()(xfkkkxk)1(! )1()1(1 ),2,1( k例例

28、3 3 求出函数求出函数 f (x)=ln(1+x) f (x)=ln(1+x) 的的n n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . )!1()1()0(1)( nfnnnnfnn1)()1(!)0( 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 11)1(1)1( nnnxxn )10( )1( x 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf上页 下页 返回 结束 ,2 . 1ln, 5的的近近似似值值求求取取 n并估计其误差并估计其误差 )()1(3121)1ln(132xRxnxxxxnnn 其中其中1)1()!1()()( n

29、nnxnxfxR 11)1(1)1( nnnxxn )10( 182. 05)2 . 0(4)2 . 0(3)2 . 0(2)2 . 0(2 . 0)2 . 01ln(2 . 1ln5432 )2 . 0(5R665)2 . 01()2 . 0(6)1( 461023. 16)2 . 0( 又又 上页 下页 返回 结束 )1( x )()(xfk )1(x 1 x 2xnx)(xRn 其中其中 )(xRn11)1(!)1()()1( nnxxnn )10( kxk )1)(1()1()1()1()0()( kfk ),2,1( k!2 )1( ! n )1()1( n 例例4 4 求出函数求出函数 f (x)=(1+x)f (x)=(1+x)的的n n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . 上页 下页 返回 结束 几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：劳林公式： )(!1! 2