2017-2018学年必修一3.1第1课时函数的单调性学案

1、第1页共 9 页1.3 函数的基本性质1. 3.1 单调性与最大（小）值第 1 课时函数的单调性-学习目标导航-1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性.（重点、难点）2会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性.（难点）3会求一些具体函数的单调区间.（重点）I_）基础初探教材整理 1增函数与减函数的定义阅读教材 P27P28,完成下列问题.增函数与减函数的定义条件一般地，设函数 f（x）的定义域为 1 :如果对于定义域 1 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 X1, X2,当 X1 X2时都有 f(X1) f(X2)结论那么就说函数 f（X）在区间

2、D 上是增函数那么就说函数 f（X）在区间阶段1认知侦习质疑第2页共 9 页D 上是减函数图示yi1 A)：Ml0*1富2耳f)- O微体验-判断(正确的打“V”，错误的打“X”)因为 f(- 1)f.()(3)若函数 f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，贝U函数 f(x)在区间(1,3)上为 增函数.()【解析】(1)X.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性.V.由减函数的定义可知 f(O)fx+ 1, x (1, 2(3)X.反例：f(x) =x1, x (2， 3 )【答案】(1)X V(3)X教材整理 2 函数的单调性与单调区间阅读教材 P29第一段，完成下列问题.函数

3、的单调性与单调区间如果函数 尸 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.- O微体验-函数 f(x) = x2 2x+ 3 的单调减区间是 _ .【解析】 因为 f(x) = x2 2x+ 3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x二 1,所以函数 f(x )的单调减区间是(一%, 1).第3页共 9 页【答案】(X,1)求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.1(1) f(x)= x ；2x+ 1, (x 1)5 x,(x 1 时，f(x)是增函数，当 x1 时，f(

4、x)是减函数，所以 f(x)的单调区间 为(X,1) , 1 ,+X)，并且函数 f(x)在(X,1)上是减函数，在1 , +X)上是增函数.2 x + 2x + 3, x0因为 f(x)= x + 2|x|+ 3=2i x 2x+ 3, x0.阶段2介作探究通关小组合作型求函数的单调区(2)f(x)=第4页共 9 页第5页共 9 页根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数 f(x)的单调区间为(一X,1, 0,1) , ( 1,0), 1,+x).f(X)在(X,1, 0,1)上是增函数，在(1,0), 1 , +)上是减函数.1. 求函数单调区间的方法利用基本初等函数的单调性，

5、如本例(1)和，其中分段函数的单调区间 要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3).2. 若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间 要用“，”隔开，如本例(3).再练一题1 .函数 f(x) = x2 3+ 2ax+ 3(a R)的单调减区间为 _ .2. 【导学号：97030046】【解析】 因为函数 f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为 x= a,所以 f(x)的单调减区间为(a,+X).【答案】(a,+x)2C.f(x)二 xST 21函数单调性的判定与证明例上柑一右第6页共 9 页(1)下列四个函数中在(0, +)上为增函数的是(

6、)D . f(x) = x2+ 2xA.f(x) = 3 x2B . f(x) = (x 1)2第7页共 9 页X2(2)用单调性定义证明函数 f(x)在区间(0,1)上是减函数.x I【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断.(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得.【自主解答】(1)A.f(x) = 3 x 在(0，+)上为减函数.B.f(x)= (X 1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x= 1,它的单调增区间为(1，+)，所以它12在(0，+ )上不为单调函数.C.f(x)= -在(0，+%)上为减函数.D.f(x) = x2+

7、2x X是开口向上的二次函数，其对称轴为 x= 1,则它的单调递增区间是(一 1, +)，所以它在(0，+)上为增函数.【答案】 D设 X1，X2 (0,1)且 X1VX2，则2 2*2 * * -1 X2- 1 X1- 1 X2 1X1 1 X1+ 1 X2- 1 X2+ 1X10.VX1，X2(0,1)，X1+10，X2+10，X110,X2 10,即卩 f(X1) f(X2),2x所以，函数 f(x)二 一在区间(0,1)上是减函数.X 1X2X22 2X2 X1X2 X1X2+X1第8页共 9 页利用定义证明函数单调性的 4 个步骤第9页共 9 页设乜,严是懐区间内的任意两个毡，且*P

8、C毎7丽丽或7绘扌邙序通匝亦餐_/善嘗 A 配方.有理化等方进，向有利于判断差的符号的方向变形.一融化为稅的形式_|确定差/%于仙)或/%)莎的将号，当特号革p I确定时，可以逬行分类讨也|报据定咒得出第论再练一题i i2已知函数 f(x) =-,用单调性定义证明 f(x)在(0,+)上是单调递增函 a x数.【导学号：97030047】【证明】 设任意 X2X10,贝 U X2 X1 0, X1X20. f(X2)- f(X1)=4丄1丄 二11=X10, a X2aXIXIX2X1X2(0,+x)上是单调递增函数.探究共研型 函数单调性的应用探究 1 若函数 f(x)是其定义域上的增函数，

9、且 f(a)f(b),则 a, b 满足什么 关系如果函数 f(x)是减函数呢？【提示】 若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)f(b)时，ab；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)f(b)时，ab.探究 2 若函数 f(x) = x2 2ax+ 3 在(2,+)上是增函数，则实数 a 的取值 范围是什么？【提示】 因为函数 f(x)二 x2 2ax+ 3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x= a,所以其单调增区间为(a，+00)，由题意可得(2，+ g)? (a，+00),所以 a f(X1) ,If(X)在(1)f(x)为(o,+o)上的减函数,a

10、R， 贝 U(卜第10页共 9 页2 2C. f(a1 5+1)Vf(a)D.f(a2+a)vf(a)(2)如果函数 f(x) = x2 2bx+ 2 在区间3 , +)上是增函数，则 b 的取值范围为()A. b=3B . b3C. b0，所以 a2+1a.又 f(x )为(x，+x)上的减函数，故有 f(a2+1)f(a)，故 C 对；易知 D 错.故选 C.(2)函数 f(x) = x2 2bx+ 2 的图象是开口向上，且以直线 x= b 为对称轴的抛 物线，若函数 f(x) = x2 2bx+ 2 在区间3,+x)上是增函数，则 bf(5x+6),求实 数 x 的取值范围为 .【解析】

11、 ：f(x)是 R 上的增函数，且 f(2x 3)f(5x+ 6)，2x 35x+ 6，即 x 3.【答案】(， 3)1 .函数 f(x) = x7+ 2x+ 3 的单调减区间是()A.( X，1)B.(1，+x)C. (X，2)D . (2，+X)【解析】 易知函数 f(x)= x2+ 2x+ 3 是图象开口向下的二次函数，其对称轴为 x= 1,所以其单调减区间是(1,+*).7C . y= 3 xD . y=x + 2x+ 1【解析】 函数 y= 3 x 在区间(0,+X)上是减函数.【答案】 C阶段3.体验落实评价第12页共 9 页【答案】 B2.下列函数在区间(0,+x)上不是增函数的是()2A. y= 2x+ 1B . y=x + 113.若 X1, X2(g, 0),且 Xif(X2)B . f(Xl)f(X2)C. f(xi)= f(X2)D .以上都有可能1【解析】函数 f(x) = -在(g, 0)上是增函数，又/ X1, X2 (g,X0),且 X1X2,二 f(X1)Vf(X2).【答案】 B4._ 已知函数 f(x)= ax+ 2 是减函数，则实数 a 的取值范围是_ .【解析】 易知函数 f(x)二 ax+ 2 是一次函数，又因为它是减函数，所以 a0.【答案】(g,0)15.证明：函数 f(x)