高等数学第3章导数与微分ppt课件

1、第三章第三章 导数与微分导数与微分3.1导数的概念导数的概念3.2复合函数的求导法则复合函数的求导法则3.3 微分及其应用微分及其应用3.4 应用与实践应用与实践3.5 拓展与提高拓展与提高 一一 知识结构知识结构第三章第三章 导数与微分导数与微分二二 教学基本要求与重点、难点教学基本要求与重点、难点第三章第三章 导数与微分导数与微分1教学基本要求教学基本要求（1导数的定义、几何意义及平均变化率、瞬时变化率。（2求导基本公式。（3求导的四则运算法则，复合函数求导法则与隐函数 求导法则，掌握利用这些法则求函数导数的方法。（4高阶导数的概念，求函数的二阶导数。（5微分的概念，理解微分的法则，运用微

2、分近似计算。（6导数关系描述边际、弹性等概念，解决有关经济方面 的问题。2重点及难点重点及难点（1重点重点计算各种函数导数的导数与微分。计算各种函数导数的导数与微分。 （2难点难点求复合函数及高阶导数，导数在经济方面的求复合函数及高阶导数，导数在经济方面的运用如边际分析，弹性分析等）运用如边际分析，弹性分析等）.二二 教学基本要求与重点、难点教学基本要求与重点、难点3.1 导数的概念导数的概念第三章第三章 导数与微分导数与微分3.1.1 两个实例两个实例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度 设s表示一物体从某一时刻开始到t时刻作直线运动所经过的路程，则s是时刻t的函数s=s(t) 。现在

3、来确定物体在某一给定时刻t0的速度。3.1 导数的概念导数的概念 当时间由t0改变到时间t0+t ，物体在t时间内所经过的距离为 )()(00tsttss因此在t这段时间内，物体的平均速度为ttsttstsv)()(00现令 ，平均速度 的极限自然就是物体在t0时刻运动的瞬时速度，即0t vttsttstsvtt)()(limlim00003.1 导数的概念导数的概念2. 切线问题切线问题 设割线M0M的倾角为 ，切线M0T的倾角为 ，从图3-2上可以看出M0M的斜率为 xxfxxfxy)()(tan00当x0时，割线的斜率 就无限地接近于切线的斜率，所以切线的斜率为 tanxxfxxfxyx

4、xx)()(limlimtanlimtan000003.1 导数的概念导数的概念3.1.2 导数概念导数概念1导数的定义导数的定义 定义定义3.1 设函数设函数y=f(x)在点在点x0及其附近有定及其附近有定义，当自变量在义，当自变量在x0处取得改变量处取得改变量x时，函数时，函数f(x)取得相应的改变量取得相应的改变量y=f(x0 + x) - f(x0)，如如果极限果极限 存在，则称这个极限值为存在，则称这个极限值为f(x)在点在点x0处的导数。处的导数。xyx0lim3.1 导数的概念导数的概念左导数左导数 00000000()()( )()()limlimlimxxxxf xxf xf

5、 xf xyfxxxxx 右导数右导数 00000000()()( )()()limlimlimxxxxf xxf xf xf xyfxxxxx 假设 和 存在，则分别称此两极限为f(x)在点x0处的左导数和右导数。 xyx0limxyx0lim3.1 导数的概念导数的概念 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的任一点x处可导，则称y=f(x)在区间(a,b)内可导，这时，对于(a,b)内的每一点 ，都有确定的导数值与它对应，这样就构成了一个新的函数，称为函数f(x)的导函数。3.1 导数的概念导数的概念2. 求导数举例求导数举例根据导数的定义，求导数有三个步骤：(1)求函数的改变量 ；y(

6、2)求比值 （注意化简比值）；xy(3)求极限 xyx0lim3.1 导数的概念导数的概念例例1 求函数求函数 的导数。的导数。( )log0,1af xx aa解：解：(1) logloglog1aaaxyxxxx 11(2)log1log1xxaayxxxxxxx011(3) limlog elnaxyxxxa 1(log)lnaxxa3.1 导数的概念导数的概念3.1.3 可导与连续可导与连续 定理定理3.1 如果函数如果函数f(x)在在x0处可导，则它在处可导，则它在x0处一定连续。处一定连续。例例2 设设f(x)=|x| ，问，问f(x)在在x=0处是否可导？处是否可导？1lim00

7、lim)(lim000 xxxxxxfxxx1lim00lim)(lim000 xxxxxxfxxxxxfxxfxx)(lim)(lim003.1 导数的概念导数的概念3.1.4 求导公式求导公式 3.1 导数的概念导数的概念3.1.5 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 设函数u=u(x)和v=v(x)在x处可导，则其和、差、积、商在x处也可导，且有法则法则 1 )(vuvu法则法则 2 )(uvvuuv)()(xCvxCv（C为任意常数） 法则法则 3 )0()(2vvuvvuvu3.1 导数的概念导数的概念例例3 求下列函数的导数。求下列函数的导数。31( )s

8、inf xxx（）xxxxxxxfcos3cos3)(sin)()( 21332( )ecosxf xx（ ）( )(e )cose (cos )e cose sinxxxxfxxxxx3.1 导数的概念导数的概念3( )tanf xx（ ）)cossin()(tan)( xxxxfxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx2seccos123.1 导数的概念导数的概念3.1.6 高阶导数高阶导数 一般地，如果函数y=f(x)的导数 仍是x的函数，且其导函数 还可以对x求导数，则称 的导数为函数y=f(x)的二阶导数，记作)(xfy )(xf)(xfy

9、)(xf22ddyx22ddfx或 或 或 3.1 导数的概念导数的概念把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 求一个函数的高阶导数，只要对函数一次次求导即可。 3.1 导数的概念导数的概念例例4 求下列函数的二阶导数。求下列函数的二阶导数。 1arctanyxx（ ）21arctanarctanarctanxxxxxxxy2222221212111xxxyxxx 3.1 导数的概念导数的概念3121xxxyexx（ ）xxexxxxexxxyxx12112121221)121(xexxxexyxx321441)1221(xexxxexyxx 3.2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则第三章

10、第三章 导数与微分导数与微分 法则法则4 设函数设函数 均可导，那么均可导，那么复合函数复合函数 也可导，且也可导，且 )(),(xuufy)(xfdydy dudxdu dxxuxyyu或 3.2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则例5 设 xy2cosln，求 y解：把 xy2cosln看作是由 uylnvucosxv2 复合而成，由复合函数求导法则2coslnxvuxvuxxvuvuyyxxxvu2tan22cos2sin22)sin(13.2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则例例6 求函数求函数 的导数的导数xxy33cossinxxxy2sin81cossin881333)2(

11、sin2sin381)2(sin8123xxxyxxxxxx2sin2cos2sin283)2(2cos2sin832xx4sin2sin833.3 微分及其应用微分及其应用第三章第三章 导数与微分导数与微分3.3.1 两个实例两个实例1面积改变量的近似值面积改变量的近似值 设正方形的面积为A，当边长由x变到x+x时，面积A有相应的改变量A 。由图可知222)(2)()()(xxxxxxxAxxAA略去高阶的无穷小2)( x即 xxA2由于 xxxA2)()(2所以有 xxAA)(3.3 微分及其应用微分及其应用3.3 微分及其应用微分及其应用2路程改变量的近似值路程改变量的近似值 自由落体的

12、路程与时间的关系是 ，当时间t从变到t+t时，路程s有相应的改变量s，那么 221gts 222111222sg ttgtgt tgt 略去高阶的无穷小2ttgtssgttss3.3 微分及其应用微分及其应用设函数y=f(x)在点x处可导，那么 )( lim0 xfxyx根据极限与无穷小的关系有)( xfxy( )yfxxx 由于 是当 时的无穷小量，所以 ，从而0 x)( xxxxfy)( 函数y=f(x)改变量的近似值就称为函数的微分。3.3 微分及其应用微分及其应用3.3.2 微分的概念微分的概念1微分的定义微分的定义 定义定义3.2 如果函数如果函数y=f(x)在在x处具有导数处具有导

13、数 ，那么那么 称为函数称为函数y=f(x)在在x处的微分，记作处的微分，记作dy或或df(x) ，即，即 ，此时称函数，此时称函数f(x)在在x处处可微。可微。 )( xfxxf)( dyfxx3.3 微分及其应用微分及其应用2微分的几何意义微分的几何意义1NMy d( )tanyfxxMNNT 函数y=f(x)的微分的几何意义就是曲线在点M处切线纵坐标的改变量 。3.3 微分及其应用微分及其应用3.3.3 微分公式微分公式1. 微分的基本公式微分的基本公式3.3 微分及其应用微分及其应用2. 微分运算法则微分运算法则 设函数 可微，那么( )( )uu xvv x，1d()dduvuv（

14、）2d()dduvu vuv （ ）d()dcucu（c为常数） 2dd3d( )0uv uu vvvv（ ） （）3.3 微分及其应用微分及其应用例例7 设设 ，求，求dy。112xy3222) 1(1) 1(221xxdxxxxdxdxxxddy111122解：解： 3.3 微分及其应用微分及其应用3.3.4 复合函数的微分复合函数的微分把复合函数 分解为 ，那么)(xfy)(),(xuufyd d( ) ( )d( )d ( )( )dxyyxfuxxfuxfuud( )dyfuu即，无论u是自变量还是中间变量，y=f(u)的微分dy总可以写成的 方式。这一性质称为微分形式不变性。duu

15、fdy)( 3.3 微分及其应用微分及其应用例例8 设设 ，求，求dy。 xexfy)(ln解解1 利用一阶微分形式的不变性利用一阶微分形式的不变性)(lnxexfddy xxdexfxdfe)(ln)(lndxexfedxxfxxx)(ln)(ln11(ln )(ln )xefxfx dxx3.3 微分及其应用微分及其应用解解2 由于由于 dxydy xxxexfexfexfy)(ln)(ln)(lnxxexfxxfe)(lnln)(ln)(ln)(ln1xfxfxexdxxfxfxedyx)(ln)(ln13.3 微分及其应用微分及其应用3.3.5 微分的应用微分的应用 由微分的定义可知，

16、当函数y=f(x)在点x0处的导数 ，且 很小时，有 0)( 0 xfxxxfdyy)( 0 xxfxfxxf)( )()(000 xxfxfxxf)( )()(0003.3 微分及其应用微分及其应用 例例9 有一批半径为有一批半径为1cm的球，为了提高球表的球，为了提高球表面的光洁度，要镀上一层厚度面的光洁度，要镀上一层厚度0.01cm为的铜，已为的铜，已知铜的密度为知铜的密度为8.9g/ ，试估计一下每个球需用，试估计一下每个球需用多少克铜？多少克铜？3cm解解: : 因为球体积因为球体积 334RV324d()d4d3VRRRRcmR1d0.01RRcm 23d4 3.14 (1)0.0

17、10.13VVcmcm因此，镀每个球大约需用铜 )(16. 19 . 813. 0g3.4 应用与实践应用与实践第三章第三章 导数与微分导数与微分3.4.1 运用运用1变化率变化率 在实际问题中常把导数称为变化率，由于，对于函数y=f(x)来说 xxfxxfxy表示自变量x每改变一个单位时，函数y的平均变化量，所以 称为函数的平均变化率；当x0时，若y可导，那么 称为函数的变化率 。xyx0lim/yx3.4 应用与实践应用与实践2边际经济函数边际经济函数当总成本函数C(x)可导时，其变化率 00limlimxxC xxC xCMCCxxx 表示该产品产量为x时的边际成本，即边际成本是总成本函

18、数关于产量的导数。3.4 应用与实践应用与实践 边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售总收入，即 )(xRdxdRMR)(xLdxdLML 边际利润定义为多销售一个单位产品所增加的利润 ，即 3.4 应用与实践应用与实践 例例10 某商品产量为某商品产量为x(千升千升)时的成本函数为时的成本函数为 (千元千元)，其中，其中 。求。求x=1，4时时的边际成本，并给以适当的经济解释。的边际成本，并给以适当的经济解释。 43xxC05x解：边际成本函数解：边际成本函数 32MCCxx当x=1时， MC=1.5 ；当x=4时， MC=0.75 这表明在生产1千升基础上再多生产1升，需成本1.5元

19、；在生产4千升基础上再多生产1升，仅需成本0.75元，即产量越高，成本越低。 3.4 应用与实践应用与实践 例例11 某企业生产一种产品，每天的总利润某企业生产一种产品，每天的总利润L(x)(元元)与产量与产量x(吨吨)之间的函数关系为之间的函数关系为 25250 xxxL求 时的边际利润，并给以适当的经济解释。10 25 30 x ， ，解：边际利润函数解：边际利润函数 xxLML1025010150L025 L5030L3.4 应用与实践应用与实践最低平均成本与相应产量的边际成本相等。最低平均成本与相应产量的边际成本相等。 例例12 某商品产量为某商品产量为x时的成本函数为，时的成本函数为

20、， xxxxC3323求商品的边际成本和平均成本函数。解：边际成本函数解：边际成本函数 2363MCCxxx平均成本函数 332xxxxCAC3.4 应用与实践应用与实践3相对变化率或弹性相对变化率或弹性对于函数来y=f(x)说， 、 是绝对改变量。yx、 是函数、自变量的相对改变量。 yyxx当 时，若y可导，且 ，那么0 x 0y00limlimxxyyy xxyxx yyx 称其为函数的相对变化率或弹性，记作 ExEy3.4 应用与实践应用与实践4需求弹性需求弹性 若Q表示某商品的需求量，p表示其市场价格，若需求函数可导，则称 EQpQEpQ 为商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，常记为

21、 。 p3.4 应用与实践应用与实践 需求弹性表示某商品的需求量对价格的变动的反应程度：当商品的价格上涨(或下跌)1%时，其需求量将减少(或增加)约 。%p当 时，称为低弹性。 1p当 时，称为高弹性。 1p当 时，称为单位弹性 。1p3.4 应用与实践应用与实践 例例13 某产品滞销，准备以降价扩大销路，如某产品滞销，准备以降价扩大销路，如果该产品的需求弹性在果该产品的需求弹性在1.7-2.1之间，试问当降价之间，试问当降价10%时，需求量时，需求量(销售量销售量)大约增加多少？大约增加多少？解解: 需求弹性为需求弹性为 ppdQ pQQdp Q ppdpQdQpQpQp 10%pp 1.7

22、17%pQQ2.121%pQQ3.4 应用与实践应用与实践3.4.2 用用Mathematica作微分运算作微分运算1. 求导函数求导函数求导函数的命令格式为：D , f x x求函数f(x)对x的一阶导数。 D , ,nf xx求函数f(x)对x的n阶导数。 3.4 应用与实践应用与实践例例14 利用利用Mathematica系统，完成以下运算。系统，完成以下运算。(1)求函数 的导数。xysine(2)求函数 的二阶导数。xxxfsin)(3)求函数 在点x=1处的导数值。3213xy解：解： In 1 : DExpSin , x x Sin Out 1eCos xx3.4 应用与实践应用

23、与实践 In 2 : DSin , ,2 xxx Out 22Cos Sin xxx In 3 : D(3 2 1)(1/3), /.1xxx 1/31Out 32 In 4 : N% Out 40.7937013.4 应用与实践应用与实践2. 计算隐函数的导数计算隐函数的导数求隐函数的导数的命令为 Dt , f x 例例15 求由方程求由方程 确定的确定的隐函数的导数隐函数的导数 。 )0( 122yyxy解：解： In 1 : Dt 221, xyx Out 122 Dt , 0 xyy x In 2 : Solve%,Dt , y x Out 2Dt , xy xy 3.4 应用与实践应

24、用与实践3.计算函数的微分计算函数的微分求函数微分的命令格式为 Dt f x例例16 221edxyxy，求。解：解： In 1 : Dt 2 E p21xxx 1+21+22Out 12eDt +2eDt xxxxxx3.5 拓展与提高拓展与提高第三章第三章 导数与微分导数与微分1. 导数的定义的等价形式导数的定义的等价形式 设函数f(x)在点x0处可导，那么 xxfxxfxfx)()(lim)( 0000如果固定x0 ，令 ，则当 时，有 ，故函数在x0处的导数也可表示为 0 xxx 0 x 0 xx000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx3.5 拓展与提高拓展与提高)2ln()1 ()(xxxxf(0)f 。例例17 ，求 解法一解法一 xxxxxfxffxx)2ln()1 (lim0)0()(lim)0(002ln)2ln()1 (lim0 xxx解法二解法二 (1)( )(1)ln(2)ln(2)2xxfxxxxxx(0)ln2f 3.5 拓展与提高拓展与提高2可导的奇函数的导数是偶函数可导的奇函数的导数是偶函数, 可导的偶函可导的偶函 数的导数是奇函数数的导数是奇函数 例例18 若若f(x)为奇函数，且为奇函数，且 ，求，求 。1)(0 xf)(0 xf解：因为解：因为f(x)是奇函数是奇函数所以 是偶函数，因此)(