高等数学第二章 导数ppt课件

1、2/2/20221第二章 导数第一节 导数的概念第二节 导数的基本公式与运算法则第三节 导数运算第四节 微分2/2/20222引例：切线及其斜率设曲线)(xfy 的图形如图所示，点),(000yxM是曲线的一个定点， 在曲线上另取一动点),(00yyxxM，作割线MM0，当点M沿曲 线趋向0M时，割线MM0趋向于极限位置TM0，直线TM0就是曲线 在0M点处的切线. 2/2/20223设割线MM0的倾角为，切线TM0的倾角为，则MM0的斜率为 xxfxxfxy)()(tan00 xxfxxfxyxxx)()(limlimtanlimtan00000当0 x时，割线的斜率tan无限接近于切线的斜

2、率，所以切线的斜率为 引例：切线及其斜率2/2/20224设函数)(xfy 在点0 x的某个邻域内有定义，当自变量在点0 x处取得 改变量x时，函数)(xf取得相应的改变量）00()(xfxxfy，如果 极限xyx0lim存在，则称这个极限值为)(xf在点0 x处的导导数数. 导数的定义记作 或 或 )( 0 xf0 xxy0 xxdxdyxxfxxfxyxfxx)()(limlim)( 000002/2/20225如果xyx0lim和xyx0lim存在，则分别称此两极限为)(xf在点0 x处的 左导数左导数和右导数右导数，记为)(0 xf和)( 0 xf。 函数)(xfy 在点0 x处可导的

3、充要条件是函数)(xfy 该点处的 左导数与右导数均存在且相等 左导数和右导数2/2/20226第二章 导数第一节 导数的概念第二节 导数的基本公式与运算法则第三节 导数运算第四节 微分2/2/20227求导数的基本步骤yxyxyx0lim2/2/20228示 例nnxxxy)(nnnnnnnnnnxxCxxCxxCxC)()(222110求函数 的导数)()(NnxxfnnnnnnxxxCxxC)()(222112/2/20229xy12211)()(nnnnnxxxCxCxyx0lim111nnnnxxC示 例2/2/202210示 例xxxysinsin2cos2sin2xxx求函数 的

4、导数xxfsin)(xy2cos22sinxxxxxyx0limxcos2/2/202211可导与连续的关系如果函数)(xf在0 x处可导，则它在0 x处一定连续 如果函数)(xf在0 x处连续，则函数)(xf在0 x处未必可导. 2/2/202212示 例1lim00lim)(lim000 xxxxxxfxxx1lim00lim)(lim000 xxxxxxfxxx设 ，问 在 处是否可导？xxf)()(xf0 x2/2/202213xxfxxfxx)(lim)(lim00不存在xxfx)(lim0示 例2/2/202214示 例xxxxfxx330000lim)(lim处不可导在0)(xx

5、f设 ，问 在 处是否可导？3)(xxf)(xf0 x3201limxx2/2/202215导数的基本公式2/2/202216导数的四则运算法则设函数)(xuu 和)(xvv 在x处可导，则有 法则一 法则二 法则三 )(vuvu)(uvvuuv)0()(2vvuvvuvu2/2/202217示 例)(sin)()( 3xxxf求函数 的导数.xxxfsin)(3xxxxcos3cos32132/2/202218示 例 2)1 (1111)(xxxxxxf求函数 的导数.xxxf11)( 2)1 (11xxx2)1 (2x2/2/202219示 例求过点 且与曲线 相切的直线方程2, 0 A2

6、2 xy设切点为),(00yx，切线斜率为k 因切线过2, 0 点，所以切线写为kxy2 曲线导数为 xy2， 所以 k02x （1） 2/2/202220)3(2)2(220000 xykxy因切点即在切线上又在曲线上，所以解1）（2）（3得 024024yxyx或4k切线方程为示 例2/2/202221第二章 导数第一节 导数的概念第二节 导数的基本公式与运算法则第三节 导数运算第四节 微分2/2/202222复合函数的求导法则设函数)(),(xuufy均可导，则复合函数)(xf也可导，且 dxdududydxdyxuxuyy或2/2/202223示 例)ln(coslncosxeyx求函

7、数 的导数xeylncos)(ln)lnsin(lncosxxexxxex1)lnsin(lncosxexxlncoslnsin2/2/202224示 例 xfxffy 222fffy 153524ff设函数 xf在,上可导，且 54, 32, 42fff， 求函数 xffy 在点2x处的导数。 2/2/202225反函数的导数设函数)(xfy 在x处有不等于零的导数)( xf，并且其反函数 )(yx在相应点处连续，则反函数)(yx的导数)( y存在，并且 )( 1)( xfy 或xyyx12/2/202226示 例) 11(arcsinxxy)22(sinyyx)(sin1)(arcsiny

8、xy证明： 的导数11)(arcsin2xx的反函数是)22(0cos)(sinyyyyy2sin11cos1211x2/2/202227示 例xay ) 1, 0(logaayxa)(log1)(yayax证明： 的导数) 1, 0(ln)(aaaaaxx的反函数是1, 00ln1)(logaaayyaaaayxlnln2/2/202228隐函数的导数隐函数求导法 求隐函数0),(yxF的导数，一般是将方程两端同时对自变量x求导数， 遇到y就把它看成x的函数，并利用复合函数的求导法则求导。最后从所得的 关系式中求出 y，就得到所求隐函数的导数。 2/2/202229示 例xyy22即求 所确

9、定的隐函数的导数) 1, 0(ln)(aaaaaxx022yyxyxy x将等式两边对 求导，得2/2/202230取对数求导法 隐函数的导数对于形如)()(xgxfy 的幂指函数，在求导数时，可以在方程的两端 取对数，然后再按隐函数求导法求导 2/2/202231示 例)41312111(211xxxxyy求函数 的导数)4)(3()2)(1(xxxxy)4ln()3ln()2ln() 1ln(21lnxxxxy)41312111(21xxxxyy方程的两端取对数，得 x将等式两边对 求导，得2/2/202232由参数方程决定的函数的导数令参数方程为 ，求导方法如下： )()(tyytxx设

10、)1xxt（为)(txx 的反函数，并满足反函数的求导条件，于是 参数方程可分解为)(),(1xxttyy的复合函数，利用反函数和复合函 数的求导法则，得 ttxtxxytyy ttxydxdy2/2/202233示 例ttcos1sin求参数方程 的导数)cos1 ()sin(tayttax)sin()cos1 (ttataxydxdytt2/2/202234示 例26tdxdytttttdxdysin4cos22sin)(sin)2(cos求曲线在 在 处的切线方程及法线方程)cos1 ()sin(tayttax6t所以切线方程为 21221xy法线方程为 212121xy2/2/2022

11、35高阶导数函数)(xfy 的导数)( xf一般也是x的函数，对)( xf的再求导数， 称为)(xf的二二阶阶导导数数，记作yxf ),(或22dxyd 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 求高阶导数只要反复应用求一阶导数的方法即可 2/2/202236示 例xex32312xexy32334知 ，求xexy334 , yyy xexy32324 xey33324 2/2/202237示 例2) 1( nxnny1nnxy求 的 阶导数nxy n3)2)(1( nxnnny12)2)(1()(nnnyn! n2/2/202238第二章 导数第一节 导数的概念第二节 导数的基本公式与运算法则第三节

12、 导数运算第四节 微分2/2/202239引例面积改变量的近似值 22)(xxxA设正方形的面积为A，当边长由x变到xx时,面积A 有相应的改变量A 2)(2xxx当x很小时， xxA2xxA2)(2xAA2/2/202240引例路程改变量的近似值 222121gtttgs221tgtgttgtsgtgts)21(2tss自由落体的路程s与时间t的关系是221gts ,当时间从t 变到tt时,路程s有相应的改变量s 当t很小时， 2/2/202241微分的概念如果函数)(xfy 在x处具有导数)( xf，则称xxf)( 为函数 )(xfy 在x处的微分，记作dy或)(xdf，即 xxfdy，此

13、时称 函数)(xf在x处可微。 2/2/202242微分的几何意义设函数)(xfy 的图像如图所示，),(yxM为曲线上的定点，过点M 作曲线的切线MT，其傾角为，当自变量在点x处取得改变量x时，就 得到曲线上的另一点),(1yyxxM，从图可知 1NMy NTMNxxfdytan)( 由此可见函数)(xfy 的微分的几何意义就是 曲线)(xfy 在M点处切线之纵坐标的改变量。 2/2/202243微分基本公式2/2/202244微分运算法则2/2/202245示 例1 . 0, 1xxdyxxxydy2求函数 当 时的微分2xy 1 . 0, 1xx2 . 01 . 0122/2/20224

14、6示 例dxxx2ln12ln)(lnxxdxxxddy求函数 的微分xxyln2ln1xxdxdxxx2/2/202247微分形式的不变性把复合函数)(xfy分解为)(),(xuufy。则 duufxdufdxxufdxydyx)( )()( )( )( duufdy)( 无论u是自变量还是中间变量，)(ufy 的微分dy总可以写成 duufdy)( 的形式，这一性质称为微分形式不变性 2/2/202248示 例xdxxdxxcotcossin1，xusin设求函数 的微分xysinln)(sinsin11)(lnxdxduuuddy2/2/202249示 例dxxxx2211sindxxd

15、y21cos求函数 的微分21cosxydxxxx21211sin222/2/202250微分的应用计算函数的近似值 先找到合适的函数 xf，再选取0 x、x，然后带入式 xxfxfxxf)( )()(0002/2/202251示 例得取02. 0, 10 xx,)(4xxf设求 的近似值402. 1xxxxx430404041则005. 102. 0141102. 0102. 14442/2/202252示 例得取0017. 0, 5 . 00 xxxxfarcsin)(设求 的近似值4983. 0arcsinxxxxx200011arcsinarcsin则0017. 05 . 0115 . 0arcsin0017. 05 . 0arcsin4983. 0arcsin2089.295216. 0)0017. 0(33262/2/202253微分的应用估计误差 设量x可以直接度量，而依赖于x的量y由函数)(xfy 确定，若x的度量 误差为x，则y