电力系统间谐波测量方法汇总

1、第 33卷第 17期 2009年 9月 电网技术 Power System Technology Vol. 33 No. 17 Sep. 2009文章编号：1000-3673 (2009) 17-0086-05中图分类号：TM714文献标志码：A 学科代码：470 4051基于最小二乘法和复连续小波变换的电力系统间谐波测量方法曹健，林涛，刘林，张蔓，崔一铂(武汉大学电气工程学院，湖北省武汉市430072)A Method to Measure In ter-Harm on ics in Power System Based on Least Square Method and Complex

2、Con ti nu ous Wavelet Tran sformCAO Jian, LIN Tao，LIU Lin，ZHANG Man ， CUI Yi-bo(School of Electrical Engineering, Wuhan University，Wuhan 430072, Hubei Province, China)ABSTRACT: Based on least square method and complex continu ous wavelet tran sform, a high-precisi on method to measure steady state i

3、n ter-harm on ics in power system is proposed, in which the fun cti on fitti ng of whole measured freque ncy band is performed to obta in the nu mbers of in ter-harm onic comp onen ts, the n by use of the ban d-pass filteri ng feature of complex continu ous wavelet tran sform the freque ncy and ampl

4、itude of each inter-harmonic is precisely measured. Simulation results by Matlab show that using the proposed method the freque ncies and amplitudes of in ter-harm onics can be precisely measured and the calculati on burde n is light.KEY WORDS: power system ； inter-harmonics； least square method com

5、plex continu ous wavelet tran sform摘要：将最小二乘法和复连续小波变换相结合，提出了高精度稳态间谐波测量方 法。该方法应用最小二乘法对整个测量频带进行函数拟合，得到了间谐波分量的 个数，利用复连续小波变换的带通滤波特性精确测量了各个间谐波分量的频率和 幅值。Matlab的仿真结果表明，该方法能够准确测量间谐波分量的频率和幅值， 计算量较小。关键词：电力系统；间谐波；最小二乘法；复连续小波变换 间谐波对电力系统的危害有：导致波形正负半波幅值发生变化以及过零点偏移； 使采样数据或过零工作的数字继电器产生误差，甚至误操作；使变压器电抗和电 容器组产生谐振；当间谐波频

6、率接近谐波或基波频率时引发闪变；给变压器和感 应电动机带来额外的损耗，使其绝缘水平下降，使传统滤波装置失效甚至损坏 。在实际应用和理论研究方面，目前已有的间谐波测量方法有快速傅里叶变换法 (fast Fourier transform, FFT)、Prony方法和支持向量机算法等。间谐波分量往 往很难确定其波形周期，因此对含间谐波信号的采样较难实现同步。FFT算法的泄漏”现象不可避免，这有可能导致虚假”的间谐波和谐波，或实际间谐波和谐波被淹没7。Prony方法对噪声比较敏感，采用Prony方法时需先对信号进行消 噪8。基于支持向量机方法(support vector machine SVM)的

7、间谐波测量算法9- 10的计算量较大，计算精度和频率分辨率较低。文献11研究了最小二乘间谐波测量算法，发现如果以较高的频率分辨率对测量结果进行函数拟合，计算量将非 常大。连续小波变换(continuous wavelet transform, CWT)方法利用特征尺度通过 扫频来测量间谐波，测量精度较低且计算量很大12-17。鉴于电力系统中间谐波分量数量有限，本文提出将最小二乘和复连续小波变换带通滤波器相结合的稳态 间谐波测量算法。该算法计算量小，可以以高频分辨率测量电力系统间谐波。0引言随着各种变频调速装置以及电力电子装置的广泛使用，电力系统谐波污染问题日 益严重，这引起了国内外相关学者和研

8、究人员的广泛关注。谐波除整数次谐波外 还包括非整数次谐波，即间谐波1-4。基金项目：国家自然科学基金资助项目(50677044)。Project Supported by Natio nal Natural Science Foun dati on of Chi na(NSFC)(50677044).第33卷第17期电网技术87 1基于最小二乘法的间谐波检测算法 假设ny*(x)=刀 c*j?x) (1) j=0当 刀 mnmn2c*yi2=mini=0j=0cj 刀 i=0 刀 c2j?j(xi)-j?j(xi)-yi (2) j=0成立时，称曲线y*(x)为在曲线族(xi,yi)中按最小二

9、乘原则确定的对应于数据(x18i,yi)的拟合曲线。由线性无关向量组 Tj=?(x0),?j(x1),L,?j(xm)(j=0n)做基底构成Rm+1的一个子空间，记为 A= 0, 1,L,，n y=y0,y1,L,ymT。满足式的拟合曲线y*(x)存在且唯一，根据ATAc*=ATy (3)可以解出c*=(c*c*T0,c1,n),从而得到式(1)的拟合曲线。假设含有间谐波分量的电力系统波形模型为Ny(t)=p 30e-Xt+E pksin(k 3 1t+ 0 k)+wN (4)k=1式中：p0为t=0时刻的直流分量值；pk为第k个间谐波分量的幅值，k=1Nw ;X =1/,TT为直流分量的衰减

10、时间常数；0为第k个间谐波分量的相角；3 1为预设模型的频率分辨率；N3 3 1为参与拟合 的间谐波频率最大值；N为采样点数；wN为噪声。对e- X作泰勒级数展开，由于 不需要测量衰减直流分量，因此在不影响计算精度的前提下取e- X的泰勒级数的前两项，同时把式中的正弦项展开，则有Ny(t)=p 30-p0 X t+ 刀 pksink 3 Itcos 0 k+k=lE N3pkcosk 3 1tsin 0 k+wN (5)k=1如果用 X 表示由 p0,-p0 X ,p1cos 0 1,p1sin 0 1丄,pN3 cos 0 N3 ,pN 3 sin共NN3 +2个未知数组成的 向量，用Y表示

11、y(t1),y(t2),? ? ,y(tN)共N个采样值组 成的参变数矩阵，用A表示常数矩阵，则 可以得到AX+wN=Y当Xn =X?n时，3的平方和达最小值，此时称 X?n是X在最小二乘意义下的最优估计值19n。根据式(6)可以推出X=(ATA)-1ATY (7)则各个间谐波分量的幅值和相位为?p=k (8) ? 0 k=arctan(x2k+1/x2k+2) 式中：x2k+1、x2k+2分别为向量X第2k+1和第2k+2个元素，即第k个分量的 虚部和实部，其中k=1Nw。当pk0且较大时，则信号中存在频率为 kl的分 量；当pk=0或接近0时，则信号中不存在频率为k el的分量。通过对采样

12、数据进行函数拟合可以得到间谐波分量的幅值和相位。 提高最小二乘法拟合函数中的频率分辨率可以精确地测量电力系统间谐波，但这 种方法的计算量非常大。鉴于实际电力系统中间谐波分量数量有限，因此可以先 应用较低的频率分辨率的最小二乘法初步测量间谐波分量的个数和大致频率，然 后根据复连续小波变换带通滤波器的特点，逐个精确地测量间谐波分量的频率和 幅值。2基于最小二乘法和复连续小波变换的间谐波测量算法2.1连续小波变换简介连续小波变换的定义20为W-1f(a,b)=a-OOf(t)t-b)/adt (9) 小波容许条件为Co2书=2 n/-OO(3 )/ 3 )d 3 5223，本文取 3 0=2 nMo

13、rlet复小波函数的频域表达式为?( 3 )=exp-fB( 3 - 3 0)2/4 (12)本文采用的母小波函数的幅频特性如图1所示。从图1可以看出，该母小波的幅频特性是一个中心频率为1 Hz且频窗宽度约为(1 .12)Hz的带通滤波器。1.00.8 up/值 0.6幅 0.4 0.2 0.00.8 0.9 1.01.1 1.2频率/Hz图1母小波函数的幅频特性Fig. 1 Amplitude-frequency characteristicsof wavelet function考虑尺度伸缩变换和位移平移变换后，得?a,b(t)=(t-b(13) 式中考虑尺度伸缩因子a后，小波频带的中心频

14、率变为3 =3 0/a小波？a,b(t)的频窗宽度为母函数频 窗宽度的1/a24。将采用最小二乘法测量得到的某个间谐波分量的大致频率fc作为连续小波变换复带通滤波器的中心频率，并由此可以求得其对应的小波变换尺度ai。根据上文可知，连续小波变换被定义为实值 信号s(t)与变换核?a,b(t)的内积，其输出Wf(a,b)=a-12-OOf(t)t-b)/adt 等效于一个以 3 =2 n fc为中心频率的复带通滤波过程。假设WRT )和WI( T )为复带通滤波器输出的实部和虚部，该通带中等效信号分量在b时刻的瞬时频率f(b)和幅值M(b)可用下式求得：9 (b)=arctanlmWf(a,b)/

15、ReWf(a,b) (14)f(b)=1 9 (b)- 9 (b-Ts)2nT(15)M(b)=C (16)式中：Ts为采样间隔；系数Cf与间谐波分量的测量频率、连续小波变换的中心 频率和幅频特性有关。3仿真结果与分析本文对大量测试信号进行了仿真验证，在确认其有效性的前提下，选用下面的信 号进行说明。考虑衰减直流分量和噪声的影响，在 Matlab仿真软件中生成一个含多个稳态间谐 波分量的电力系统信号25，即s(t)=0.1exp(-10t)+0.52sin(2 ?f1? t-60 )+ sin(力 f2? t)+0.15sin(2?fn?t-75 )+ 0.4sin(2 ?f4?t+175 )

16、+0.35sin(2f5?t)+0.47sin(2 2f62t+207 )+0.28sin(2f72t+ 128 )+0.16sinf82nt+105 )+n(t) 式中：n(t)是均值为0且方差为0.01的白噪声；f1f8分别为25.15 Hz、50.01 Hz、110.75 Hz、150.03 Hz、184.58 Hz、223.23 Hz、275.89 Hz、345.77Hz,其中 25.15 Hz对应的 信号为次谐波，50.01 Hz对应的信号为基波，150.03 Hz对应的信 号为谐波，其 余分量为间谐波。设采样频率为1000 Hz，检测间谐波分量的频率范围为 0500 Hz (在实际

17、应用中可根据需要提高 采样频率来扩大间谐波分量频率测量范围)。考虑噪声和衰减直流分量的影响，设 置分辨率为1 Hz(即式中的3 1=1 Hz)根据式(8)应用最小二乘法对信号进行 分析，得到的频谱如图2所示。从图2可看出，信号中存在8个间谐波分量，通过对频谱取极大值可以看出，1.0 u0.8p值 0.6 幅号 0.4 信 0.20.00100200 300 400频率 /Hz图2采用最小二乘法得到的频谱Fig. 2 Freque ncy spectrum by least square algorithm第33卷第17期电网技术898 个分量的大致频率为25 Hz、50 Hz、111 Hz、1

18、50Hz、185Hz、223Hz、276 Hz和346 Hz，并把它们作为连续小波变换的中心频率。为了减小连续小波变换的混叠现象对间谐波测量的影响，选用fB=40 o用8个复连续小波变换即可完成对8个间谐波分量的测量，其对应的各个带通滤波器的幅 频特性如图3所示。从图3可以看出，各个带通滤波器之间不存在频率混叠现 象，因此可以准确测量间谐波分量。0.04u0.03 p/fi 0.02 幅 0.01 0.00100 200 300 400频率/Hz图3中心频率不同时采用连续小波变换得到的幅频特性Fig. 3 The amplitude-freque ncy characteristics by

19、CWTwith various cen tral freque ncies以25.15 Hz为例说明基于复连续小波变换的间谐波测量过程。由上述分析可知， 中心频率取25 Hz时对应的尺度因子为1/25,在该尺度下对信号进行连续小波变 换等效于对此信号进行以中心频率为25 Hz，带宽为(25 )Hz的复带通滤波。根据式(14) (16)实现对间谐波分量的精确测量。 采用连续小波变换得到的测量结果如表1所示。从表1可以看出，基于最小二乘法和连续小波变换的间谐波测量方法能够准确地测量出信号中间谐波分量的频率 和幅值，计算量很小。表1采用连续小波变换得到的测量结果Tab. 1 The measured

20、 results by CWT频率 幅值真实值/Hz测量值/Hz误差/%真实值/pu测量值/pu误差/%25.15 25.150 0 0 0.52 0.520 0 0 50.01 50.010 0 0 1.00 1.000 0 0 110.75 110.750 54.5 X 10-4 0.15 0.149 8 0.13 150.03 150.030 0 0 0.40 0.400 0 0 184.58 184.581 26.5 X 10-4 0.35 0.349 5 0.14223.23 223.230 0 0 0.47 0.469 8 0.04 275.89 275.888 5 0 0.28

21、0.280 0 0 345.77 345.771 00.160.160 04结论1) 基于最小二乘法的间谐波测量算法利用函数拟合来测量稳态间谐波，测量频 率分辨率受预设模型的影响，且频率分辨率越高，计算量越大。单一的复连续小 波变换对整个频段进行扫频的方法计算量也非常大。2) 本文提出的基于最小二乘法和复连续小波变换的稳态间谐波测量算法能很精 确地检测间谐波的频率和幅值，计算量小，为电力系统间谐波测量提供了一种有 效方法。3) 复连续小波变换存在一定的混叠现象，在高频段无法检测频率相近的2种频 率分量。减小母小波的频窗宽度可在一定程度上避免混叠现象。今后可在准确控 制连续小波变换频窗宽度等方面

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