电气工程师公共基础科目第102讲理论力学

1、例43句 小车A重Q,下悬一摆如图4-3-12所示。摆按规律（p=<pOsinkt摆动，设摆锤B重为P, 摆长为J,摆杆重量及各处摩擦均忽略不计。若运 动开始时系统的质心速度等于零，试求小车的运动方程。解以小车和摆锤所组成的质点系为研究对象。作用于该质点系上的外力有重力P、Q和轨道的铅垂 反力N。选取坐标Oxy如图所示，y轴通过系统的质心C。由于作用于该质点系上的所有外力在x方向上的 投影的代数和等于零，因此质点系的质心的运动沿c方向守恒，即vcx=常量。又因系统原来是静止的，所 以vcx=dxc/dt=O.xc=常呈:，因此质点系的质心的水平位垃应保持不变，由于y轴通过质心，故xc=0

2、。当摆锤 至任意位置时，质点系质心坐标为(1)由图示坐标关系得xr =- Zsin将式代入式得= p fsin 甲=（4） 式（4）即为小车的运动方程。（四）解题注意事项:1. 由于动量左理与质心运动左理均由牛顿龙律导得，故左理中的运动量（速度、加速度等）必须是相对惯性参考系的。2. 受力图中只需画出外力，不图示内力，并根据系统所受的外力来判别系统的动量或质心的运动是否守恒。3讣算多刚体系统的动虽时，可用关系式K Mvc 工税口 c式中VC为系统质心的速度：vic为i刚体的质心速度。具体计算用它的投影式。4.应用质心运动立理时，可用关系式Mac =rc =求解系统质心的加速度，也可以将质心矢径

3、M 求两阶导数得到。一般，当多刚体系统的各质心加速度容易求得时用前者较方便。三、动童矩定理质点或质点系动量矩泄理建立了质点或质点系的动星矩的变化与作用于英上的外力系主矩之间的关系, 可用以解决动力学两类问题。（一）动量矩的概念动量矩是某瞬时，质点或质点系绕某点或某轴转动时机械运动强弱的一种度量。其数学表达式分述如下。1质点对固定点0的动量矩Ho - mo（mv ） = r x mv式中r为质点对泄点0的矢径。动量矩矢量是定位矢量，应画在O点。其单位是kg m4 / s或“m s。2质点系对固立点O的动量矩3 质点系对过左点O的正交坐标系各轴的动量矩二工加加亍砂） Hy =工加 yGg）Hz =

4、艺协z（力i®）4,左轴转动的刚体对转轴c的动量矩（二）转动惯量及其平行轴圧理1. 转动惯量刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量。英表达式如表432所列。« 4-3-2转动惯就丧达式说明对任Z轴J, =成it 土 Mfi匚是i质点到乂轴之距 他为回转半径刚体的转动惯量永为正值，并与刚体的质量及质量分布有关。其单位是kg-m回转半径并不是刚体上某个实际尺寸，而是设想刚体的质量集中在与Z轴相距为PZ的点上，此集中质量对Z轴的转动惯量与刚体对Z轴的转动惯量相等。2 转动惯量的平行轴泄理=打 + M/2式中，z轴通过质心C且与R轴平行，WI是刚体的质量，d为zz轴之间的距离。（三）

5、动量矩泄理质点系动量矩宦理的表达式随矩心不同而有所改变，具体列于表4-3-3o 表4-3-3中Ho是在相对随质心平动坐标系的运动中，质点系对质心的动量矩；Zmc（E"）是作用在质点系 上所有外力对质心的主矩。表4-3-3矩心或矩轴矢fit形式投影形式定点O= JS»u（Fj） = Ml豁* = Xn»s（F?） 警=叫（就） 警=亦価若Mo = oi称动酸矩则=常矢最i守恒定理若习（就）=0 则H产常址质心C皿edt 曲略转轴：或丿® 试称W1体定轴转动微分方程（四）刚体平而运动微分方程Mj：c 二 SXx-Myc =邓Jc<P =工加c（闿）式中

6、Jc是刚体对通过质心且与运动平面垂直的轴的转动惯量。（五）例题例4-3-6 一软绳跨在滑轮上，其两端一为重W的人，一为与人等重的物体。开始时，人与物体均静 I上不动。令人沿着绳子向上，问人能否上升?物体将上升还足下降?设滑轮与绳子的质量以及轴承中的摩擦力 均可略去不计。解1. 对象：选整个系统为研究对象。2. 受力分析：作用于此系统卜的外力有轴承反力、重力W,显然这些力对轴O的矩之和始终为零。即工叫（耳）=亦。（X）二0故系统对z轴的动量矩保持守恒。3. 运动分析并计算动量矩运动开始时系统中所有物体处于静止，系统的动量矩为Hzl=0令人沿着绳子向上，因此，必然要引起重物上升，才能保持系统对O轴

7、动量矩为零。设某一瞬时，人 相对于绳子的速度为vr,而重物上升的速度为v°注意到重物上升的速度就是绳子中下运动的速度。因此， 人的绝对速度va=vr-vO.设滑轮的半径为r,则此时系统的动量矩为H& 二 - v）r -虫vr = 04. 应用动量矩左理求解由于系统对c轴动量矩守恒，故有解得同时得到= T7r - u = y由此可见，人与重物以相同的速度上升：并且看到，在任何瞬时，重物上升的速度总是等于人相对于绳 子的速度的一半。例4一37 飞轮由直流电机带动，已知电机产生的转矩M与其角速度的关系7j：M=M1(1-cd/cd1)o 式中，Ml表示电机的起动转矩，叫表示电机无负

8、载时空转角速度，且Ml与31都是已知量。设飞轮对0 轴的转动惯疑为J0,作用在飞轮上的阻力矩MF为常量，如图4一321所示。当M>MF时，飞轮开始起动, 求角速度o随时间t的变化规律。解本题为已知作用于飞轮上的力矩M与MF,求飞轮的转动规律，属动力学第二类问题。可根据刚 体绕左轴转动的微分方程，通过积分求得飞轮的角速度3。1对象以飞轮为研究对象。2受力分析 飞轮上作用的外力有力矩M及MF,约束反力XO, Y0和重力W。3运动分析 飞轮作泄轴转动。取顺时针转向为正。4建立动力学方程，并解之。应用定轴转动微分方程列方程如下:丿。第=M - M卜'(1)将已知转矩代入式(1),得 人务弋卜Mf 即Al| MpM i则上式可简化成霁二a -局将上式分离变量，并进行枳分运算，因运动初始条件为(=0时3=0,则有W T-dcv = beltjq a oco Jo解得飞轮的角速度为3 =(1-严)=(