电气工程师公共基础科目第109讲材料力学

1、(5517)(5-5-18)(5-5-19)六、常用简单图形的惯矩（图5 55）5 517为矩形，5 5 18为圆形，5 5 19为空心圆截面r bh3 r hb3* _ j2 y _ 12f兀d"fz = 74£ =畔(1_/)山=备"T£宀图 5-5-5例5-5-1试求图5-5-8所示截面图形的形心主惯性矩。解y轴为图形的对称轴，故为形心主轴之一。1. 求形心C图5-5-8所示截面可看作由矩形I和矩形II组成。其面积各为Ai=200X50=10000mm*An=50X150=7500mm2以益轴为参考坐标，则A n = 50 X 150 - 750&

2、lt;)mm2过形心C作垂直y轴的z轴，则八z轴即为形心主轴。200 x 50 x 100 ± 50 ,x 150 x 225 003< 50T50 xl5d-153.6mm2. 求形心主惯性矩二驾刃+弩严".61X2养=刃乍严 + 50 x 20() x (53.6尸+ 150尹，+ 50 x 150 X (71.4)2=1.018 X l08nim4第六节弯曲内力平面弯曲的概念弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主耍变形的杆件通常称为梁。弯曲变形特征任意两横截而绕垂直杆轴线的轴作相对转动，同时杆的轴线也弯成曲线。平面弯曲荷载作用面（外力偶作用面或横向力与梁轴线组

3、成的平面）与弯曲平面（即梁轴线弯曲后所 在平面）相平行或重合的弯曲。产生平面弯曲的条件：（一）梁具有纵对称面时，只要外力（横向力或外力偶）都作用在此纵对称面内。（二）非对称截面梁纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平而（即梁的轴线与其横截面的形心主惯性轴所构成的 平面）平行的平面内。横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心并在与梁的形心主惯性平而平行的平面内。梁横截面上的内力分眾一一剪力与弯矩（一）剪力与弯矩剪力 梁横截面上切向分布内力的合力，称为剪力，以V表示。弯矩 梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以H表示。剪力与弯矩的符号 考虑梁微段dx,使右侧截而对左侧截面产生向

4、下相对错动的剪力为正，反之为负; 使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之为负。由截而法可知:横截面上的剪力，其数值等丁该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在横截面方向的投影代数和；丄左侧 梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪力，反之则引起负剪力。S Yi左（右）横截面上的弯矩，其数值等丁该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心的力矩代数和：U向上 外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶及右侧梁上逆时针转向的外力偶引起正弯矩，反之则产 生负弯矩。M = S Mci左（右（二）剪力方程与弯矩方程剪力方程 表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的函数，称为剪力方程，表示为V=V（x）

5、弯矩方程 表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，称为弯矩方程，表示为M=M（x）（三）剪力图与弯矩图剪力图表示沿杆轴各横截面剪力随截面位置变化的图线，称为剪力图。弯矩图表示沿杆轴各横截而上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯矩图。荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用（一）Q、V、M间的微分关系设荷载集度q®）为截面位置x的连续函数、11规定以向上为正，则有zmMtdMdx图68微段梁受力图K = 0, Q+gd(Q + d<?) = 0= Af+<?dx + y9(dx)2-(Af + dM)dV(H)dx-q(x)d2%) _ dv&) dr2 一 dx=q(

6、z)(5-6-1)(5-6-2)(5-6-3)(二)应用1.校核剪力图、弯矩图的正确性根据一阶导数的儿何意义，式(5 61)和式(5-6-2)表明剪力图上某点的切线斜率等丁梁上相应点处的荷载集度，弯矩图上某点的切线斜率等丁梁上相应截面上的剪力。由式(563)的儿何意义可根据M(x)对x二阶导数的正负，定出H(x)图的凹向；若q(x)>0,则M图 为上凸的曲线；若q (xXO,则M图为下凸的曲线。若q (x)二0,则M图为直线。2.利用微分关系作剪力图和弯矩图由式(56 1)可得CB、 CUdV(x) -g(?)dx(5-6-4)JaJ a% _- AE5即截面扫上的剪力与截而A上的剪力之

7、差等于梁上AB间荷载集度q(x)图的面积，但两截面之间必须无 集中外力作用。同理由式(5-62)可得V(jj)dxCB dM(x)(5-6-5)即截B上的弯矩与截面A上的弯矩之差等丁梁上AB间剪力图的面积，但两截面之间必须无集中力偶作于是由式(561)、(5-6-2),根据梁上己知的荷载集度，判定剪力、弯矩图的图线形状、凹向等, 而由式(564)、 (5-6-5)确定控制截面的剪力、弯矩值，即可绘制剪力、弯矩图。特殊截面上的剪力、弯矩值(一) 在集中力作用的截面处，V图有突变，M图形成尖角。突变值等于集中力的大小，突变方向与集 中力作用方向一致。(二) 在集中力偶作用处，V图无变化，但M图有突变。其突变值等于该力偶之矩，突变方向看该力偶 对后半段梁的影响，即该力偶对后半段梁为产生正弯矩，则向正方向突变，否则反之。现将上节和本节中有关弯矩、剪力与荷载间的关系以及剪力图和弯矩图的一些特征汇总整理为表5-6 -1，以供参考。在几种荷截下朋力图与专矩图的特征表5-6-1的外力向下的均布荷我;无荷級集中力亠集中力他LJ'