全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

1、2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1若，则函数的最小值是 2已知函数若，则的值是 3已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，则数列的通项 4若函数是奇函数，则实数的值是 5已知函数若关于的方程的实根之和为，则的值是 6设、都是锐角，且，则等于 7四面体中，异面直线和之间的距离为4，夹角为，则四面体的体积为 8若满足，的恰有一解，则实数的取值范围是 9设集合，是的两个非空子集，且中的最大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是 10如果正整数可以表示为 (，)，那么称为“好数”问1，2

2、，3，2014中“好数”的个数为 二解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知，为正实数，求的值12已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，求双曲线C的离心率13如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高于点以为直径的半圆交的延长线于点求证：14（1）正六边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三

3、角形将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论2006年全国1卷理科第12题设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（B）A50种 B49种 C48种 D47种解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合

4、A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再

5、分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有210=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有35=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有41=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法选B第9题的本质与推广2014年金海南最后一模试题设整数3，集合P1，2，3，n，A，B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数 （1）求a3； （2）求an解：（1）当3时，P1，2，3 ， 其非空子集为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3， 则所有满足题意的集合对(A，B)为：(1，2)，(1，3)，(2，3)， (1，2，3），（1，2，3)共5对， 所以a3； 3分 （2）设A中的最大数为k，其中,整数3， 则A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的个数为： ， 5分 B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，k可在B中，但不能 都不在B中，故B的个数为：， 7分 从而集合对(A，B)的个数为，