8圆内接正多边形学习精品

1、8圆内接正多边形基础自我诊断弭说富习习髓代关键问答 正n边形的中心角是多少度？ 连接正六边形的中心和任意两个相邻顶点得到的三角形是一个什么样的三角形？ 解决与圆内接正多边形的有关计算题，应如何添加辅助线？12019株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A.正三角形B .正方形 C.正五边形 D .正六边形2禾U用等分圆的方法可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是（ ）A.正三角形B .正方形 C.正六边形 D .正七边形3. 已知正六边形的半径为 r，则它的边长、边心距、面积分别为（）A.r,r, 3r2B.r,2,23r2C.-r,r,3r2D. r,

2、 于,穿24. 如图3- 8-1，正三角形 ABC内接于O O,若AB = 2 . 3 cm，求O O的半径.图 3- 8- 1考向提升训塚能力扬考课时叱命题点1正多边形的画法热度：87%5. 如图3-8- 2,要在一个圆形纸板上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形（不要求写作法，保留作图痕迹 ）.图 3- 8-26. 如图3-8 3，已知O O和O O上的一点 A,作O O的内接正六边形 ABCDEF .图 3- 8-3解题突破 正六边形的半径与其外接圆的半径有什么关系？命题点2与圆内接正多边形有关的计算热度：81%S阴影7. 如图3 8-4，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边

3、三角形ABC的各边上，则 一S ABC的值为（）图 3 8 4八1B.3 C.3 D.3332解题突破根据正六边形的每一个内角是AD120°得到 ADI是什么三角形？得到 心的值是多少?AB8. 如图3 8 5，正五边形ABCDE内接于O 0,过点A的切线与CB的延长线相交于点F,则/ F的度数是（）图 3 8 5A. 18 ° B. 36 ° C. 54 ° D. 72 °解题突破 连接0A , 0B,你能求出/ A0B, / BAF, / ABF的度数吗？9. 2019达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形

4、，则该三角形的面积是（）A B.f C. 2 D. 310. 如图3 8 6, A , B, C在O O 上, AB是O O内接正六边形的一边， BC是O O内接正十边形的一边，若 AC是O O内接正n边形的一边，则n等于（）图 3 8 6A. 12 B. 15 C. 18 D. 20解题突破 连接OA , OC , OB,你能求出/ AOC的度数吗？11. 2019玉林如图3 8乙正六边形 ABCDEF的边长是6+ 4 . 3，点O1,。2分别是 ABF , CDE 的内心，贝U O1O2=.图 3 8 7方法点拨教育资源 解决正六边形问题，往往需要作辅助线将其转换为三角形问题进行求解.命题

5、点 3 与圆内接正多边形有关的证明 热度： 80%12. 如图3-8 8,已知O O的内接正十边形 ABCD，AD与OB , OC分别交于点 M , N.图 3 8 8求证：(1)MN / BC;(2)MN + BC = OB.13. 如图3 8 9,在O O的内接等腰三角形 ABC中，AB= AC,弦BD, CE分别平分 / ABC，/ ACB, BE = BC.(1)求证：五边形 AEBCD 是正五边形；若BD , CE相交于点F，试判断四边形 AEFD的形状，并证明你的结论.图 3 8 9知识链接 (1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)各边相等，各角相等的五边形是正五边形.命题点

6、 4 与正多边形有关的实际应用热度： 79%14如图3 8 10是一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形 ABCDE (如图3 8 10)，点O为中心.(1) 求地基的中心到边缘的距离 (结果精确到 0.1 m)；(2) 已知塔的墙体宽1 m ,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，则塑像底座的半径最大是多少？图 3810模型建立 从实际问题中建立正多边形模型，并构造直角三角形，借助三角函数进行计算15. ?如图3 8 11，正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE分别是O O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M , N分

7、别从点B, C开始，以相同的速度在O O 上做逆时针运动， AM 与 BN 交于点 P.(1)求图中/ APB的度数.(2)图中/ APB的度数是 ，图中/ APB的度数是 .根据前面的探索，你能否由本题推出一般的正n边形的情况？若能，请写出你的结论；若不能，请说明理由.图 3- 8- 11方法点拨?从特殊到一般发现规律，再从一般到特殊验证规律.16. ?盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：(1)若P是正三角形 ABC的外接圆BC上的一点，贝V PB+ PC= FA;若P是正四边形 ABCD的外接圆BC上的一点，贝V PB+ PD = , 2PA;若P是正五边形 ABCDE的外

8、接圆BC上的一点，请问PB + PE与PA有怎样的数量关 系，写出结论，并加以证明；若P是正n边形A1A2A3An的外接圆A2A3上的一点，请问 PA2 + PAn与PAj又有怎样 的数量关系，写出结论，不要求证明.图 3-8- 12方法点拨?解决正多边形问题时，通常需要作辅助线构造直角三角形，借助三角函数加以计算详解详析1. A2. D 解析利用圆的半径即可将圆等分成 6份，这样就能得出正三角形，也可以得出正六边形；作两条互相垂直的直径即可得到圆的4等分点，连接各分点可得出正方形；但是无法只利用直尺与圆规将圆 7等分，故无法得到正七边形.3. D4. 解：过点0作0D丄BC于点D，连接BO.

9、正三角形ABC内接于O 0,点0既是三角形的内心也是外心，1 1/ 0BD = 30° BD = CD = qBC = qAB = 3 cm, cos30°= B0 = B0| = 23 解得 B0 = 2 cm,即O 0的半径为2 cm.5. 解：作两条弦AB, BC的垂直平分线，交点即为圆心0; 作直径DE，作直径DE的垂直平分线，交圆 0于点F , G; 顺次连接D, G, E, F，四边形DGEF即为所求，如图所示.6解：如图，首先作直径 AD，然后分别以点 A, D为圆心，0A长为半径画弧，与O 0 分别交于点B, F , C, E,连接AB , BC, CD ,

10、 DE , EF, AF，则正六边形 ABCDEF即为所 求.7. C 解析六边形DEFGHI是正六边形,/ EDI = 120° ADI = 60° , ADI是等边三角形， AD = DE.同理,BE = DE ,AD = DE =1 1-Sa ADI =ABC , 冋理, Sbef = 9$厶 ABC ,_ 1S CGH = 9SABC ,S阴影Sa ABC1S ABC 3 X 9$ABCSa ABC2=3.故选c.& D 解析连接 OA, OB.t AF 是O O 的切线，二/ OAF = 90 °正五边形ABCDE内接于O 0 ,/ A0B= 3

11、60- = 72°5/ 0A= 0B,/ 0AB=Z 0BA = 54°,/ BAF = 90° 54°= 36°.ABF =/ F = 180° 36° 72°= 72°故选 D.9. A10. B 解析连接0C, OA, OB.vAB是O 0内接正六边形的一边，/ A0B= 360° 书=60°. BC是O 0内接正十边形的一边，/ B0C= 360° 出0= 36°/ A0C=Z A0BZ B0C= 60° 36° = 24° n

12、= 360° 24° = 15.故选 B.11. 12+ 43解析过点A作AM丄BF于点M,连接0iF , 0iB.六边形 ABCDEF是正六边形，/ FAB = 120° AF = AB,1点 A, 0, M 在一条直线上，/ AFB = Z ABF = - X (180 ° 120°= 30° ABF 中 BF 边上的高 AM = *AF =1 X (6 + 43) = 3+ 23 FM = BM = 3AM = 33 + 6, BF = 33 + 6+ 3 .3+ 6 = 12+ 6 ,3.设厶ABF的内切圆的半径为 r, ab

13、f = SA AO1F + SA AO1B+ SA BFO1, 1 X (3 + 2 .3) X (63 + 12) = 1 X (6 + 4 .3) X r + 丁 X (6 + 43) X r + 丁 X (12 + 63)x r,解得r = 3,即0側=r = 3,0i°2= 2 X 3+ 6+ 4 .J3 = 12+ 4 J3.12. 证明：(1)如图，连接 OA, OD. BC, CD为O O的内接正十边形的边长，/ BOC=Z COD = 36°/ BOD = 72°1/ BAD = -Z BOD = 36°.21/ OB= OC， / 1

14、= Z 2 = 2 X (180 °- 36°= 72°.同理可得Z 3 = 72° Z ABC=Z 1 + Z 3 = 144° Z BAD + Z ABC = 180°, AD / BC,即卩 MN / BC.(2) tZ BAD = 36 ° Z 3= 72 ° Z AMB = 180° -Z BAD-Z 3= 72° Z OMN = Z AMB = 72°.tZ OMN = Z AOM + Z OAM , Z OAM = 36° , OM = AM.在厶 OMN 和厶

15、 AMB 中,Z MON = Z MAB , OM = AM , Z OMN = Z AMB , OMN AMB , MN = MB , ON = AB.t OM = ON , OB = OM + BM = AB+ MN./ AB= BC , MN + BC= OB.13. 解：(1)证明：t AB = AC , / ABC =Z ACB.t BD , CE 分别平分Z ABC , Z ACB , Z ABD = Z DBC = Z ECB = Z ACE.t BE= BC , BE = BC, / BEC = Z BCE.教育资源/ BAC = Z BEC ,/ ABD =Z DBC = Z

16、 ECB = Z ACE = Z BAC,. AE = AD = DC = BC = BE,a AE = AD = DC = BC= BE,五边形 AEBCD是正五边形.(2)四边形AEFD是菱形.理由如下：五边形 AEBCD是正五边形，/ EBC=Z EAD = Z AEB =Z ADC =Z BCD = 108°/ BC= DC，/ CBD = Z BDC = 36°,/ ADB = 72°EAD + Z ADB = 180° AE/ BD，同理可得：EC / AD ,四边形AEFD是平行四边形.又 AE= AD ,四边形AEFD是菱形.14. 解：

17、(1)如图，过点O作OM丄AB于点M ,连接OA, OB,贝U OM为边心距，/ AOB 是中心角.由正五边形的性质得/ AOB= 360°弋=72°1又 AB= X 26= 5.2(m),5所以 AM = 2.6 m，/ AOM = 36 ° .A IV flQ O在Rt AMO中，边心距 OM =Lh =厂七 齐3.6(m).tan36 tan 36所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m.(2)3.6 1 1.6= 1(m).所以塑像底座的半径最大约为1 m.15. 解：/ ABC是正三角形，/ ABC = 60°点M ,N分别从点B ,C开始以相

18、同的速度在O O上做逆时针运动，BAM =/CBN , 教育资源/ APB = 180° / ABN/ BAM = 180° / ABN / CBN= 180° / ABC= 120°(2)90 ° 72能.图中/ APB=響.16. 解：(3)PB+ PE与PA满足的数量关系是： PB + PE= 2PA cos36 .理由：连接 OA, OE ,过点A作AM丄PB于点M , AN丄PE于点N.因为/ APM = / APN，所以 Rt AMP也 Rt ANP，所以 AM = AN , PM = PN.因为 AB = AE,所以 Rt AMB 也 Rt ANE，所以 MB = NE,所以 PB + PE= (PM MB) + (PN+ NE)= 2PN.1360 °因为/ APE = 1/ AOE，且五边形A