1997真题及解析

1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设 y = f(lnx)ef(x),其中 f 可微,则 dy =.1I2 ii 若 f(x)= +J1_x f(x)dx,则f (x)dx =.1 + xL0 差分方程yt -yt2的通解为.2 2 2 若二次型f(X1,X2, X3)=2X1 X2 x3 2x1x2 7X2X3是正定的，则t的取值范围是 设随机变量X和丫相互独立且都服从正态分布N(o,32),而X1|,X9和Y1LY9分别是来自总体 X和丫的简单随机样本，则统计量u = X1亠川；服从&2钏+丫9

2、2分布(2分),参数为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1 qsx2x5X6(1)设 f (x)sin t dt, g(x),则当 x 0时，f (x)是 g(x)的勺56(A)低阶无穷小(B)(C)等价无穷小(D)高阶无穷小同阶但不等价的无穷小(2)若 f(x)二 f(x)(-： ：x :：),在(-：，0)内 f (x)0,且 f (x) <0 ,则在(0,：)内有()(A)f (x)0, f(x) <0(B)f (x)0, f (x)0(C)f (x) <0, f(x)

3、: 0(D)f (x： 0, f (x)0 设向量组:, :-2, :-3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是()(A):'1>2,>2 *3, >3 - >1(B)：1：2,*3, 2：3(C)：1-2二2, 2： 2 3： 3, 3： 3 ： 1(D)：1：2：3, 2：】-3： 2 22 3, 3：5： 2 5：(4)设代B为同阶可逆矩阵，则(A) AB 二 BA(B)(C)存在可逆矩阵C ,使CT AC = B (D)(5)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：1-P:Y =1,则下列各式中成立的是21(A) P1X 二丫(B)21(C) PX Y =

4、 0(D)4三、(本题满分6分) 在经济学中，称函数1Q(x) =A、K(1为固定替代弹性生产函数，而称函数Q 二 AK L1 为Cobb-Douglas生产函数(简称C D生产函数).试证明：但x > 0时，固定替代弹性生产函数变为lim Q(x)二 Q .存在可逆矩阵P,使PAP = B存在可逆矩阵P和Q ,使PAQ二B1px 一1 ；4丫 一1, pfx2()PX ” =11p*.XY " 4C D生产函数，即有四、(本题满分5分)设u二f(x, y, z)有连续偏导数，y二y(x)和z = z(x)分别由方程exy - y = 0和x小due - xz = 0所确定,求

5、 .dx五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系p =7-0.2x(万元/吨),x为销售量(单位：吨),商品的成本函数 C =3x 1(万元).(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2) t为何值时，政府税收总额最大六、(本题满分6分)设函数f(x)在0,匸：)上连续、单调不减且f(0) - 0,试证函数F(x)若 x =0,0,在0, ：）上连续且单调不减（其中n .0）.七、（本题满分6分）从点R（1,0）作x轴的垂线,交抛物线y =x2于点Q/1,1）;再从Qi作这条抛物线的切线 与x轴交于P2,然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线于点

6、 Q2,依次重复上述过程得到一系列 的点 P,Qi；P2,Q2；MPn,Qn；IH.（1）求 OP；（2）求级数QPQ2P； |丽 Hl的和.其中n（n _1）为自然数，而MW2表示点M1与M2之间的距离八、（本题满分6分）设函数f t在0,匸：）上连续，且满足方程f(t)=e47t+JJx2: fy2 里tf (x2 y2 )dxdy.求 f (t).九、（本题满分6分）设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量，b为常数记分块矩阵其中A”是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.（1）计算并化简PQ ；（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是：Ja'=b.十、（本题满分10分）设三阶实对称矩阵

7、A的特征值是1,2,3 ;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是：1 =(-1,-1,1)12 =(1,-2, 1)T.(1) 求A的属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵A.十一、(本题满分7分)11假设随机变量 X的绝对值不大于1; PX=_1,PX=1；在事件84 -1 :： X : 1出现的条件下，X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比试求X的分布函数F (x)二P X乞x 十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行假设一游客在早晨八点的第 X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上均匀分 布

8、,求该游客等候时间的数学期望 十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题(本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.)1(1)【答案】ef(x) f ln x f x f In x dx x【解析】题目考察复合函数的微分法，利用链式法则计算如下:由 y = f (ln x)ef (x)可知dy 二丄 f ln x ef (x)dx f ln x ef(x) x

9、dx xA=ef(x)- f ln x i亠 f x f ln x dx.x(2)【答案】 一4 - n1【分析】本题中 o f(x)dx是个常数，只要定出这个数问题就解决了【解析】令两边从0到1作定积分得f (x)dx 二 A,则 f (x)1A 1 -x21 +x彳1 CA+2Xd丄1兀典兀兀典x dx = arctanx“+A = +A,0444解得A.4 一兀【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分 I 1-x2dx表示单位圆在第一象限部分的面积，可直接根据几何意义求得考生务必注意这种技巧的应用【答案】二C (一2図【解析】对应的齐次差分方程是yt计一 yt =0,显然

10、有不恒等于零的特解 玄=1.因方程的右端函数f (tt2t ,可设非齐次差分方程的特解有形式y =(At B)2t,代入方程得(At 2A B)2t2t, t =0,12|(.由于2、0,于是At 2A B =t, t =0,1,2,川.可确定A =1,B - -2 ,即非齐次差分方程有一个特解是y” = (t -2)2七.从而,差分方程的通解是 yt =C (2)2t.(4)【答案】一'、2 :t ： .2【解析】二次型f (x1,x2,x3)对应的矩阵为0£21因为f正定二 A的顺序主子式全大于零又=1,亠=|A =1丄严,3 2故 f 正定二 1 一 £t2&

11、#176;，即-朽：:t ： ,2 .【答案】t分布,参数为9【解析】由X1,|I(,X9是来自总体X的简单随机样本,故X1,|I(,X9独立,且都服从正态 分布N(0,32).类似有丫1,|1(,询相互独立,且都服从正态分布 N(0,32).又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布，即x =X1 III X9 NOV-2).其中 J =E(X ) = E(X1 X9),二2 = D(X ) = D(X1 111 X9).由期望的性质，=E(X ) =E(X1 |lX9) =EX1 EX2，l|l * EX9 =0 ；由独立随机变量方差的性质 ，二2 =D(X ) =D(X1 |

12、X9) =DX1 DX9 =81 , 故 X N(0,92).2 Y 0因 Y,川,丫9 N(0,3 ),故N(0,1),(i =1,2，川,9),所以,3Y J 丫/i. 322(9).X -0x * _ 0 由t分布的定义，现已有X N(0,92),将其标准化得 一 N(0,1),故 9t(9).化简有計(9)，即X1川X9=X1 川 X99Y/ / t(9) 9 1 (Y2 |1丫92)Y 川 Y9【相关知识点】1.数学期望的性质：E(aX bY caE(X) bE(Y) c,其中a,b,c为常数.2.方差的性质：X与丫相互独立时，D(aX bY ca2D(X) b2D(Y),其中a,b

13、,c为常数3.2分布的定义：若 乙，|l(,Zn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1),则nZi22(1)Zi2 2(n).i丄2 Z u4. 若 Z N(u,二2),则 N(0,1).CT2X5. t 分布的定义：若 X N(0,1), Y 2(n ),X,Y 独立，则 T t( n).二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】只要求出极限 lim丄就能判断出正确的选项7g(x)【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系1-cosxsin t2dt limlimx

14、 0 g(x) x Qf(x)56x x-J-562,(sin x)sin(1 cosx)=limx 04X (1 x)=limX0 1 亠 X Xr°x4二 limx )015x=0,x故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若：(t)F(t) f(x)dx(t)(t)均一阶可导，则F 八(t) M -(t)l-：(t) H： (t)l.2.无穷小的比较:设在同一个极限过程中，(x), - (x)为无穷小且存在极限lim =丨,B(x)(1)若丨式0,称a (x), B(X)在该极限过程中为同阶无穷小； 若I =1,称(x), ：(x)在该极限过程中为等价无穷小

15、，记为(X)U ：(x)； 若丨=0,称在该极限过程中：(x)是 (x)的高阶无穷小，记为:(x) = o -(x).若lim .(x)不存在(不为：),称.：s(x), (x)不可比较.P(x)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题方法1由f(-x)二f (x) (一：，：)知，f (x)的图形关于y轴对称由在(-：,0)内，f x 0且f (x)：0知，f(x)的图形在(-：，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0, ：)内，f(x)的图形单调下降，且是凸的，所以应选(C).方法 2：由 f (-X)二 f (x)可知 _f (_x)二 f (x)，f (_x)二

16、 f (x).当 x (0，：)时，_X (-：，0)，此时由题设知 f -x 0, f (x) ：0,则f (x) < 0, f (x) ：0，x(0，：)，故应选(C).方法3:排除法.取f (x) = -X2 ,易验证f (x)符合原题条件，计算可知(A)、(B)、(D)三个选 项均不正确，故应选(C).方法4:由题设可知f(x)是一个二阶可导的偶函数，则f(X)为奇函数，f “(X)为偶函数，又在(-：，0)内 f (x)0, f (xh：0,则在(0，：)内 f (x) ： 0, f (x) ： 0,故应选(C).【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与(打，',

17、')=(1,23)C技巧相结合.【解析】对于(A),:対 匕2卜心2 :七亠-=°，即存在一组不全为零的数1,-1,1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知：込2 "二3, J - 线性相关，排除(A)；对于(B),2亠很2 S卜：® 22 *3 =0,即存在一组不全为零的数1,1,-1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知宀，二2, >2丄：31 * 22，二3线性相关，排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零，就不应继续观察下去，而应立即转为计算行列式设有数匕山2山3,使得k ： 1 2： 2 k2 2： 2 3： 3k3 ： 13： 31

18、=0,整理得k1 k3 ：冷亠2匕 2k2 隠2 亠3k2 3k3 a3 = 0.& k3 = 0已知：-1, ：-2, ：-3线性无关,上式成立,当且仅当 2k! 2k03k2 3k3 =01 0 1因的系数行列式2 2 0 =12式0,故有唯一零解 ,即k1=k2=k3=0.故原向量组0 33 22, 2 23： 3, 33啥线性无关.应选(C).或者也可以将 冷 22, 22 33, 33心1用1,2,3线性表出,且写成矩阵形式,有_10记Rr+22, 22+3口3,3口3+>=上仆0,0 220 = t(1(2 a3 c ,03 3一C =12式0,则C可逆,故两向量组是

19、等价向量组，由口 1,，4线性无关知。1 +&2,2： 2 3 3,3线性无关.【答案】(D)【解析】方法1:用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似，也不一定合同.,B0_0 2,由于特征值不同，故不相似，又对应二次型的正、负BA= T_00:61,AB = BA.惯性指数不同，故也不合同，(B)、(C)不成立;若A/y；，则2,AB_0故(A)不成立；应取(D).方法2：因代B是同阶(设为n)可逆阵，故有r A =r B = n,而r A=r B = A, B等价= 存在可逆阵P,Q使得PAQ二B.1 1(这里只需取 P =A ,Q=B,既有PAQ =A BA=

20、B成立),故应选(D).或者，因A,B是同阶可逆阵，故代B均可以通过初等行变换化成单位阵行变换行变换AE,BE,即存在初等阵 p =R,p2,川ps,W =WnW2|i|Wr,使得PA=E,WB = E,从而有 PA = E =WB,得 PAW 二二 PAQ = B W 丄=Q .故(D)成立.【答案】(A)【解析】因X和Y相互独立，而PIX = PY =,px=1=PlY=1,2 2故有：111Px 二 -1丫 二= PX 二 -1沖丫二 -1丄2 24111 plx 一1 丫 =1 ； = px =1B1y =1 ；=2 24111plx -1,Y 一1 ； = PX "PY 一

21、1 ；=2 24111pIx =1丫 =v 二px =1p1y =1、2 24111P：X =Y)二 P1X 二 -1,丫二 -1 P1X =1 丫 =1,4 42故(A)正确,(B)错；PX Y = 0 ；=PX 二-1 丫 =1 pfx 二-1 丫 =1-=-,442故(C)错；111PIXY =1 ；=PX = -1 丫Plx =1,Y =1,442故(D)错.三、(本题满分6分.)【分析】要证明limQ(x)=Q,只须证明limln Q(x) =1 nQ即可，因为Q(x)为指数函数，因 x )0x )0此化为对数形式便于极限计算1【解析】因为ln Q(x) = I nAln、K (1

22、-、)!_,而且x.ln K"(1 -、)L=limx_ox-§Kn K -(1-6)Lln L二 -、ln K -(1 -、)ln L = -ln( K 计)，所以,!叫门 Q(x) = In A In(K、L>)二 In(AK ),limQ(x)二 AK L1-' 二 Q 四、(本题满分5分.)【解析】由题设有(*)du :f f巴竺. dx ； x 鋼 dx ； z dx在exy - y = 0中，将y视为x的函数，两边对x求导，得eF x荻齐0=全dx 1 - xexy1 - xy在ez - xz =0中，将z视为x的函数，两边对x求导，得z dzdz

23、e z-x 0= dxdxdz zdxXxyx将、(2)两式代入()式,得dx； x 1 - xy ;y xy - x ； z【相关知识点】1.多元复合函数求导法则： 若u二u(x, y)和v = v(x, y)在点(x, y)处偏导数存在,函数z = f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z = fu(x, y),v(x, y)在点(x, y)处的偏导数存在，且L、l、l、L、l、 L、L、.l、cz_cfcucvQZ_ofou +cfcvL、， l、x :u :x :v :x :y五、(本题满分6分)【分析】要求获得最大利润时的销售量，需写出利润与销售量之间的的关系二(x

24、),它是商品销售总收入减去成本和政府税收正确写出: (x) 后,满足二(x00的x0即为利润最大时的销售量，此时，x°(t)是t的函数，当商家获得最大利润时，政府税收总额T =tx(t),再由导 数知识即可求出既保证商家获利最多，又保证政府税收总额达到最大的税值t.【解析】(1)设T为总税额，则T = tx.商品销售总收入为2R = px = (7 -0.2x)x 二 7x -0.2x .利润函数为 ：- R 一C -T =7x -0.2x2 -3x -1 -tx 二-0.2x2(4 -t)x-1.4 t 5 令二(x) =0,即-0.4x 4-t =0,得 x(4_t).0.425

25、 由于二(x) = _0.4 : 0,因此，x(4 -t)即为利润最大时的销售量.25 55 2将 x (4 -1)代入 T = tx,得 T = t (4 -1) = 10t t .222由T (t) =10-5t =0,得惟一驻点t=2 ;由于T_(t)=：5：0,可见当t=2时T有极大值,这时也是最大值，此时政府税收总额最大.六、(本题满分6分)【分析】当x 0时，F(x)显然连续，故只要证lim F(x) = F(0),且当x 0时，F ”(x) _ 0 即可.【解析】方法1:显然x 0时，F (x)连续，又由洛必达法则知x nt f(t)dtnlim F(x) = lim -lim

26、xn f (x) =0 = F (0)x一0 x 0 'xx 0 '所以F(x)在0,：)上连续.当 x (0, ：)时,F (x)二加xxn1f(x)- 0tnf(t)dt2xxn1f(x)- nf( )x2x0 ： ： x .由于 f (x)单调不减，故 f (x) 一 f (),又 xn n,从而 xn f (x) _ n f ().于是有F(x)_00：x.故F(x)在0,=)上单调不减方法2：连续性证明同上.由于+xF (x)xn1f(x)-.0tnf(t)dt2xx nX n0xnf(x)dt-.0tnf(t)dt2xx0xnf(x)-tnf(t)dt- 2 0,x

27、可见，F(x)在0, ：)上单调不减.,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于【评注】本题主要考查变上限定积分求导F (x)的不同处理方法.I.:<t)-【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若F(t)f (x)dx,(t), - (t)均一阶可导，则F (t)二(t) f.叮(t) f (t) L七、(本题满分6分)【分析】先作出草图，再求出曲线y=x2在任一点(a,a2)上的切线方程及其与 x轴的交点，然后依此类推，得出一系列与x轴交点的坐标.最后进行相应计算即可【解析】(1)由y = x2,得y丄2x 对于任意a(0 : a _1),抛物线y =x2在点(a,a2)处的切

28、线方程为y -a2 = 2a(x _a).且该切线与x轴的交点为(|,0),故由耳1可见11OF2 = _ OP = _2-1 - OP3OP，IHIINIIOPn 二珀.2，1 1 1='2 222'2由于QnPn = OPn二召,可见4OO oO、QnPn 八 n =11nT 4n4# 1m=0 4利用几何级数求和公式0Tnxn=S1 'X11 (x<1)即得- -m'丽八+=nTm=0 4【评注】本题是级数与微分学的综合题 ，本题中所得的级数仍为收敛的几何级数，利用几何级数求和公式即可求出它的和 八、(本题满分6分)【解析】将直角坐标化为极坐标 ，由

29、于2t rr =2： o rf (；2)dr,1 厂222 兀 2tX2f( x y )dxdy = o d。f y2 -t24 吕22trr可得fghe71" +2兀J。rf q)dr.在积分中作换元 ，又有2t rt0 rf(-)dr =4 °sf(s)ds.t. .2f (t)满足积分关系式 f (t) = 8，i sf (s)ds - e4 在上式中令t = 0得f (0) = 1.利用变上限积分的求导公式 ，将上式两端对t求导,得f (t) 一8二 tf (t) =8 二te4t上述方程为关于f (t)的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程通解公式，得2f(t(

30、4：t2 C)et ,其中常数C待定.由f (0) = 1可确定常数C = 1,因此，f=(4二t21)e4".|:<t).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若F(t)f (x)dx (t), ：(t)均一阶可导，则F (t)二“ H'- (t) J- > (t) f I'- (t) 1.2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为y ： p(x)y = q(x),其通解公式为"p(x)dxP(x)dx申=e ( q(x)e dx C),其中C为吊数.九、(本题满分6分)*jj4【解析】由aa=aa=|ae及a=|aa ,有_ E 0_八

31、口1_A口*PQ_-aTA* 人仏丁 b_ "A2+| A0 "Ab+bA 0 A(b-aTA a )(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有APQe°T 1= Ab Ja-1。A (b -a Aa )又因A是非奇异矩阵,所以A式0,故Q =|A（b_aTAa ）.由此可知Q可逆的充要条件是 Q式0,即b "学去式0，亦即a TAJa b.【相关知识点】1.A两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则评注：本题考查分块矩阵的运算，要看清是1阶矩阵,是一个数.2.行列式乘积公式：设代B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于 A和B的

32、行列式的乘十、（本题满分10分）【解析】（1）设A的属于 =3的特征向量为- lx1，x2，x3T，因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故TI 二1 - 3 二 _Xi - X2X3 二 0,T用2、S 二 Xi - 2 X2 x 0.解上述方程组，设方程组的系数矩阵为B = 一1"1 "，对B进行初等行变换:1-2 -1，我们得到基础解系的个系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系数为1,解得1,0,1T,即A的对应于 =3的特征向量为：'二ki,0,1T，其中k为非零常（2）方法1：令P =妬,a2严3】=-11 1 '10

33、 01-20,则有PAP =0 2 0=A,-1 1 _L0 0 3 一即A = PtP，其中P，计算如下:-1 1仁1 0 0加-1 1 仁 10 0-120 ：0 1 04T0-3 -1 -1 101 -110 0 1i0 0 2 0 1-p E丄-11001； 2'11001121P方法化）,-12:因A是对称矩阵使 QAQ =QTAQ-2-1°匸一23 _3-2-1,不同特征值对应的特征向量互相正交二上,A 二 Q-'；QT ,其中 Q 二1316 一551-210,故存在正交阵2 .13Q（对P单位-111 1-111 1拓爲"1 00一正1212

34、1罷4600 20需111.0 03110I' :：326a g gT方法46厉"V3 7312024-2証11133.3屁0瓦1 T111A的特征值是1,2,3,3：由于矩阵特征向量依次为115131-21013g «23,利用分块矩阵有1厂2,A（1,2, >3）=（：j22,33）.因为二Si，爲2，二3是不同特征值的特征向量-1'J23-2-4 01-2 331f01,它们线性无关,于是矩阵（1,2,3）可逆.故A =（： 1,2： 2,3： 3）（： 1, ： 2,： 3）'_123-11-10-1 -2-1-2 3亠1-1-2213

35、-251-2-1 =丄-21026035213【评注】本题有两个难点，一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息，通过正交性求出:-3, 另一个难点就是反求矩阵 A.十一、（本题满分7分）【分析】求分布函数 F （x）二P X岂x实质上是求X乞x的概率【解析】由X的绝对值不大于1,可得当 x ： -1 时,F（x）二 pfx 乞 x .；=0；当 x _1 时,F（x）二 PX 乞 xl =1 ；11又 PX=-1, PX =1,则84115 P -1 x ： 1 = 1 - PX _ -1 - P X =1 =18 48由题意X在（-1,1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，

36、那么当X的值属于（-1,1）的条件下，事件-1 ：X乞xl的条件概率为：P 一1 :： X _ XI 1 ： X ： 1 .； = k x _（ T）=（其中 k 为比例正常数）,1-（-1）2又pl1 ：X ：1| -1 ： X : 1 =1,r、1 +1而P 丫一1 ： X ：1| 一1 ： X ：1=k k,2所以 k =1,故 P1 ： X Ex| -1 ： X : 1 =；2当-1 x : 1 时，一1 ： X 乞 xl -1 ： X Zx：n一1 ： X < 1,所以 P一1 X 空 x ；=P一1 X x,1 X 1.由条件概率公式，有P一1 :： X 乞X： = p1 ： X 乞 x, 1 ： X :：: 1 ?二 Pl1 :： X Ex| 1 :： X ：1?P1 :： X :：: 1x 15 5x 5=X =2 8 16 'F(x)二PX ex； = PX 乞一仁 PC 1 ： X Ex,而11plx 乞-V=.PX = -V PX ： -10