必修四第一章三角函数(知识点与题型整理)

1、三角函数模块专题复习任意角的三角函数及诱导公式第1页共9页要点精讲1任意角的概念旋转开始时的射线 OA叫做角的始边，0B叫终边，射线的端点 0叫做叫：的顶点。规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射 线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。2. 终边相同的角、区间角与象限角3. 弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作irad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分角G的弧度数的绝对值是：G =-，其中，|是圆心r角所对的弧长，r是半径。角度制与弧度制的换算主要抓住180=：蔥rad。弧度

2、与角度互换公式：1rad = 180 °1°= 7： (rad)。n180弧长公式：丨| r (:是圆心角的弧度数)，112扇形面积公式：S =丨r = | -： | r 。224. 三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设:-是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1) y叫做的正弦，记做sin ：,即sin= y ；(2) X叫做的余弦，记做COS，即COS二x ；(3) y叫做：的正切，记做tan，即tan=。XX5. 三角函数线6. 同角三角函数关系式(1) 平方关系：sin 二 1 cos : =1,1 tan : = sec = ,1 c

3、ot : = esc :(2) 倒数关系：sin 二 esed =1,cos二 secx =1,tan 二 cotx =1,sin ：, cos:(3) 商数关系：tan，cot -cos。si n几个常用关系式： sin a +COSa , sin a -cosa , Sina cosa ；(三式之间可以互相表示 ) i殳血a+找泄=贬“広72,两边平方，得2t3 -1l + 2sinCi * cosCl =t => and cos CL =,又 l*2sin<l * cosCL = 2 -t1 sinCL -cos = ±72 - ta.7 诱导公式可用十个字概括为“

4、奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：si n（：£ 亠 2k 二）=si n： , cos（：亠 2 k二）=cos：,其中 k ：= Z诱导公式二：sin（180 亠：）-sin ： ； co s（1 8 0：=）_cos诱导公式三：sin（ t.）二-sin ： ；cos（t. ）二cos：诱导公式四：si n（180'-=si n： ； cos（180：）二-cos：诱导公式五：sin(360 - ： ) - -sin： ； cos(360 - ： ) = cos：aji -aji +a2n -a2k兀 +a(k Z )ji a2sinsinasinasinasina

5、sinaco®coscoscosacosacostcos«sin®（1）要化的角的形式为 k180l> （ k为常整数）；(2) 记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；(3) sin(kn + a )=( 1)ksina ； cos(kn + a )=( 1)kcosa (k Z)；(ji、l&、if 2i( nsin . x 十一= cos. X= cos. X-；cos. x + =sin . xI 4丿U 丿I 4丿I 4丿U 丿三.思维总结1 .几种终边在特殊位置时对应角的集合为:角的终边所在位置角的集合X轴正半轴a|a=Z360： kzY轴

6、正半轴b=宀360"90： M ZX轴负半轴b=360° + 180： M ZY轴负半轴a =1360270：ZX轴(a=k"80：k 乏 ZY轴(a =k>d80* + 90：Z坐标轴G =kx90： M Z2.Of一、2 a之间的关系。2终边在第象限则终边在第-2或第三象限；2a终边在第或第二象限或y轴正半轴。终边在第二象限则终边在第-2或第三象限；2 a终边在第三或第四象限或y轴负半轴。终边在第三象限则终边在第2二或第四象限；2 a终边在第或第二象限或y轴正半轴。终边在第四象限则'终边在第二二或第四象限；2 a终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

7、2学习本节内容时要注意如下几点： 解有关问题时要注意有关范围的限制； 进行有效的变形，其解题一般思维模式为:3.(1 )熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求 (2 )要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标 发现差异，寻找联系，合理转化。三角函数的值与点 P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么 sin :-='COS“x2=y2三角函数的图象与性质要点精讲1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=s inx-5兀_卫_ J0 二23 二 4X/ 一、一、2 匸-4 冗 _7 花-2 兀 _3 兀-TT -1y=cosxy=ta nx1/J

8、 fy1fiyl y=cotx1i11-2/1/r lo J2:/F宴/ 2'x - j-2 *o J! . J2、牛2?111.x2三角函数的单调区间：y - sin x的递增区间是2k,k 亠（k Z）,L22递减区间是25+ 2,25+竺l（kEZ）；L22y二cosx的递增区间是 2k -肌,k二】（k Z）,递减区间是 2k二,k二二l（k Z）,y =tan x的递增区间是k二k（k Z）,2 23函数 y 二 Asin（，x J B （其中 A 0, ， 0）最大值是 A B，最小值是B - A，周期是t =，频率是f，相位是. x :，初相是W2兀；其图象的对称轴是直线

9、a二k丄（k三Z），凡是该图象与直线 y = B的交点都是该图象的2对称中心。4. 由y= sinx的图象变换出y= sin（3 x+）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩， 但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y= sinx的图象向左（ >0）或向右（ v 0=平移丨丨个单位，再将图象上各点的横坐标1变为原来的 倍（3>0），便得y= sin（3 x+）的图象。CD途径：先周期

10、变换（伸缩变换）再平移变换。1先将y= sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（3 >0），再沿x轴向左（/ > 0）或向右（cov 0=平移1一1个单位，便得 y= sin（3 x+）的图象。o第6页共9页5.由y= Asin（3 x +）的图象求其函数式：cp给出图象确定解析式y=Asin （3x+）的题型，有时从寻找"五点”中的第一零点（一 ,0）作 co为突破口，要从图象的升降情况找准.第一个零点的位置。6 .对称轴与对称中心：y =si nx的对称轴为x = k，亠2，对称中心为（k二,0）Z ；y二cosx的对称轴为x =k：.，对称中心为（k二2，

11、6;）;对于y =Asin（，x J和y = Acos（，x '）来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7 .求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A> .的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数，并且在同一单调区间；8. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ y =Asin（x J、y = Acos（，x '） ”的形式，在利用周期公式，另 外还有图像法和定义法。9. 五点法作 y=Asin （3 x+ ）的简图：五点取法是设x=3 x+ :，由x取0、n、n、3n > 2 n来求相应的x值及对应的y值，

12、再描点作图。2 2三.思维总结1. 数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多 函数的性质都是通过观察图象而得到的。2. 作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。3. 对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周 期性作出整个函数的图象。4. 求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。5. 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为 1的形式，否则很容易出现错误。6. 函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一 般先将它们化

13、归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。7. 判断y= Asin （ 3 x+ ,：）（3> 0）的单调区间，只需求 y=Asin （ 3 x+ J的相反区间即可， 一般常用数形结合 而求y=Asin （ 3 x+ ;:） （ 3 < 0=单调区间时，则需要先将 x的系数变为正 的，再设法求之。三角恒等变形及应用 二.要点精讲1. 两角和与差的三角函数sin（：； '） = sin ： cos 卜-cos sin -；第5页共9页cos（ 二 I ） = cos 二 cos I 一 sin _：isin ：；Rtan a±ta nB曲邛）PtaWE

14、2. 二倍角公式sin 2： = 2sin ： cos ：；2 2 2 2cos2：二 cos ：sin2cos ：1 = 12sin :;tan 2：=2ta n :1 - tan2 :-第9页共9页3. 三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 角公式的逆用等。（2 ）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽 量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。21 cos2：cos :2（1）降幕公式1 C - 21 cos2。sin ： cos sin 2 ； sin ：2 -（2）辅助角公式（万能公式）a si

15、n x bcosx = . a2 b2 sin x :，其中sin =_b_. a2 b2，cos ；：Ja2 +b24三角函数的求值类型有三类（1）给角求值:一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在 于“变角”，如二=（二-'）-二2二（I）等，把所求角用含已知角的式子表示, 求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范 围及函数的单调性求得角。5. 三角等式的证

16、明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、 消参法或分析法进行证明。三.思维总结1两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如2:- :- - - ,2 _ _等；（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如cosy 亠；jcos ： sin：£ 亠.sin ： =cos：，tan 蛙亠卩门

17、-tan ： tan - tan 工"tan :,tan很亠.jtantan ： = tan很亠；j tan - -tan :,tan 雳" tan ： tan二亠 F； tan： tan ： = tan*:。（4）注意倍角的相对性（5）要时时注意角的范围（6）化简要求熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。2证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，禾U用函数的单调性，利用 正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。第三讲

18、：三角函数单元部分易错题解析（1）终边与二终边共线（：的终边在二终边所在直线上）U 二二 k二（kZ）.（2）终边与二终边关于x轴对称2k二（k Z）.（3）终边与二终边关于y轴对称2k二（kZ）.（4）终边与二终边关于原点对称 孑：-二 j 2： （ Z）.（5）：终边在x轴上的角可表示为:=k二，kZ ；:-终边在 y轴上的角可表示为:nknJi:=k ,k Z ；终边在坐标轴上的角可表示为：，k，Z .如的终边与的终边226关于直线y = x对称，则：-=2k： ，k Z31.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180

19、6;270°15°75°sin a12rv'32010-17-7244cosa逅2110-10苗+血亦血2244tan a亘31v30/0/2*32+ V3cot a1旦3/0/02+P32芯2.同角三角函数的基本关系式:(1) 平方关系：sin2口 +cos2口 =1,1 +tan2口 =sec。,1 +cot2。= esc?口(2) 倒数关系: sin t esen =1,cos二 sect =1,tan 二 cott =1,sin ： 丄cos:(3) 商数关系：tan,cot :cos。si na3、正切函数y = tanx的图象和性质：n(1)

20、定义域：x|x 'k k Z。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义2域了吗？(2) 值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；(3) 周期性：是周期函数且周期是二，它与直线y = a的两个相邻交点之间的距离是一个周期二。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，cn其它不定。 如y =sin x, y = sin x的周期都是兀,但y = sin x +|cosx的周期为一，而兀1兀y T 2sin(3x -&)I，y 日 2sin(3-) 2|

21、, y =| tanx | 的周期不变；(4) 奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是.色£,o(k运Z )，特另催醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。(5) 单调性：正切函数在开区间+kn兀+k兀)内都是增函数。但 要注意在整个4.定义域上不具有单调性。如下图:和点函数图象几何性质y三角函数图象几何性质y=Atan（m（x+x4）：）-。_X=Xix=X2邻渐近线|X1-X2| = T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交，且相邻两 交点的距离为一个周期！X=X2邻中心轴相距X=TX* ., bv4邻中心 |x3-X4|=T/2 心邻轴 |Xi-X2|=T/2无穷对称