悬臂梁固有频率的计算

1、悬臂梁固有频率的计算试求在X = 0处固定、X =1处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）解：法一：欧拉-伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：EI 叫刀+ Jwt）二o&a悬臂梁的边界条件为:dwcww(x=0)=0(1),£(x=0)=0(2)，x2w= 0(3), (El2- X ±:X:' X该偏微分方程的自由振动解为w（x, t）二W（x）T（t），将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到W(x)二 G cos : x C2sin : x C3cosh : x C4 sinh : x，T(t)二 Acos wt Bsin wt ；其中：4:：A

2、 2EI将边界条件（1）、（ 2）带入上式可得 C1+C3=0，C2 + C4=0 ；进一步整理可得W（x） =G （cos Pxcosh 卩 x）+C2（s in Pxsi nh ®x）；再将边界条件（3 ）、（ 4）带入可得-C1 （cos : l cosh ：丨）- C2（sin :丨 sinh ：丨）=0 ； -Cd - sin 11 sinh ：丨）- C2（cos : l cosh ：丨）=0 要求Ci和 C2有非零解，贝尼们的系数行列式必为零，即-(cosBl+coshBl)-(sin Bl+sinhBl)-(-sin Pl+sinhPl)-(cosPl+coshPl)

3、所以得到频率方程为.COS(:nl)COSh(:nl) =-1 .该方程的根nl表示振动系统的固有频率:Wn =( :nl)2(-TA7)2,n=12满足上式中的各'nl（n二1,2,）的值在书P443表8.4中给出,2#现罗列如下：1丨=1.875104,讨=4.694091,'丨=7.854757, 4 10.995541，冷丨=14.1372 ；若相对于哨C2值表示为C2n，根据式中的C1"，C2可以表示为C2" = 6（册刖）；因此 Wi(x) =C1n |(cosBn xcoshBn x) -(sin Bn x-sinh Bn x) n = 1,2

4、,.由此可得sin Enl+sinhE到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：1 1 12 EI 22 El 专2 El 专“ =1.875104 (4)2,2=4.694091 (4 )2,3 =7.854757 (4 )2，WW，AlZ。9955412(号)2，“14.13722(冷尸；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程:-4.x-t2EI迤人叙翌I (1cwp2 I cw一：x2；t2kGjt4 =03#设方程的通解为：n兀xw(x,t)=Csincoswnt ；易知边界条件(1)满足此通解，将通解带入上面的微分方程可边界条件:w(x =0) =

5、(x =0) =0( 1)雲卫Cxx 土ex x1=0(2)；otn2兀2/IT n2二 2§ n=1,2,3,4,5时可分别wn _ l2 -：A l2 ；当求得固有频率为：得到频率方程为：4 “42n2二2r2 n2二2r2 E: 2n4二42 I2 EIwn(kGwn(1l2l2kQl4=0 ；其中，'；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为#多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为1.邓克莱法5个相等的集中质量rni = m2#邓克莱公式为:#.3333. 31»亠l8191641l2 ft aiim*a22I | *比5 呛

6、 ，其中 aii =, a22=, a33=, a44=, 855=,1375EI375EI125EI375EI3EImei 1m =m2 =m3 = m4 = m5 = m ；将其代入上式可求得系统的基频为：w. L 2.887( )25"I ，此基频比用伯努2 EI ；d =1.875104 ()2利-欧拉梁求得的一阶固有频率?AI偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。2瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为-13l 34l311 l37l 3375EI150 EI375 EI750 EI375 EIl38l 314 l 34l326 l3150EI375

7、EI375 EI75 EI375 EI4314 l39l327 l318 l3K =丄375EI375 EI125 EI250 EI125 EI11l34l 327 l 364 l388 l3750EI75 EI250 EI375 EI375 EI7326 l318 l 388 l3l3-375EI375 EI125 EI375 EI3EI-51779_8627932221_270004500225854181181_86279111721丄2447194500-J5750586193181181EI32221丄2447156221_2616314221产5493322244270009450

8、02616338279-8250018118122311814500-J575014221-825006029-1811814418 130取静变形曲线为假设阵型，设A =(40141279 436600)T 有A MA=649418mAT KA-1122000EIaTm 饷Al328401503m275EI所以R(A)ATKA = 8.64EI at MA =汀4,R (A)二atmaatm ma8.57EIA，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频0001000m000m000m 4#2H =1.875104 (偏大，误差为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。率3里茨法系统的质量矩阵和

9、刚度矩阵由上面给岀，设阵型为=(1 2 3 4 5)T，匸2=(13 5 7 9)T ；#则可求岀M*,K*分别为* T55m95mM =屮丁"1 屮=|95m 165m78375EIK tK 二181I357375EI57375EI181l378375EIL 181l3181I3*2将M , K代入(K w M2 .-w M=0 ；可以求得:=59.08m：3，以及A；3.53*（i）-0.578,A*(2)所以系统前两阶主阵型的近似为一 1.00001.00000.63031.59150.2607,A二屮 A*=0.712.1831-0.10902.7746-0.4787 _i；

10、3.3662一A(1)“ A*=0.422-0.294雅克比法-l3ml3m-.34l m11l3m7l3mT375EI150EI375EI750EI375EIl3m8l3m14l3m4l3m26l3mI50EI375EI375EI75EI375EIn 4l3m14l3m9l3m27l3m18l3m375EI375EI125EI250EI125EI11l3m4l3m27l3m64l3m88l3m750EI75EI250EI375EI375EI7l3m26l3m18l3m88l3ml3m375EI375EI125EI375EI3EI一动力矩阵为由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率-000 1018.700）启0052.70讣二0阵型为Ym3001000000 一158.112.930I0I0I0-0