高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时课件新人教A版必修

1、 2.4 等等 比比 数数 列列 （第（第2课时）课时） 定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第2 2项起，项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数等比数列的公比，列的公比，公比通常用字母公比通常用字母q q表示表示(q0).(q0).n 1naq(qn,q0a是与 无关的数或式子 且）如果一个数列如果一个数列是等比数列，它的公比是是等比数列，它的公比是q q，那么，那么,1a,2a,3a,na，21aa q由此可知，等比数列由此可知，等比数列 的通项公

2、式为的通项公式为 na2321aaqa q3431aa qa q4541aaqa qn 1n11aa qa ,q0（）(1) 1，2，4，8，16，观察数列观察数列1 1 1(2) 8,4,2,1,2 4 8(3) 4，4，4，4，4，4，4，(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，公比公比 q=2公比公比 q=12公比公比 q=1公比公比 q=-1探究点探究点1 1：等比数列的图象等比数列的图象等比数列的图象1数列：数列：1，2，4，8，16，123456789102468101214161820o递增数列递增数列通过图象观察性质通过图象观察性质等比数列的图象212345678910o数列

3、：数列：,81,41,21, 1 , 2, 4, 812345678910递减数列递减数列等比数列的图象3123456789102468101214161820o数列：数列：4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4， 常数列常数列等比数列的图象412345678910o12345678910数列：数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，摆动数列摆动数列- -1 类比等差数列的性质，类比等差数列的性质， 等比数列有哪些性质呢？等比数列有哪些性质呢？探究点探究点2 2：等差、等比数列的性质比较等差、等比数列的性质比较an-an-1=d （n2） 等差数列等差数列等比数列等比数列 常数

4、常数减减除除加加乘乘dnaan) 1(1) 0(111qaqaann加加- -乘乘乘乘乘方乘方 迭加法迭加法迭乘法迭乘法等比数列用等比数列用“比比”代替了等差数列中的代替了等差数列中的“差差”定义定义数学表数学表达式达式通项公通项公式证明式证明通项通项 公式公式1(0n2)nnaq qa，,由等差数列的性质，猜想等比数列的性质aan n 是公差为是公差为d d的等差数列的等差数列bbn n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列性质性质1 1： a an n=a=am m+(n-m)d+(n-m)d性质性质2 2：若：若a an-kn-k,a,an n,a,an+kn+k是是aan n 中

5、的三项中的三项 ， 则则2a2an n= =a an+kn+k+ a+ an-kn-k 猜想猜想2 2：性质性质3 3： 若若n+mn+m= =p+qp+q, ,则则a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q猜想猜想1 1：n mnmb b q 若若b bn-kn-k,b,bn n,b,bn+kn+k 是是 b bn n 中的三项中的三项, ,则则若若n+mn+m= =p+qp+q，则，则b bn nbbm m= =b bp pbbq q2nn kn kbbb猜想猜想3 3：性质性质4 4：从原数列中取出：从原数列中取出偶数项组成的新数列公偶数项组成的新数列公差为差为2d.2d

6、.( (可推广可推广) )性质性质5: 5: 若若ccn n 是公差为是公差为dd的等差数列，则数列的等差数列，则数列 a an n+c+cn n 是公差为是公差为d+dd+d的的等差数列等差数列. . 若若 d dn n 是公比为是公比为qq的等比数列的等比数列, ,则数列则数列 b bn nddn n 是公比为是公比为qqqq的等比数列的等比数列. .猜想猜想4 4：从原数列中取：从原数列中取出偶数项，组成的新出偶数项，组成的新数列公比为数列公比为 ( (可推可推广广) ) 2q猜想猜想5 5：若数列an是公比为q的等比数列,则(1)当q1,a10或0q1,a11, a10或0q0时, a

7、n是递减数列; 当q=1时, an是常数列; 当q0.(3)an=amqn-m(n,mn*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,qn*)时,有anam=apaq.(5)当an是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.【知识提升知识提升】(7)若bn是公比为q的等比数列,则数列an bn 是公比为qq的等比数列.(6)数列an(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.(9)在an中,每隔k(kn*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(10)当m，n，p(m，n，pn*)成等差数列时，am , an , ap 成等比数列.(8)数

8、列是公比为 的等比数列.q1na1例1、等比数列 an 中， a 4 a 7 = 512，a 3 + a 8 = 124, 公比q为整数，求a10法一：直接列方程组求：直接列方程组求 a 1、q法二：由：由 a 4 a 7 = a 3 a 8 = 5120512124323 aa412833 aa或或 128441288383aaaa或或 公比公比 q 为整数为整数 128483aa3241285 q2 q a 10 = a 3q 10 3= 4(-2) 7= 512例例2.已知已知an、bn是项数相同的等比数是项数相同的等比数列，求证列，求证an bn是等比数列是等比数列. 当当数数项项数数

9、两两个个数数时时数数数数数数吗吗为为类类证证nnnnnnnn1212列列 a、a、b是b是相相同同的的等等差差列列，列列 pa +qb其pa +qb其中中p,q是p,q是常常也也是是等等差差列列？是是的的，公公差差pd +qd .可pd +qd .可分分以以：比比析析明明. .证明：设数列an的首项是a1，公比为q1; bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为：n 1n 1nn11121112aqbqaqbq,与n-1nn-1n1112111211121112即即a b(q q ) 与a b(q q ) 与a b(q q ) .a b(q q ) .为为n nn

10、+1n+11112n+1n+111121212n-1n-1nn1112nn1112aba b(q q )aba b(q q )因因= q q .= q q .aba b(q q )aba b(q q )它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以无关的常数，所以 a an n b bn n 是一个是一个以以q q1 1q q2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. .思考思考:1. an是等比数列，是等比数列，c是不为是不为0的常数，的常数，数列数列can是等比数列吗？是等比数列吗？2. 已知已知an，bn是项数相同的等比数列是项数相同的等比数列， 是等比数列吗？是等比数列吗？ nnbaa7 b

11、.5 c-5 d-7na472aa568a a 110aa472aa56474784,2a aa aaa 1.已知为等比数列，解析:选d. ，4747110110471011102,4,4,28,17,2,48,17. 或或aaaaaaaaaaaaaad d（ ）则2. 在等差数列an中，a3a118，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8的值为 ()a2 b4 c8 d16d d解析：解析：选选d.d.因为因为 a an n 为等差数列，所以为等差数列，所以 4 4b b7 7. .又又 b bn n 为等比数列，所为等比数列，所以以b b6 6b b8 8 16.16.3117=2 a

12、aa27b3.3.（真题（真题福建高考）已知等比数列福建高考）已知等比数列 的公比为的公比为q q，记记 ，cn= am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m ，则以下结则以下结论一定正确的是（）论一定正确的是（）a. a. 数列数列 为等差数列，公差为为等差数列，公差为 b. b. 数列数列 为等比数列，公比为为等比数列，公比为q q2m2m c. c. 数列数列 为等比数列，公比为为等比数列，公比为 d. d. 数列数列 为等比数列，公比为为等比数列，公比为 namnmnmnmnaaab )1(2)1(1)1(*,nnm nbmq2mqmmq nb nc ncc c【解题指南】

13、如何判定一个数列是等差或等比数列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常数.(1) 1(1) 2(1)nm nm nm nmcaaa112nmnmnmn mcaaa2112(1) 1(1) 2(1)()mmmm mmnmnmnmn mnm nm nm nmcaaaq qqqqcaaa 解析解析: :选选c.c.显然，显然， 不可能是等比数列；不可能是等比数列； 是等比数是等比数列；证明如下：列；证明如下： nb nc4.4.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a an n0 0，a a2 2 a a4 4+2a+2a3 3a a5 5+a+a4 4a a6 6=36,=36,那么那么a a3

14、 3+a+a5 5= _= _ . .5.5.在等比数列在等比数列aan n 中，中， a a1515 =10, a=10, a4545=90,=90,则则 a a3030 =_. =_. 6.6.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a1 1+a+a2 2 =30=30, , a a3 3+a+a4 4 =120, =120, 则则a a5 5+a+a6 6=_.=_.6 63030480480或或-30-307 7.32323232与的等比中项是的等比中项是_.8 8.已知正数等比数列已知正数等比数列na 中，中，12nnnaaana9 9.设数列设数列是等比数列，且是等比数列，且5681,aa则则3132310loglog+log_.aaa1对所有的自然数对所有的自然数 n 都成立，则公比都成立，则公比 q =_.5 1220课堂小结课堂小结1. 等比中项的定义；等比中项的定义；2. 等比数列的性质；等比数列的性质；3. 判断数列是否为等比数列的方法判断数列是否为等比数列的方法数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列关关 系系 式式性性 质质中中 项项 构造三数