积分上限函数求导法则三

1、一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数二、积分上限函数求导法则二、积分上限函数求导法则三、微积分基本公式三、微积分基本公式第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理1.1.积分上限函数积分上限函数 设设 在区间在区间 上连续，上连续，且且 ，则，则 存在，如积分上限存在，如积分上限 在在 上任意变动，那么对于每一取定的上任意变动，那么对于每一取定的 值，值，均有唯一的数均有唯一的数 与之对应，所以与之对应，所以 是一个定义在是一个定义在 上的关于上的关于 的函数，记为的函数，记为 tf ba, bax, dttfxa xx dttfxa dttfxa ba, dttfxxa bxa

2、ba,x一、积分上限函数及其导数称称 为积分上限函数为积分上限函数. . x x65图2.2.积分上限函数的几何意义积分上限函数的几何意义 积分上限函数积分上限函数 在几何上表示为右端线可以变动的曲边在几何上表示为右端线可以变动的曲边梯形的面积梯形的面积 . . abxyoxx )( x x3.3.性质性质 证证 dttfxxxxa xxx65图 dttfdttfxaxxa xf ba, dttfxxa ba, xfx bxa (1)(1)定理定理1 1 若若 在在 上连续，则积分上连续，则积分上限函数上限函数 在在 上具有导上具有导数，且它的导数数，且它的导数 . . fxxx00limli

3、m fxlim xf即：即： xfxdxxd xaxxxxadttfdttfdttf xfdttfxxxxxx,另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分从而可能用原函数来计算定积分.此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，(2)(2)定理定理2 2 若函数若函数 在在 上连续，则积上连续，则积分上限函数分上限函数 是是 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数. . dttfxxa ba, xf xf ba, xfdttfdxdxx 0 xfdttfdxdxx 01.1.法则法

4、则1 1 若若 在在 上连续，上连续， 是是 上的某一定点，则上的某一定点，则 ，有，有 xf0 x ba, bax, ba,二、积分上限函数求导法则 x bax, xxfdttfdxdxx 02.2.法则法则2 2 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续， 是是 上的某一定点，函数上的某一定点，函数 可微，可微，且且 ，则有，则有 xf ba, ba,0 x证证 令 ， ， dttfuux0 xu dttfdxddttfdxduxxx00 uufdtdudttfdudux0 xxf3.3.法则法则3 3 若函数若函数 在区间在区间 上连续，上连续， ， ，且，且 与与都可微，则有都可

5、微，则有 xf ba, bax, bax, x x xxfxxfdttfdxdxx 证证 bax,0 dttfdttfdttfxxxxxx00 dttfdttfxxxx00 dttfdxddttfdxddttfdxdxxxxxx00 xxfxxf例例1 1 求求dtttdxdx1cossin解解 由法则由法则1 1得得xxdtttdxdxcossincossin14.4.例题例题例例2 2 求求dttdxdx20tan解解 由法则由法则2 2得得 2220tan2tantan2xxxxdttdxdx解解 由法则由法则3 3得得例例3 3 求求dttxx32411 242343411111132

6、xxxxdttdxdxx81221213xxxx例例4 4 求求21cos02limxdtextx解解 这是一个这是一个 型未定式，可利用洛必达法型未定式，可利用洛必达法则计算，分子为则计算，分子为”“00dtedtextxtcos11cos22由法则由法则2得得 xexedtedxdxxxtsincos222coscoscos1因此因此 exxexdtexxxtx212sinlimlim22cos021cos0 dttfxxa证证 bxa1.1.定理定理3 3 若函数若函数 是连续函数是连续函数 在区在区间间 上的一个原函数，则上的一个原函数，则 xF xf该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿莱

7、布该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿莱布尼茨公式尼茨公式. . ba, aFbFdxxfba 三、微积分基本公式 CxFx ( 为常数). c令 ， 0,dttfaaxaa CaFa aFC aFbFdxxfba令 ， dxxfdttfbbxbaba , CbFb则 . 2.2.说明说明 dxxfbaba, dttfxabx (2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之间的关系， 是它的任一原函数在 上的增量，也是函数 在 处的函数值. xfba,(1)(1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数微积分基本公式使用的条件是，被积函数 在积分区间在积分区间 上必须连续，若不满足上必须连续，若不满足条件

8、，不能使用公式条件，不能使用公式. .(3)(3)为方便起见，记为方便起见，记 ， baxFaFbF aFbFxFdxxfbaba例例6 6 求求 dxx121解解 2ln2ln1lnln11212xdxx3.3.例题例题 例例5 5 求求 dxx1021解解 340131311103102xxdxx例例7 7 设设 ，求 1,211, 12xxxxxf dxxf2011/212xyodxxdxx21210211213102312121xxx38313821121 dxxfdxxfdxxf102120解解 解解 当 时， 10 x dttdttfxxx0203033131xtx dttfxx0求求 ，在，在 上的表达式上的表达式. 2 , 0例例8 8 设设 ， 21 ,10 ,2xxxxxfdttdttx110261212131212103xttx 当当 时，时， 21 x dttfxx0 dttfdttfx110所以所以， 21 ,6121, 10 ,3123xxxxx例例9 9 求求 dxx202sin1dxxxdxxx2440cossinsincos解解 dxxxdxx20220cossin2sin1dxxx20cossin2440sincoscossinxxxx122由例由例7，例，例8，例，例9可见，若被积函数在积分区可见，若被积函数在积分区间上存在有限个第一类