第三节年金MicrosoftPowerPoint演示ppt课件

1、第三节年金主要内容v年金的定义v年金的类型v年金的现值与终值一、年金的定义v年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。二、年金的类型v确定性分类：确定型年金、不确定型年金。v每次的支付额分类：等额年金、变额年金。v支付时点分类：期初付年金、期末付年金。v支付期限分类：定期年金、永续年金。v连续性年金：离散型年金、连续型年金。三、年金的现值与终值v1、n年定期年金v1期末付年金v现值0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn。nnvvva2ivn1vvvn1)1(年金。元的，则每年末可得到年初存入1na上式可写成：nnvia1期初投资期初投资1元，每年末可获得利息元，每年末可获得利息i，且第

2、且第n年末可获得本金年末可获得本金1元。元。年金终值v.0 1 n-1 n-2 n1 1 1 11+i(1+i2(1+i)n-1。12)1 ()1 ()1 (1nniiisnsiin1)1 (每年末存入1元，第n年末可得)1 (1)1 (1iin的关系与nnsannnias)1 ( 证明：iiiisnn1)1 (1证：isann11nnnnaviiii111)1 ()1 (2期初付年金v现值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1。121nnvvva vvn11dvn1nnvad 1或：终值v。0 1 n-2 n-1 n1 1 1 1 1+i(1+i)2(1+i)n。d

3、iiiisnnn1)1()1()1()1(2 dsaiassannnnnnn 11)1(或：的关系与期初付年金与期末付年金nnaia)1 ( nnsis)1 ( 其他111111nnnnnnssaaaa 例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求：1每年末的还款额；2每年初的还款额。v解:元04.3985200001200001010PivPPa元25.3485200001200001010PdvPaP 2、延期m年的n年期年金v1期末付延期年金v现值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1Vm+1vm+n-1Vm+n。v或：mnmnmaa

4、anmnmmmnmvvvva121nmav)(2nmvvvv终值nnnnmsiiiiis1)1 ()1 ()1 ()1 (112nmnmnmias)1 (或：或：2)期初付延期年金v现值11nmmmnmvvva mnmnmaaa 或：)1 (12nmvvvvnmav 。v终值 nnnnmsdiiiis 1)1 ()1 ()1 ()1 (2nmnmnmias)1( 或：或：例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债额。解：元51.441)08. 01)(3121. 36036. 9()(3000419154PPaaPaP 3、一年支付m次的

5、年金v1期末付v 假设年利率为i，每次末的支付额为1m，每年支付额为1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 现值mmnmmmnvmvmvma11121)()(121mmnmmvvvm1111)1 (1111mnmnmvvmvvvm 1)1(11mnimv)(1mniv终值nmnmnias)1 ()()(解二mii)1 (1000imnimnsa和设每次支付的实际利率为i0每次给付为1的现值和终值为：。的关系与nmnaa)()(1mniiiv)()(1mnmnivanmaii)(nmmnsiis)()(同理：同理：。v2期初付v 假设年利率为i，每

6、次初的支付额为1m，每年支付额为1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 现值mmmnmmmnvmvmvmma121)(1111 )1 (1121mmmnmmvvvmmnmndvmvvm11)1 (1111)1 (1)1 (1 11mndmv)(1mndv终值nmnmnias)1 ()()( 解二mii)1 (1000imnimnsa 和设每次的实际利率为i0每次给付为1的现值和终值为：。的关系与nmnaa )()(1mndddv)()(1mnmndva nmadd )(nmmnsdds )()(同理：同理：例1、张东向银行贷款200，000元，年

7、利率为4%，计划10年还清，求每月末的还款额。v解：设年还款额为)12(P200000)12(10)12(aP20000010)12()12(aiiP元3 .24214200000110896. 803928. 004. 0)12()12(PP元8 .2017121)12(P每月的还款额为：每月的还款额为：例2：如果某投资者希望在今后的5年内每个季度末领取500元等额收入，在年实际利率i=5%的条件下，该投资者在期初存入银行多少钱？v解一：)4(55004aP5)4(5004aii元66.8819329477. 40490889. 005. 05004012522. 0)1 (1040iii元

8、66.8819500020iaP解二：解二：例3、小王每月向银行存入100元，计划存足30年后在当年末一次性取出，如果年实际利率为2%，求小王支取的数额。v解：)12(3010012sP 元48.49207120030)12(sdd 4、标准递增型年金v1期末付v 各年末支付如下：v 1，2，3，-，nv现值：nnnvvvvIa3232)(两边同乘(1+i):12321)(1 (nnnvvvIainnnnvvvvIai)1 ()(12nnnva invaIannn )(两式相减：终值nnnIaiIs)()1 ()(insn .v2期初付v 各年初支付如下：v 1，2，3，-，nv现值：1324

9、321)(nnnvvvvaI 两边同乘V:nnnvvvaIv 22)(nnnnvvvvaIv)1 ()(1 (12 nnnva dnvaaInnn )(两式相减：终值nnnaIis I)()1 ()( dnsn 5、标准递减型年金vn年期年金v1期末付v 各年末支付如下：v n，n-1，n-2，n-3，-，1v现值：nnvvnvnnva32)2() 1()D(两边同乘(1+i):12)2() 1()(1 (nnvvnvnnDai)()(2nnvvvnDainan ianDann)(两式相减：终值nnnDaiDs)()1 ()(isinnn)1 ( 2) 、期初付danaDnn)( nnnaDi

10、sD)()1 ()( dsinnn)1 (终值：终值：现值：现值：例1：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付额比前一年增加200元，若i=5%,求该年金支付10年的现值和终值。v解：1现值为：10)(200 Ia元18.5807200invann 元）（15062.33i15807.18102终值为：终值为：例2、某人希望购买一项年金，该年金在第一年末的付款为1，000元，以后每年增加100元，共付10年，设i=5%，求该年金的现值。v解：该年金的现值为：1010)(100900Iaa元99.1088610100900101010ivaa 6、连续年金v现值11)1()1ln()1()

11、1(1ln1ln0000aiiidtisvvvvvdtvannnttnnnnnttn永续年金终值7、永续年金v1期末付年金现值v2期初付年金现值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投资期初投资 元，那么元，那么每年可获得每年可获得1元元期初投资期初投资 元，元，那么那么每年可获得每年可获得1元元d1i13延期m年的永续年金dvavaivavamnmnnmmnmnnm limlim4)变额年金的永续年金invaIannn lim)(id 1dnvaaInnn lim)(21d期末付期末付期初付期初付例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每年末向

12、银行偿还20，000元，10年后还清，如果企业打算在5年内一次还清，试求一次还清的额度。v解： 元0617.196982747285. 0360087. 720000)1 (20000510PiPa例：李明今年30岁，他计划每年初存300元，共存30年建立个人养老金，这笔存款能使他从60岁退休开始每年末得到固定金额的养老金，共能取20年，假设存款利率在前30年为6%，后20年为12%，求每年得到的养老金额。v解：%1220%630300aPs 元78.3365P例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定的金额建立基金，用于10年末开始每年2，000元的永续奖励支出，i=12%,求每年需存

13、入的金额。%12%12302000asP 元74.949P解：解：例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为5元，中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年金现值和终值的表达式。5159661075aaa 146595)1 (5)1 (710isiss 解：现值解：现值终值终值。v例、某人留下了100万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。解：万元94168.31100%851iaP万元73897.211005%8

14、52viaP万元31935.463P1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10万元的万元的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5年内每年内每月末付款月末付款2，000元即可付清车款，假设每月结转一次元即可付清车款，假设每月结转一次利息的年名义利率为利息的年名义利率为8%，试计算首期付款的金额为，试计算首期付款的金额为多少？多少？v2、某人将在10年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2，000元，如果每月的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金？v3、某人从2000年3月1日起，每月可以领取200元，

15、直到2019年6月1日。如果每月结转一次利息的年名义利率为6%，试计算：1年金的现值；2)年金的终值；3)年金在2019年12月31日的值。4、某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10，000元，从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。1如果限期领取20年，每次可以领取多少？2如果无限期的领下去继承人可以领取每次可领取多少?v5、某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。6、某人将一笔遗产每年可以领取

16、的永续年金捐赠给了A、B、C、D四家慈善机构。在前n年，每次领取的款项由A、B、C三家平均分享，n年后，剩余部分均由D领取。试确定当(1+i)n为多少时，A、B、C、D四家在该遗产中享有的现值相等。v7、假设一笔10，000元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1，000元，直到还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1，000元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。8、如果年利率为i，那么一笔在36年内每年末支付4，000元的年金，与另一笔在18年内每年末支付5，000元的年金将有相等的现值。试计算1，000元的投资在年实际利率为i时，经过多长时间可以翻番。

17、v9、借款人原计划在每月末偿还1，000元，用5年的时间还清贷款。每月结转一次利息的年名义利率为12%。如果他希望一次性支付60，000元还清贷款，应该在何时偿还？v10、投资者每月初向一基金存入一笔款项，5年后可以积存到60，000元。如果前2年每次存入1，000元，后3年每次存入500元，试计算每月结转一次利息的名义利率。11、投资者每年末向一年金存入2，000元。如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算，在后2年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积存多少价值。v12、投资者每年末向一基金存入2，000元。如果基金在前2年收益率为6%，在后2年的年收益率为5%，投资者在第四

18、年可以积存多少价值。四、年金的利率、时间问题求解v1、利率问题v1迭代法一v2Newton-Raphson迭代法1迭代法一v迭代公式)(1ttifi步骤v第一步 ：确定i0，求i1；vA、i0 可由线性插值法确定；vB、泰勒级数前两项确定。)121(1)211 (1122inninnan) 1()(2) 1()(20nAAnnaaninn第二步：由i1求i2，以此类推。 v可得i0、i1、i2-，直到it+1it为止。v确定迭代公式：Aiiann)1 (1Aiin)1(1得：。v得：Aiintt)1 (11缺点：收敛速度慢。即达到精确值得速度慢。2Nenton-Raphson迭代公式2 , 1

19、 , 0A)1(1 )1 (1)1 (11)1(1taniiAiiiintnttnttt其中：) 1()(20nAAni优点：速度快。优点：速度快。如果已知 ，则迭代公式ns1)1(1 )1 (1)1 (111niisiiiitnttnttt其中：其中：) 1()(22 , 1 , 00nsnsitssn例、某人存入银行8，000元，然后每年末从银行支取1，000元，共取10年，求：iv解法一：线性插值法。8100080001010aa8)(10 aif试算得：试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1)04280. 0)()()()(121

20、1210ifififiiii令：令：解法二，N-R迭代法045. 0118)810(2) 1()(20nAAni2 , 1 , 0A)1(1 )1 (1)1 (11) 1(1taniiAiiiintnttnttt其中：042775. 0042775. 0042748. 004545. 0045. 043210iiiii由由N-R公式：公式：得：得：i=0.0427752、时间问题ivann1viannln)1ln( 2小额支付v当n为非整数时，有小额支付问题。0 1 k-1 k s k+1 1 1 1 w n=k+s s1最后一次支付额w1W的计算skknwvaaW的提前支付vW在第k年初的现

21、值。v最后一次取款额为swvP swv1W的延时支付vW在第k年末的终值。siw1)1 (例：投资者将其20，000元存入某基金，希望在每年末领取1，000，i=4.5%，求：v1领取的时间及取款的次数；v2最后一次的取款额；v3最后一次取款在当年的现值和终值。解：v1求n20200001000nnaa3114.52)1ln()201ln(iin取款次数为取款次数为53次次2设小额支付为w元7 .3061000200003114.5252wwva3如果w在53年初支付，则其现值为：元52.3023114.0 wvA元14.316)1 (3114. 01iwB如果w在53年末支付，则其终值为：五

22、、可变利率年金v假设每年的实际利率分别为i1、i2、-in。v1、期末付年金0 i1 1 i2 2 n-2 in-1 n-1 in n 1 1 1 1 1现值11111111211)1()1()1()1()1()1(iiiiiiannn11121vvvvvvnnnttssi111)1 (终值v。 )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1321nnnnniiiiiisnttssni1101)1 (2、期初付年金111211111211)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1iiiiiiannn )1()1()1()1()1()1(211nnnnniiiiiis 现值现值终值终

23、值3、如果支付时，以当年利率为标准。1221)1 ()1 ()1 (1nnnniiisnnniiia)1()1()1(2211nnnniiis)1 ()1 ()1 (121 112211)1 ()1 ()1 (1nnniiia 例：某人每年初存入银行1，000元，前4年的年利率为6%，后6年的年利率为10%，试求该年金的终值和现值。v解：元06.1670217.848789.82141000%)101 (1000%1066%64ss 元77.7467%)61 (%)101 (06.1670246终值：终值：现值：现值：1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为、某人想用分期付款方式购买一辆现价为1

24、0万元的万元的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5年内每年内每月末付款月末付款2，000元即可付清车款，假设每月结转一次元即可付清车款，假设每月结转一次利息的年名义利率为利息的年名义利率为8%，是计算首期付款的金额为，是计算首期付款的金额为多少？多少？v2、某人将在十年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2，000元，如果每月的收益率为6%，是计算他在退休时可以积存多少退休金？v3、某人从2000年3月1日起，每月可以领取200元，直到2019年6月1日。如果每月结转一次利息的年名义利率为6%，是计算：1年金的现值；年金的终值；年仅在2019年12月31日的值。4、某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10，000元，从第30年开