平面向量的坐标表示

1、平面向量的坐标表示一. 明确复习目标1. 理解平面向量的坐标概念；2. 掌握平面向量的坐标运算，掌握共线向量的坐标表示;二. 建构知识网络1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位a可表示成a的坐标，记作向量i,j作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量片4 T 4a = xi y j,由于a与数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量a =（x,y），其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。（1）若 a =xi - yj，则 | a |x2 y2若 A(xi,yi),B(X2,y2)则 AB 工区 -“2 - ),| AB 卜

2、、J（X2 -xi）2 M -yi）表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同(3)向量相等 坐标相同。2. 平面向量的坐标运算fc-Wr*(1)若 a 二 my ,b = X2,y2，则 a 一b 二 一x?,% - y?tr>若 a =(x,y)，则a=( ' x, ' y)*-r4 4 若 a hX1,y1 ,b =：X2,y2，则 a b% x? % y?r3. 设 a =汉1,力，b hX2,y2 贝V向量共线：a / b = x y2 - x2 y 0向量垂直：a _ b，二x1 x2 y1 y2 =0三、双基题目练练手1. (2006 山东)设向量a=

3、(1,-3),b=(-2,4), c= (-1,-2),若表示向量4a、4b-2 c、2(a-c)、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量 d为()A. (2,6)B. (-2,6)C. (2,-6)D. (-2,-6)， 1 -2. 平面上 A (-2 , 1), B (1, 4), D (4, -3 ), C点满足 AC = CB，连 DC并延长至 E,1使I CE|=| ED| ,则点E坐标为:11、(0 , 1 )或(2,)34A、(-8 ,5)B 、( -8, 11 ) C 、(0 , 1) D3333. 已知向量 a、b 满足 |a|=1, |b|=2, |a b|=2，则

4、|a+b|等于A.1C.5剖析：欲求|a+ b| , 一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算T T T4.(2005 全国川)已知向量 OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且 三点共线，则k=5.(2005湖北).已知向量a =(-2,2),b =(5,k)若|a - b|不超过5,则k的取值范围6.设 OA= (3, 1) , OB= (-1 , 2) , OC 丄 OB , BC / OA , O 为坐标原点，则满厂TTTT足OD +OA =OC的OD的坐标是.7.已知向量a = 3,2 , b - -1,1 ,向量m与3a - 2b平行，| m丨=4

5、 . 137则向量 m的坐标是例题答案：1-3.DBD;2 222 222 2 23. V |a+b| +|a b| =2 (|a| +| b| ), - |a+ b| =2 (|a| +|b| ) |a b| =6.法 2:利用 |a| 二 a24.; 5. 6 , 2; 6. (11, 6) . 7. m =144,16 或 m= -44,-163四、经典例题做一做【例1】平面内给定三个向量 a二3,2 ,b h-1,2 ,c h4,1 ,回答下列问题:(1) 求满足= mb nc的实数m,n ；(2) 若 a kc/ 2b -a ,求实数 k；(3) 若 d 满足 d -c / a b

6、,且 |d -冲5 ,求 d解：(1)由题意得 3,2 二 m -1,2 5 4,1所以5+4x3，得2m + n = 25m = 98 n =-9 a kc = 3 4k,2 k ,2b -a 二-5,2.23 4k ；7-5 2 k =0,. k = -1613(3)设 d = (x, y)则 d -c 二 x _4, y _1 ,a b = 2,4由题意得4(x-4)-2(y -1 )=0(x-+(y-if =5x=3x=5得丿 或丿 ,d=(3,1)或(5,3)$ = -1)=3方法提炼：1利用平面向量基本定理，2利用共线向量定理.【例 2】(2006 全国n)已知向量 a = (si

7、n r,1),b = (1,cosr),-'2 2(I)若 a b，求 v(n)求a + b的最大值。解: (I)若a_b,贝Usinv + cos： = 0,得 t an =1所以；v 2 2 f 4(n) 由 a = (sinr,1),b =(1,cosR得| a b | sin2(1 cos)2二.3 2 .2sin('二)当sin(0 +中)=1时,a +b取最大值，即当日=寸时，a +b|max = J2 + 1.解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意 义，要能熟练解答。【例 3】已知 ABC 中，A(2,-1) , B(3,2), C

8、(-3,-1),BC 边上的高为 AD，求 AD。解：设 D(x,y),则 AD =x-2,y 1, BD 二 x - 3, y - 2 , BC F-b,-3 - AD _ BC,BD/BC-6(x-2)-3(y 十1 )= 0得 x=丿得冬-3(x-3)+6(y-2) = 0y =1所以 AD 二-1,2【例4】如图，设抛物线 y2=2px ( p>0)的焦点为F经过点F的直线交抛物线于 A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/ x轴，证明直线AC经过原点O解法一：设 A(xi,y i),B(x 2,y 2),F( P0)，则 C(_P,y2) 2 2则FA任一占)丘1&2

9、 -士 y2)2 2pp FA 与 FB 共线， £ )y2-(X2M =022(x1) (x2 )即= (* )y1y22 2代X1二仏，X2二仏整理得，yi y2=-p22p2pp OA =(为，yJ,OC =( y)2y12p2Py1今 今OA与OC共线，即A、O C三点共线,也就是说直线AC经过原点O 解法二：设 A(x1,y 1) , C(_p,y2) , B(x2,y 2)2 y12p2欲证A、O C共线，只需且仅需 k OA =kOC，即-,又x 1X1_p2只需且仅需yw2=-p2,用韦达定理易证明解题评注：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段(直线)平行，三点共

10、线 (多点共线)问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁冗的运算，降低 计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。核心步骤：【研讨.欣赏】(2005上海)在直角坐标平面中，已知点Pi(1,2),P2(2,22), P3(3,2)Pn(n,2n)，其中n是正整数，对平面上任一点Ao,记Ai为Ao关于点Pi的对称点，A?为A1关于点P2的对称点，An为An-i关于点Pn的对称点。(1) 求向量人A2的坐标；(2) 当点Ao在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以 3为周期的周期函数，且当 x (0,3时，f(x)=lgx。求以

11、曲线C为图象的函数在 1,4 1上的 解析式；(3) 对任意偶数n,用n表示向量A0An的坐标。解.(1)设点Ao(x,y), A o关于点Pi的对称点Ai的坐标为(2-x,4-y),Ai为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), AoA2 =2,4./ AoA2 =2,4, f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.又 x (3k,3k+3)时,x-3k (o,3), f(x)周期是 3,所以 f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k) 设曲线C的函数是y=g(x),则g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, 此时 x+2 (3k,3k+3),即

12、 x 3k-2,3k+i), 是以3为周期的周期函数当 x (i,4时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-i)-4.(3) Ao An=aoA2A2a4An -2 An ,由于 A2k -2 A2k-2P2k 4 P2k，得Ao An =2( pP2 + RF4 +*Pn4Pn)3ni=2(i,2+i,2+i,2 - )=22,2(2?i)=n，234(2n -i)五. 提炼总结以为师1熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算。2、两个向量平行的坐标表示。3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。同步练习【选择题】平面向量的坐标表示B.

13、 (3, 6)D. ( 6, 3)2.正方形PQRS寸角线交点为M坐标原点O不在正方形内部,且 OP= (0, 3), OS =1(2004年天津，理3)若平面向量b与向量a=( 1，- 2)的夹角是180。，且|b|=35 , 则b等于A. ( 3, 6)C. (6, 3)(4, 0),则 rm =、(7,2)2 23. (2004年辽宁,6)已知点 A (- 2, 0),B( 3, 0),动点 P (x,2y)满足 PA PB =x ,则点P的轨迹是A.圆B.椭圆4. (2004 全国 n)已知平面上直线C.双曲线4l的方向向量e=( 一，5()D.抛物线)，点O (0, 0)和 A(1,

14、 2)在I上的射影分别是O和A '，则OA=入e,其中入等于(A.115【填空题】B. 115C.2D. 25. 已知 a =(1,2 )b =(x,1)且 a+2b与 2ab平行，则 x=6. (2005天津)在直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在/AOB的平分线上且| OC |=2,则OC =练习简答：1-4.AADD;4 64.v e是单位向量， OA在e上的投影为入=e OA2,5 55.1； 6.(一氾空)255【解答题】7已知平面上四点 A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形 ABCD为凸四边形且 BD 平分A

15、C时，实数a,b应满足的条件1 11解:设 AC,BD 交于点 E,易得 BE (BA BC) =(, -4)，又 BD 二(a - 5,b-8)11设 BD 二 BE 得(a -5,b -8) =(,-4 ),(入 >1)11a 5 2 一消入得 8a11b+48 = 0且 ab -8 - -4 1,b ： 428已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 A ABR),试问(1)入为何值时，点P在一、三象限角平分线上？(2)入为何值时，点P第三象限？解.设点P的坐标为(x,y),则 AP = (x,y) -(2,3) =(x-2,y-3)AB AC =(5,4) -(2,

16、3)(7,10) -(2,3)-(3 5-,17)，由 AP 二 AB AC 得x =5 5y = 4 7点P坐标为(5+5入，4+7入)9.( 2005 山东)已知向量 估=(cos ：,sin J 和 d=C、2sin'cos),"(二，2二)，且 呻呻 8 J2日兀m+n =，求 cos(+)的值*528解： 因为 盘 ；二(cos ： - sin v、2,cos v sin 巧， 常 + ：| = J(cos 日一sin 日 + 0)2 + (cos° + sin 日)2由已知帯+n =珂2，得cos但+71)54725Er 兀2日兀又 cos( ) = 2

17、cos ()-142 816= *25二5兀0 兀 _二：:：v ： 2 /所以 cos( )=8288285所以cos2 ( 10.已知 A (4, 0), N (1 , 0),若点 P 满足 AN AP=6| PN |.(1)求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线;(2)求|PN |的取值范围;解：(1)设 P(x, y), AP=(x 4, y), PN = (1 x, y), AN = (-3, 0),AN AP =6| PN |, 3 (x 4) =6 (1 _x)2 (- y)2，即 3x2+4y2=12.=1. P点的轨迹是以(2) N (1, 0)为椭圆的右焦点,(1, 0)

18、、( 1 , 0)为焦点，长轴长为 4的椭圆.x=4为右准线，设P (X。，y°) , P到右准线的距离为 d, d=4 x, |PN-|=e=1 , |PN|=-d=-x2. 2< x°w 2,. 1W|PN|W 3. d 222当 |PN|=1 时，P (2,0 )；当 |PN|=3 时,P ( 2, 0)= 2,)1 c o s=422 ( eq si4n 4) c 0 s (【探索题】已知向量 b =(x, y)与7 =(y,2y -x)的对应关系用v = f (u)表示宀， *扌(1) 证明：对于任意向量 a, b及常数m, n恒有f (ma nb)二 mf(0) nf(b)成立；(2) 设 a = (1,1),b =(1,0)，求向量 f(a)及 f(