专题带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏

1、 带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏带电粒子在复合场中的运动是历届高考带电粒子在复合场中的运动是历届高考的压轴题，所以研究带电粒子在复合场的压轴题，所以研究带电粒子在复合场中运动的求解方法，欣赏带电粒子在复中运动的求解方法，欣赏带电粒子在复合场中运动的轨迹，可以激励学生在探合场中运动的轨迹，可以激励学生在探究中学会欣赏，在欣赏中促进提高。使究中学会欣赏，在欣赏中促进提高。使学生在享受快乐和欣赏美丽的过程中实学生在享受快乐和欣赏美丽的过程中实现人生的目标。现人生的目标。1一朵梅花一朵梅花例例1如图所示，两个共轴的圆筒形金属如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接

2、地，其上均匀分布着平行于电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝轴线的四条狭缝a、b、c和和d，外筒的外半径，外筒的外半径为为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。有沿半径向外的电场。一质量为、带电量为一质量为、带电量为q的粒子，从紧的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝靠内筒且正对狭缝a的的S点出发，初速为零。点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好如果该粒子经过一段时间的运

3、动之后恰好又回到出发点又回到出发点S，则两电极之间的电压，则两电极之间的电压U应应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）是多少？（不计重力，整个装置在真空中）审题：带电粒子从审题：带电粒子从S点出发，在两筒之间的点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝点的条件是能沿径向穿过狭缝d只要穿过了只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，重新进

4、入磁场区，然后粒子以同样方式然后粒子以同样方式经过经过Cb，再回到，再回到S点。点。解析：如图所示，设粒子进入磁场区的速度大小为解析：如图所示，设粒子进入磁场区的速度大小为V V，根据动能定理，有，根据动能定理，有设粒子做匀速圆周运动的半径为设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：式和牛顿第二定律，有：由上面分析可知，要回到由上面分析可知，要回到S点，点，粒子从粒子从a到到d必经过必经过4圆周，所以圆周，所以半径半径R必定等于筒的外半径必定等于筒的外半径r，即，即R=r由以上各式解得：由以上各式解得：212qUmv2vB q vmR222B qrUmab

5、cdso该粒子运动的轨迹构成了一朵该粒子运动的轨迹构成了一朵“四只花瓣四只花瓣”的的鲜艳的油菜花鲜艳的油菜花 （图（图3）。）。该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“六六条条 狭缝狭缝”，当电压，当电压时，时， 粒子粒子经过一段运动后也能回到原经过一段运动后也能回到原出发点。出发点。该运动轨迹构成了该运动轨迹构成了 “六六只花只花瓣瓣”的怒放的梅花（图的怒放的梅花（图4）。）。 mrqBU622图图4图图3。粒子的运动轨迹构成了粒子的运动轨迹构成了一朵一朵“n只花只花瓣瓣”盛开的鲜花。盛开的鲜花。若圆筒上只在若圆筒上只在a处有平行于轴线的狭缝，并且处有平行于轴线的狭

6、缝，并且粒子与圆筒外壁发生了粒子与圆筒外壁发生了n次无能量损失和电量损失的碰次无能量损失和电量损失的碰撞后恰能回到原出发点，则加速电压，撞后恰能回到原出发点，则加速电压， 并且并且粒子运动的半径粒子运动的半径该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“n条条狭缝狭缝”，当电压，当电压时时 ,粒子经过一段运动后粒子经过一段运动后也能回到原出发点，并且粒也能回到原出发点，并且粒子做匀速圆周运动的半径子做匀速圆周运动的半径222tan2nmrqBUnrRtan2221tan2nmrqBU1tannrR图图5。该运动轨迹也构成了一朵该运动轨迹也构成了一朵“n只花只花瓣瓣” 盛盛开

7、的鲜花（图开的鲜花（图5为五次碰撞的情形）。为五次碰撞的情形）。2一座一座“拱桥拱桥”例例2 2如图所示，在如图所示，在x x轴上方有垂直于轴上方有垂直于xyxy平面的匀强磁场，磁感应强度为平面的匀强磁场，磁感应强度为B B，在，在x x轴下轴下方有沿方有沿y y轴负方向的匀强电场，场强为轴负方向的匀强电场，场强为E E，一，一质量为质量为m m，电量为，电量为q q的粒子从坐标原点的粒子从坐标原点O O沿沿着着y y轴正方向射出，射出之后，第三次到达轴正方向射出，射出之后，第三次到达x x轴时，它与轴时，它与O O点的距离为点的距离为L L，求此时粒子射出时的速度求此时粒子射出时的速度和运动

8、的总路程（重力不记）和运动的总路程（重力不记）yxo解析：画出粒子运动轨迹如图所示，形成解析：画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥拱桥”图图形。形。由题知粒子轨道半径由题知粒子轨道半径 所以由牛顿定律知粒子运动速率为所以由牛顿定律知粒子运动速率为 对粒子进入电场后沿对粒子进入电场后沿y轴负方向做减速运动的最大路轴负方向做减速运动的最大路程程y由动能定理知：由动能定理知： 得得所以粒子运动的总路程为所以粒子运动的总路程为4LR BqRvm212qEym v232qBLymE221162qB LSLmExyy3、一个电风扇一个电风扇例例3、据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置、据有关资料介绍，受控

9、热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨其束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截域，其截面内半径为面内半径为 ，外半径为，外半径为R2=1.0m，区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知磁感应强度已知磁感应强度B=1.0 T，被束，被束缚粒子的荷质比为缚粒子的荷质比为133Rmqm(1)若中空区域中的带电

10、粒子沿环的半径方向射若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度大速度v0. (2)若中空区域中的带电粒子以（若中空区域中的带电粒子以（1)中的最大速中的最大速度度v0沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间t。解析解析: :设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为r r，则，则轨迹如图，由几何关系得轨迹如图，由几何关系得则则 ， 故带电粒子进入磁场绕圆故带电粒子进入磁场绕

11、圆O 转过转过3600 （1800一一600）=2400又回到中空部分粒子的运动轨迹如图所示，故粒子从又回到中空部分粒子的运动轨迹如图所示，故粒子从P点进点进入磁场到第一次回到入磁场到第一次回到P点时，粒子在磁场中运动时间为点时，粒子在磁场中运动时间为粒子在中空部分运动时间为粒子在中空部分运动时间为 粒子运动的总时间为粒子运动的总时间为0mvrBq222221122,2RRRrRr rR704103qBrmvsm,3arctan30 ,603pop12433mtTBq1206Rtv112064RmtttBqv图图154、一朵葵花、一朵葵花 例例4据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中据有关资料

12、介绍，受控热核聚变反应装置中有级高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的有级高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，由磁场将高温、高密等离受控核聚变的环形容器，由磁场将高温、高密等离子体约束在有限的范围内，现按下面的简化条件来子体约束在有限的范围内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为面内半径为R1=a，外半径为，外半径为R2=(22-1)a,环形区域内有垂环形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁直纸面向外

13、的匀强磁场，磁感应强度为感应强度为B。被磁场围住的中心区域为反应区，反应区内质量被磁场围住的中心区域为反应区，反应区内质量为为m，电量为，电量为q的带电粒子，若带电粒子由反应区的带电粒子，若带电粒子由反应区沿各个不同射入磁场区域，不计带电粒子重力和沿各个不同射入磁场区域，不计带电粒子重力和运动过程中的相互作用，则；运动过程中的相互作用，则；1、要求所有带电粒子均不能穿过磁场外界，允许、要求所有带电粒子均不能穿过磁场外界，允许带电粒子速度的最大值带电粒子速度的最大值m多大？多大？2、若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿、若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿圆环半径方向垂直射入磁场，圆环半

14、径方向垂直射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到出发点所用的到第一次回到出发点所用的时间时间t. 解：（解：（1 1）由圆周切线方向进入磁场的粒子最易穿越磁场，）由圆周切线方向进入磁场的粒子最易穿越磁场，临界时有临界时有 如图，由如图，由 得得（2）则则 即即 每次进入磁场转过圆心角为每次进入磁场转过圆心角为225225运动时间为运动时间为在反应区内运动一次在反应区内运动一次总时间为总时间为21()2mRRr2mmmmvBqvr21()2mBq RRvm1tan21rRtan212451225253604mmtBqBq1122124()mRmRtvBq RR12

15、1016( 21)88mmtttBqBq?r5、一枚铜钱、一枚铜钱例例5、如图所示为圆形区域的匀强磁场、如图所示为圆形区域的匀强磁场,磁感应强度为磁感应强度为B、方向、方向垂直纸面向里垂直纸面向里,边界跟边界跟y轴相切于坐标原点轴相切于坐标原点O。O点处有一放射点处有一放射源，沿纸面向各个方向射出速率均为源，沿纸面向各个方向射出速率均为v的某种带电的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半经是圆粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半经是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。，不考虑带电粒子的重

16、力。1、推导带电粒子在磁场空间作圆周运动的轨道半径；、推导带电粒子在磁场空间作圆周运动的轨道半径；2、求带电粒子通过磁场空间的最大偏角；、求带电粒子通过磁场空间的最大偏角；3、沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原、沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变。若从速率弹回，且其电荷量保持不变。若从O点沿点沿x轴正方向射入轴正方向射入磁场的粒子速度的已减小为磁场的粒子速度的已减小为v2，求该粒子第一次回到，求该粒子第一次回到O点经点经历的时间。历的时间。XYO解解:(1)带电粒子在磁场后，受带电粒子在磁场后，受洛仑磁力作洛仑磁力作用，由牛顿第二定律

17、得用，由牛顿第二定律得;（2)设粒子飞出和进入磁场的速度方向夹设粒子飞出和进入磁场的速度方向夹角为角为则则 x x是粒子在磁场中轨是粒子在磁场中轨迹的两端点的直线距离，迹的两端点的直线距离，x x最大值为最大值为2R 2R 。对应的就是对应的就是的最大值。且的最大值。且2R=r2R=r所以所以2vBqvmrmvrBqsin22xrmaxmax1sin,6022RroXYO（3)当粒子速度减小为当粒子速度减小为 时，粒子在磁场中作时，粒子在磁场中作圆周运动的半径为圆周运动的半径为 故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为90时与时与边界相撞回，由对称性知，粒子经过

18、四个这样的边界相撞回，由对称性知，粒子经过四个这样的过程第一次回到过程第一次回到O点，亦即经历时间为一个周期点，亦即经历时间为一个周期粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期所以从所以从O点沿点沿x轴正方向射出的轴正方向射出的粒子第一次回到粒子第一次回到O点经历的时间点经历的时间是是 其轨迹为一枚铜钱其轨迹为一枚铜钱2v12mvrRqB2 mTBq2 mtBqyxo6、一滴水珠、一滴水珠例例6、如图所示，真空中分布着有界的匀强电、如图所示，真空中分布着有界的匀强电场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场，场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场，电场的宽度为电场的宽

19、度为L，电场强度为，电场强度为E，磁场的磁感应强，磁场的磁感应强度都为度都为B，且右边磁场范围足够大一带正电粒子，且右边磁场范围足够大一带正电粒子质量为质量为m，电荷量为，电荷量为q，从，从A点由静止释放经电场加点由静止释放经电场加速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后能按速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径再返回某一路径再返回A点而重复上述过程，不计粒子重点而重复上述过程，不计粒子重力，求：力，求：（1）粒子进入磁场的速率）粒子进入磁场的速率v；（2）中间磁场的宽度）中间磁场的宽度d（3）求粒子从）求粒子从A点出发到第点出发到第一次回到一次回到A点所经历的时间点所经历的时间

20、t。（2 2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，半径都是）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，半径都是R R，且：且：解（解（1 1）由动能定理，有：）由动能定理，有： 得粒子进入磁场的速度为得粒子进入磁场的速度为由几何关系可知：由几何关系可知：则：中间磁场宽度则：中间磁场宽度（3 3）在电场中）在电场中在中间磁场中运动时间在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间则粒子第一次回到则粒子第一次回到O O点的所用时间为点的所用时间为。例例7如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为R，外圆半径为外圆半径为 R，磁场方向垂直于纸面向里，

21、内外圆之间环形，磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为区域磁感应强度为B，内圆的磁感应强度为，内圆的磁感应强度为B/3。t=0时一个质时一个质量为量为m，带，带q电量的离子（不计重电量的离子（不计重力力），从内圆上的），从内圆上的A点沿半点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。（1）求离子速度大小）求离子速度大小（2）离子自）离子自A点射出后在两个磁场点射出后在两个磁场间不断地飞进飞出，从间不断地飞进飞出，从t=0开始经过开始经过多长时间第一次回到多长时间第一次回到A点？点？（3）从）从t=0开始到离子第二次回到开始到离子第二次回到A点

22、，离子在内圆磁场中运点，离子在内圆磁场中运动的时间共为多少？动的时间共为多少？37、一个美丽的吸顶灯罩、一个美丽的吸顶灯罩O2r1r28、一串、一串“葡萄葡萄”例例5 如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属板，如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属板，板长板长L=1.4m,板距板距d=30cm。两板间有。两板间有B=1.25T,垂垂直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图（乙）直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图（乙）所示的脉冲电压。在所示的脉冲电压。在t=0时，质量时，质量m=210-15kg，电量为电量为q=110-10C的正离子，以速度为的正离子，以速度为4103m/s从两板中间水平射入

23、。试求：粒子在板从两板中间水平射入。试求：粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。间做什么运动？画出其轨迹。解析解析 在第一个在第一个1010-4-4s s内，电场内，电场, ,磁场同时存在，离子磁场同时存在，离子受电场力，洛仑兹力分别为受电场力，洛仑兹力分别为F F电电=qE= =qE= 10-7N,方向由左手定则知向上，粒子做匀速直线运动。方向由左手定则知向上，粒子做匀速直线运动。位移位移s=vt=0.4m. 第二个第二个10-4s内，只有磁场，离子内，只有磁场，离子做匀速圆周运动，做匀速圆周运动，r= =6.410-2m,不会碰板，时间不会碰板，时间T= =110-4s，即正巧在，即正巧在无电

24、场时离子转满一周。易知以后重复上述运动，无电场时离子转满一周。易知以后重复上述运动，故轨迹如图所示，形成故轨迹如图所示，形成“葡萄串葡萄串”图形图形5dqUBqmv04dqBm12图图6、图、图6所示：由光滑绝缘壁围成的正方形（边长所示：由光滑绝缘壁围成的正方形（边长为为a）匀强磁场区域的磁感强度为）匀强磁场区域的磁感强度为B，质量为，质量为m、电、电量为量为q的正粒子垂直于磁场方向和边界从下边界正中的正粒子垂直于磁场方向和边界从下边界正中央的央的A孔射入该磁场中，粒子碰撞时无能量和电量孔射入该磁场中，粒子碰撞时无能量和电量损失，不计粒子重力和碰撞时间，粒子运动半径小损失，不计粒子重力和碰撞时

25、间，粒子运动半径小于于a，要使粒子仍能从，要使粒子仍能从A孔射出，求粒子的入射速度孔射出，求粒子的入射速度和粒子在磁场中的运动时间？和粒子在磁场中的运动时间？ RvmqvB2qBmT23 , 2 , 14nnrLnmqBLv43 , 2 , 1n3 , 2 , 12422/nqBmnvbnTt图图7 设粒子运动半径为设粒子运动半径为R,，则，则 运动周期运动周期 粒子能从粒子能从A孔射出，则粒子的运动轨迹有两种典型：孔射出，则粒子的运动轨迹有两种典型： 图图7所示情形所示情形 则则 求得粒子的入射速度求得粒子的入射速度 （）磁场中的运动时间磁场中的运动时间其粒子运动的轨迹给成了其粒子运动的轨迹

26、给成了一幅美丽的窗帘一幅美丽的窗帘。3 , 2 , 1122nRnLmnqBLv1223 , 2 , 1n3 , 2 , 114214nqBmnTnt图图8 图图8所示情形所示情形 则则 求得粒子的入射速度求得粒子的入射速度 磁场中的运动时间磁场中的运动时间该粒子运动的轨迹该粒子运动的轨迹绘成了绘成了一块漂亮的磁砖一块漂亮的磁砖。解析解析 粒子重新回到粒子重新回到O O点时其运动轨道如图所示点时其运动轨道如图所示, ,形成一形成一”心脏心脏”图形图形. .由图可知，粒子在由图可知，粒子在B B1 1中运中运动时间动时间 粒子在粒子在B1中的运动时间为中的运动时间为1010、一颗、一颗“心脏心脏

27、”例例2 2如图所示如图所示, ,以以abab为分界面的两个匀强磁场为分界面的两个匀强磁场, ,方方向均垂直于纸面向里向均垂直于纸面向里, ,其磁感应强度其磁感应强度B B1 1=2B=2B2 2, ,现有现有一质量为一质量为m,m,带电量为带电量为+q+q的粒子的粒子, ,从从O O点沿图示方点沿图示方向以速度向以速度v进入进入B1中中,经过时间经过时间t=_粒子重新粒子重新回到回到O点点(重力不计重力不计) 所以粒子运动的总时间所以粒子运动的总时间+1112 mtTBq22212mtTB q1212222mmmtttBqB qB q例例7如图如图12（a）所示，在平面上）所示，在平面上的范

28、围内有一片稀疏的电子，从的范围内有一片稀疏的电子，从x轴的负半轴的远轴的负半轴的远处以相同的速率处以相同的速率沿沿x轴正向平行地向轴正向平行地向y轴射来试轴射来试设计一个磁场区域，使得设计一个磁场区域，使得 （1）所有电子都能在磁场力作用下通过原点）所有电子都能在磁场力作用下通过原点O； （2）这一片电子最后扩展到）这一片电子最后扩展到22范围范围内，继续沿内，继续沿x轴正向平行地以相同的速率向远处轴正向平行地以相同的速率向远处射出已知电子的电量为、质量为，不考虑电子射出已知电子的电量为、质量为，不考虑电子间的相互作用间的相互作用 解析解析欣赏欣赏磁场磁场区域像一区域像一只只漂亮蝴漂亮蝴蝶蝶，赏心，赏心悦目悦目!11、一只漂亮的蝴蝶、一只漂亮的蝴蝶12、一个古朴的窗口、一个古朴的窗口例例10、如图所示，与纸面垂直的竖直面、如图所示，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空的左侧空间中存在竖直向上场强大小为间中存在竖直向上场强大小为E=2.5102N/C的匀强的匀强电场（上、下及左侧无界）。一个质量为电场（上、下及左侧无界）。一个质量为m=0.5kg、电量为电量为q=2.0102C的可视为质点的带正电小球，在的可视为质点的带正电小球，在t=0时刻以大小为时刻以大小为v0的水平初速度向右通过电场中的的水平初速度向右通过电场中的一点一点P，当，当t=t1时刻在电场所在空间中加上一如图所