【省级联考】2019届毕业班四省联考第二次诊断性考试理数试题-

1、绝密启用前【省级联考】2019届毕业班四省联考第二次诊断性考试理数试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1已知集合A=xx2-x-60，B=xx-10，则AB=（）A(-2,3) B(1,3) C(-2,1) D2已知复数z满足i(z+1)=1-i(i为虚数单位)，则复数z所对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3若向量a=(1,2)，b=(1,m)，且a-b与b的夹角为钝角，则实数m

2、的取值范围是（）A(0,2) B(- ，2)C(-2,2) D(-,0)(2,+)4已知等差数列an的前n项和Sn，若S6=30，S10=10，则S16=（）A-160 B-80 C20 D405已知锐角满足sin,cos,83成等比数列，则tan的值为（）A427 B24 C2 D2362018年国际山地旅游大会于10月14日在贵州召开，据统计有来自全世界的4000名女性和6000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1000名和2000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份。若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒

3、步爱好者获得纪念品的概率是（）A112 B14 C512 D7127若x,y满足约束条件x-2y+20y1x+y-30，则z=4x+3y-12的最小值为（）A53 B1 C2 D358球体是建筑、装修等常用的造型，现有一块三棱柱石材的三视图如下，若工匠师傅将其加工为球体，则得到的球体的最大体积为（）A4327 B43 C23 D499设点P在曲线y=lnx-1x+1上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为（）A2 B1 C65 D25510已知曲线y=-x2-4x-3+1与直线y=x+b有两个不同的交点，则b的取值范围为（）A4,3+2 B5-2,5+2 C3-2,4 D3-2,411如图所

4、示，四边形ABCD为边长为2的菱形，B=60°，点E,F分别在边BC,AB上运动(不含端点)，且EF/AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF底面ECDAF，当五棱锥B-ECDAF的体积最大时，EF的长为（）A1 B263 C3 D212已知正方形ABCD的边长为7，点M在AB上，点N在BC上，且AM=BN=3，现有一束光线从点M射向点N，光线每次碰到正方形的边时反射，则这束光线从第一次回到原点M时所走过的路程为（）A405 B60 C605 D70第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题132x-145x4展开式中的常数项是_。14在各项均为正数的等比

5、数列an中，a1=2，且4a2,2a3,a4成等差数列，设bn=log2an, Sn为数列bn的前n项和，则S9=_。15已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1x20恒有fx1-fx2x12-x22>1成立，则不等式f(x+2)-f(2)x2+4x的解集为_。16在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足|PA|PB|=，当0且1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足|PA|PB|=2，PAB面积最大值

6、为163 ,PCD面积最小值为23，则椭圆离心率为_。评卷人得分三、解答题17在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sinA+sinB)(a+b)=c·(sinC+sinB).（1）求角A；（2）若a=23，求ABC周长的取值范围。18某果园基地培育出一种特色水果，要在某一季节内采摘一批这种水果销往A市，每售出1吨这种水果获利800元，未售出的水果每吨亏损400元，根据去年市场调研数据统计，该季节A市对这种水果的市场需求量t(单位：吨，100t150)的频率分布直方图如图所示.现该果园计划采摘140吨这种水果运往A市，经销这种水果的利润Q(单位：元)（1）求Q关t的

7、函数表达式；（2）视频率为概率，求利润Q的分布列及数学期望.（每组数据以区间的中点值为代表）.19如图所示，在四棱锥S-ABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD是梯形，AB/CD，DAAB，BCSC，SA=AD=3，AB=6，点E在棱SD上，且VS-ACE=2VE-ACD。（1）求证：BC平面SAC；（2）求二面角S-AE-C的余弦值。20已知抛物线C1:y2=4x，F为其焦点，抛物线的准线交x轴于点T，直线l交抛物线于A,B两点。（1）若O为坐标原点，直线l过抛物线焦点，且|AF|BF|=12，求AOB的面积；（2）当直线l与坐标轴不垂直时，若点B关于x轴的对称点在直线AT上，证明直线l过

8、定点，并求出该定点的坐标。21（1）设函数f(x)=x2-2xlnx-1，若f(x)=m在区间(12,+)上有解，求实数m的取值范围；（2）当x1时，若不等式kx2-2xlnx-k0恒成立，求实数k的取值范围。22（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosy=sin(为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，射线=4(0)与曲线C交于点A。（1）求曲线C的普通方程与点A的极坐标；（2）如下图所示，点B在曲线C上(B在A的上方)，A0B=,(0,2),且tan=12,求AOB的面积。23（选修4-5：不等式选讲）已知函数

9、f(x)=x-a+x+3。（1）若f(x)的最小值为4，求实数a的值；（2）当x2,4时，f(x)x恒成立，求实数a的取值范围。参考答案1B【解析】【分析】求得集合A的解集，和集合B的解集，然后求它们的交集.【详解】对于集合A：x-3x+2<0，解得-2<x<3，对于集合B：解得x>1，故AB=1,3.故选B.【点睛】本小题主要考查集合交集的求法，考查一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法.属于基础题.2C【解析】【分析】线利用复数的除法运算求得z的表达式，再得出复数对应的点在哪个象限.【详解】依题意z=1-ii-1=1-i-ii-i-1=-2-i，对应的点为-2

10、,-1，在第三象限，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数与复平面上的点的一一对应关系，属于基础题.3D【解析】【分析】先求得a-b的值，然后利用向量夹角公式，计算a-b与b的夹角的余弦值，此余弦值小于零，由此求得m的取值范围.【详解】a-b=0,2-m，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得a-bba-bb=2m-m22-m1+m2<0，即2m-m2<0，解得m<0或m>2.故选D.【点睛】本小题主要考查向量的夹角公式的应用，考查向量减法的坐标运算，还考查了钝角的余弦值为负数等知识.属于基础题.4B【解析】【分析】利用等差数列基本元的思想，将题目所给两

11、个条件转化为a1,d的形式，解方程组求得a1,d，进而求得S16的值.【详解】由于数列为等差数列，故6a1+15d=3010a1+45d=10，解得a1=10,d=-2，故S16=16a1+120d=16×10+120×-2=-80，故选B.【点睛】本小题主要考查利用等差数列的基本元思想，求得首项和公差，考查等差数列的前n项和公式，属于基础题.对于题目给定数列为等差或者等比数列，并且给出两个已知条件的，那么可以利用基本元的思想，将两个已知条件转化为a1,d或者a1,q的形式，列方程组可求得它们的值.5B【解析】【分析】根据等比中项的性质列出方程，化简为含有tan的形式，解方

12、程求得tan的值.【详解】根据等比中项的性质有cos2=83sin，即1-sin2=83sin,3sin2+8sin-3=0，由于为锐角，解得sin=13，故cos=8313=223，故tan=sincos=24.所以选B.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6C【解析】【分析】有两种情况，采访的两个人中：男性获得纪念品，女性没有获得纪念品；男性没有获得纪念品，女性获得纪念品.按照分步乘法计数原理计算每种情况的概率，再按分类加法计数原理相加，得到所求的概率.【详解】“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为20006000×300040

13、00=14，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品”的概率为40006000×10004000=16，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品” 的概率为14+16=512.故选C.【点睛】本题主要考查古典概型的计算，计算的方法是：先对事件进行分类，分成两类，然后每一类都按照分步计数原理来计算概率，最后相加得到结果.属于基础题.7A【解析】【分析】画出可行域，目标函数表示可行域内的点到直线4x+3y-12=0的距离的5倍.先求得最小距离，再乘以5来得到正确选项.【详解】将目标函数变形为z=5×4x+3y-125，即“目标函数表示可行域内的点到直线4x+3y-12=0的距离的5倍”.

14、画出可行域如下图所示，由图可知，点A到直线4x+3y-12=0最短，联立x-2y+2=0x+y-3=0，解得A43,53最短距离为163+153-125=13，乘以5得53，故选A.【点睛】本小题考查线性规划问题，目标函数属于直线型的目标函数，要注意最后乘上目标函数的分母.属于基础题.8A【解析】【分析】由三视图可知几何体为三棱柱.根据正视图等边三角形计算出内切圆的半径，比较侧视图计算出内切圆的半径，可以得到最大内切球的半径，并由此计算出体积.【详解】由三视图可知该几何体为三棱柱，由正视图可知，棱柱的底面为等边三角形，高为3，故内切圆半径为33.由侧视图可知，内切圆的半径为1，而33<1

15、，所以三棱柱内切球的半径只能是33，故体积为43R3=43×332=4327，故选A.【点睛】本小题主要考查几何体内切球的有关计算，考查球体的体积公式，考查了由三视图得到几何体等知识.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点或者接点的位置确定有关元素间的数量关系，还可以画出截面图形来分析.属于基础题.9D【解析】【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线y=2x平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得PQ的最小值.【详解】先求曲线上切线斜率为2的点的横坐标：令y'=1x+1x2=2，解得x=1，代入曲线方程求得y=0，故切点为1,0，斜

16、率为2的直线方程为y=2x-1，将两条平行直线的方程化为一般式得2x-y=0,2x-y-2=0，故两平行直线的距离为0-25=255.故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.10A【解析】【分析】曲线表示的是半圆，画出半圆和直线y=x+b的图像，通过图像确定有两个交点时，b的取值范围.【详解】曲线方程可变为x+22+y-12=1y1，表示圆心在-2,1，半径为1的圆的上半部分

17、.画出图像如下图所示，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即-2-1+b2=b-32=1，解得b=3+2（由图可知3-2舍去）.当y=x+b过点-3,1,-2,2，代入直线方程，求得b=4，此时直线和半圆有两个交点.故b的取值范围是4,3+2.【点睛】本小题主要考查圆的方程的识别，考查直线和圆的位置关系，还考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题.11B【解析】【分析】由EF/AC可知三角形BEF为等边三角形，设EF=x，由此计算得BEF的高，以及五边形ECDAF的面积，由此写出五棱锥的体积的表达式，并用导数求得当x为何值时，体积取得最大值.【详解】由EF/AC可知三角形BEF为等边三

18、角形，设EF=x，等边三角形BEF的高为32x，面积为34x2，所以五边形ECDAF的面积为2×34×22-34x2=23-34x2，故五棱锥的体积为13×23-34x2×32x=x-18x30<x<2.令x-18x3'=1-38x2=0，解得x=263，且当0<x<263时，x-18x3单调递增，263<x<2时，x-18x3单调递减，故在x=263时取得极大值也即是最大值.故选B.【点睛】本小题考查等边三角形的面积公式（若等边三角形的边长为a，则面积为34a2.），考查椎体的体积公式，考查利用导数的方法求体

19、积的最大值.题目是一个折叠问题，折叠问题解决的第一步是弄清楚折叠前后，有那些量是不变的，有哪些是改变的.属于中档题.12D【解析】【分析】利用镜面反射的性质，画出反射光线的路径，再利用相似三角形求得各反射光线的长度，进而求得总路程.【详解】利用镜面反射的性质，画出反射光线的路径如下图所示.由图可知，整个过程可以分为两个阶段第一个阶段是光线从M开始，经过反射后到达E点的位置，第二个阶段是从E点开始，经过反射回到M点的位置.这两个阶段的路程是一样长的.依题意可得MB=4,BN=3,CN=4,NJ=1,JC=3,MN=5，记BMN=，则tan=34，sin=35,cos=45，故NF=CNsin=2

20、03,CF=CNtan=163，DF=7-163=53,OD=DFtan=54,OF=DFcos=2512,OA=7-OD=234,AP=OA-1=194,AH=APtan=193,PH=APsin=9512,BH=7-AH=23,HI=HBcos=56,BI=HBtan=12,CI=7-BI=132,PE=DEcos=154.建立如图所示平面直角坐标系，可知O0,54,I7,132，由两点间的距离公式得OI=72+54-1322=354.综上所述，总路程为2MN+NF+OF+OI+IH+HP+PE=25+203+2512+354+56+9512+154=25+30=70.故选D.【点睛】本小

21、题主要考查入射光线和反射光线的知识，考查相似三角形的知识，考查几何作图的能力以及运算求解能力.属于难题.13-20【解析】【分析】根据分子的二项式展开式的通项，求得对应x4的项的系数，由此求得常数项.【详解】2x-145展开式中，x4的项为C512x4-141=-20x4，故常数项为-20【点睛】本小题主要考查二项式的展开式中的指定项.由于题目所给式子是分式的形式，故先考虑分子所包含的二项式的展开式.属于基础题.1445【解析】【分析】先求得数列an的通项公式，从而求得bn的通项公式，由此求得S9的值.【详解】根据4a2,2a3,a8成等差数列得22a3=4a2+a4，由于数列an是等比数列，

22、故4a1q2=4a1q+a1q3，解得q=2.故an=2n，所以bn=log2an=n，为等差数列，故S9=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查对数的运算公式，考查等差数列求和，还考查了等差中项的性质.若三个数a,b,c成等差数列，则满足2b=a+c.若三个数a,b,c成等比数列，则满足b2=ac.等比数列的基本量是首项和公比，题目已知首项，再列一个方程可求得公比的值.15x>0或x<-4【解析】【详解】依题意当x>0时，fx+2-f2x+22-22>1，即fx+2-f2x+22-22=fx+2-f2x2+4x>

23、;1，即fx+2-f2>x2+4x成立.当x<0时，由于函数为偶函数，任取x1<x2<0,-x1>-x2>0，故f-x1-f-x2-x12-x22=fx1-fx2x12-x22>1，所以fx+2-f2x+22-22=fx+2-f2x2+4x>1，故当x2+4x>0时，与fx+2-f2>x2+4x同解，由x2+4x>0解得x<-4.综上所述x的范围是x>0或x<-4.【点睛】本小题主要考查偶函数的定义与性质，考查恒成立问题的解法以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.1632【解析】【分析】利用两点间的距离公式

24、求得P点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得a,b的值及离心率的值.【详解】依题意A-a,0,Ba,0，设Px,y，依题意的PA=2PB,x+a2+y2=2x-12+y2，两边平方化简得x-53a2+y2=43a2，故圆心为5a3,0，半径r=4a3.所以PAB的最大面积为122a43a=163，解得a=2，PCD的最小面积为122b5a3-4a3=ba3=23，解得b=1.故椭圆离心率为e=1-ba2=1-14=32.【点睛】本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，

25、可以先设出动点的坐标，然后代入题目所给的方程，如本题中比值为2这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程.17（1）A=23；（2）43,4+23【解析】【分析】（1）利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式，再利用余弦定理化简，可求得角A的余弦值，并求得角A的大小.（2）先利用余弦定理得到(b+c)2-12=bc，利用基本不等式求得b+c4，由此求得周长的最大值.再根据三角形两边的和大于第三边，求得周长的范围.【详解】解：（1）由已知(sinA+sinB)(a-b)=c×(sinC+sinB)及正弦定理，得：(a+b)(a-b)=c(c+b)，整理，得b2+c2-a2=-bc.由余弦定理

26、得，-bc=2bccosA，A(0,)， A=23.（2）a=23,b2+c2=(b+c)2-2bc,(b+c)2-12=bc.又b×c(b+c2)2, (b+c)2-1214(b+c)2，解得b+c4，当且仅当b=c时取等号。b+ca=23， 43a+b+c4+23.故周长范围为43,4+23.【点睛】本小题主要考查余弦定理和正弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，以及三角形两边的和大于第三边.属于中档题.18（1）Q=1200t-56000,100t140112000,140t150（2）见解析【解析】【分析】（1）分成两段计算：当需求量t不小于140吨时，全部卖出.当需

27、求量小于140吨时，用获利的减去亏损的计算出利润的表达式.（2）取每个小长方形的中点作为代表，利用（1）的表达式求得相应的利润，同时计算出每个小长方形的面积得到频率，也即概率，由此得到分布列，并计算出数学期望.【详解】解：（1）当100t140时，Q=800t-400(140-t)=1200t-56000当140t150时，Q=800×140=112000Q=1200t-56000,100t140112000,140t150（2）由题意得t的取值可以有105、115、125、135及145.利润Q为：1200×105-56000=70000，概率为0.1；1200×

28、;115-56000=82000，概率为0.2；1200×125-56000=94000，概率为0.3；1200×135-56000=106000，概率为0.25；Q=112000，概率为0.15.利润Q分布列为Q700008200094000106000112000P0.10.20.30.250.15E(Q)=70000×0.1+82000×0.2+94000×0.3+106000×0.25+11200×0.15=94900【点睛】本小题主要考查利用分段函数求实际问题的函数表达式，考查利用频率分布直方图求频率，考查离散型随

29、机变量的分布列和数学期望.对于计算利润的实际问题，往往是先计算出总的收入，然后减去亏损额，也就得到了实际的利润.一般来说，用每一组的中点值来作为这一组的代表.19（1）详见解析；（2）-66【解析】【分析】（1）由SA平面ABCD得到SABC，结合BCSC，得到BC平面SAC.（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面SAE和平面CAE的法向量计算二面角的余弦值.【详解】（1）因为SA平面ABCD，所以SABC，由于BCSC，ACSA=A，故BC平面ABCD.（2）由于VS-ACE=2VE-ACD，故E是靠近D的三等分点.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可知S0,0,

30、3,D0,3,0,B6,0,0，设Cx,3,0，则BC=x-6,3,0，故ACBC=x,3,0x-6,3,0=x2-6x+9=0，解得x=3，故C3,3,0，且E0,2,1.由于ABAD,ABSA,ADSA=A，故AB平面SAD.故AB是平面SAE的法向量.设n=x,y,z是平面CAE的法向量，则nAE=2y+z=0nAC=3x+3y=0，令x=1，解得y=-1,z=2，故n=1,-1,2.设二面角S-AE-C为，由图可知，为钝角，故cos=-ABnABn=-446=-66.所以二面角S-AE-C的余弦值为-66.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查空间点的坐标的求法，考查利用法向量

31、求二面角的余弦值.要证明线面垂直，即是要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，在证明过程中，要注意立体几何的格式要求.在求二面角的余弦值过程中，要注意观察二面角是锐角还是钝角.20（1）322；（2）定点为1,0【解析】【分析】（1）利用AFBF=12，求得直线l的斜率为22，由此写出直线方程，代入抛物线方程求得A,B两点的坐标，从而求得AB，用点到直线的距离公式求出高，由此求得三角形AOB的面积.（2）设出直线l的方程为y=kx+b，联立直线方程和抛物线方程，写出韦达定理.根据点斜式得出直线AT的方程，将B点的坐标代入，然后利用韦达定理化简，可求得k和b的关系式，由此求得直线所过定点的坐标.【

32、详解】设点Ax1,y1,Bx2,y2，焦点坐标为F1,0，T-1,0.（1）因为AFBF=12，根据抛物线的定义可知，直线l的斜率为22.故直线l的方程为y=22x-1，代入抛物线方程并化简得2x2-5x+2=0解得x1=12,x2=2，代入直线方程得A12,-2,B2,22，所以AB=2-122+22+22=92.直线l的一般式为22x-y-22=0，原点到直线的距离d=223，故SAOB=12ABd=12×92×223=322.（2）直线l过定点1,0，理由如下：设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线方程并化简得k2x2+2kb-4x+b2=0，故x1+x2=4-2kb

33、k2,x1x2=b2k2.B点关于x轴的对称点为x2,-y2.根据点斜式，得到直线AT的方程为y=y1x1+1x+1，将x2,-y2点坐标代入并化简得2kx1x2+k+bx1+x2+2b=0，将x1+x2和x1x2的值代入并化简得b+k=0，即b=-k，故直线l的方程为y=kx-k=kx-1，过定点1,0.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查了焦点三角形的面积，考查了三点共线的应用.属于中档题.考查直线和抛物线的位置关系，方向有两种，一个是抛物线的定义，抛物线上的动点到焦点的距离等于到准线的距离，另一种就是联立直线方程和抛物线方程，用韦达定理来解决.21（1）ln2-34,+；（

34、2）1,+【解析】【分析】（1）利用fx的二阶导数证得fx在0,+上递增，由此求得mf12.（2）当x>1时，将原不等式化为kx-12xlnxx+1，由于不等式右边y=2xlnxx+1图像固定，左边y=kx-1表示经过1,0的直线.对k，分成，k=1,k>1,k<1三类，讨论直线y=kx-1的形态，由此求得k的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为x>0，f'x=2x-21+lnx=2x-2lnx-2，令hx=2x-2lnx-2.h'x=2-2x=2x-1x，故在0,1上hx递减，在1,+上hx递增，x=1时hx的极小值也即是最小值为h1=0，故hx0，即f'x0