自动控制理论教学-第五章 控制系统的频域分析ppt课件

1、一、频率特性的根本概念一、频率特性的根本概念l 频率呼应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态频率呼应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态l 分量。分量。l 频率特性：系统频率呼应与正弦输入信号之间的关系。频率特性：系统频率呼应与正弦输入信号之间的关系。l 频域分析法：运用频率特性研讨线性系统的经典方法。其频域分析法：运用频率特性研讨线性系统的经典方法。其l 特点是根据系统的开环频率特性去判别闭环系统的性能。特点是根据系统的开环频率特性去判别闭环系统的性能。如图，设初始如图，设初始当输出阻抗足够大时有：当输出阻抗足够大时有：1ioouRiuuidtC消去消去 ()ooiduuuRCdti

2、(0)0imouituU s n，。( )iu t( )ou tRC( )i t对上式进展拉氏变换得：对上式进展拉氏变换得：( )1( )1OIUsU ss22222222222211 ( )( )111 1111 mOImmmUUsU ssssUUUssss 拉氏反变换得：拉氏反变换得：暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量22222222222222222222( )1111 11111 1( ) 11 tmtmtmmmommUUUu tesintcostUUesintcoUsistnUet 22( )()1)1osmmuUsintUsintA 呼应的稳态分量为：呼应的稳态分量为：式中：式中：

3、可见，可见， 分别为分别为 的幅值的幅值 和相角和相角 。设线性定常系统的传送函数为：设线性定常系统的传送函数为：12( )( )( )( )( )( )()()()nC sN sNppsG sR sD sssps)()A 、()G j()G j()G j1( )1G ss2211()( )arctansjG jG se sj2211( )11Aj 1( )1arctanj 12( )( )( ) ( )( )()()()npN sC sG s RppsR ssss为方便起见设系统无重极点，那么：为方便起见设系统无重极点，那么：001222( )( )()()()() nmpppUcoss s

4、N sC ssinsss 121( )ijtp tiitjncabeb eet设：设：那么：那么：0010()0( ) ()() ()()()()22 mjjmj GsjjmUcoG sss sinsGjGjsjsjUUeejjebj式中：式中：0022( )()mUR scoss sins 000( )()mmmr tU sintU sin tcosU cos t sin00(200)() ()()( ) ()()22) smjjmjjmG jUcoss sinsjsjsjUUeejbjjjG sGGe000012()()()+()+0( ( )( ) ()()22 ()2 )( j tj

5、tstjjjG jj tjG jj tmmjG jtjG jtmmc tlimc tbeb eUUGjeeeG jeeG jejjeeUGGUjjjsint( )()( )() G jG jA ， 通常，把通常，把 称为系统的频率特性。它称为系统的频率特性。它反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态呼应与输入正弦信反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态呼应与输入正弦信()()(jG jG je 号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比 称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正弦输入信号的衰减弦输入

6、信号的衰减(放大放大)特性。系统稳态输出信号对正弦输入特性。系统稳态输出信号对正弦输入信号的相移信号的相移 称为系统的相频特性，它表示系统称为系统的相频特性，它表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。( )() AG j( )() G j 14( )sin(23.1 )35r tt( )30( )( )53C ssR ss知某闭环系统的传送函数为：知某闭环系统的传送函数为：时，试用频率特性的概念时，试用频率特性的概念当输入为当输入为求其稳态输出。求其稳态输出。24530 ()6259j455()arctan53.13j 30()53jj解：解：根

7、据频率特性的概念，系统的稳态输出为：根据频率特性的概念，系统的稳态输出为：14( )()sin23.1()3514 6 sin23.153.1 354 2sin(30 )5yjtjtt 二、频率特性与时域呼应的关系二、频率特性与时域呼应的关系 频率特性，传送函数，微分方程三种系统描画之间关系频率特性，传送函数，微分方程三种系统描画之间关系系系 统统频率特性频率特性传送函数传送函数微分方程微分方程pjsjsp 频率特性为什么能反映系统动态特性？频率特性为什么能反映系统动态特性？u 物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡u 所以能反映系统动态特

8、性。所以能反映系统动态特性。u 数学上：数学上： ， 中的时间常数等反映中的时间常数等反映 u 了系统构造。了系统构造。()( )sjG jG s()G j三、频率特性的几何表示法三、频率特性的几何表示法 幅相频率特性曲线：又称极坐标图或幅相曲线幅相频率特性曲线：又称极坐标图或幅相曲线 实数和虚数的方式实数和虚数的方式 复指数方式复指数方式 幅频特性为幅频特性为 的偶函数，相频特性为的偶函数，相频特性为 的奇函数，因的奇函数，因此，此， 从从 和和 的幅相曲线关于实轴对称，的幅相曲线关于实轴对称，普通只绘制普通只绘制 的幅相曲线。小箭头指示的幅相曲线。小箭头指示 时幅相曲线的变化方向。时幅相曲

9、线的变化方向。对于对于RC 网络：网络：2211()11jG jj 有：有：22211()()22ReG jIm G j0 0 0 ()()( )( ) ()jG jXjYG je 阐明阐明RC 网络的幅相网络的幅相曲线是以曲线是以 为圆心，为圆心，半径为半径为 的半圆，如右的半圆，如右图所示。图所示。 对数频率特性曲线：又称伯德对数频率特性曲线：又称伯德(Bode)(Bode)图，由对数幅频曲线图，由对数幅频曲线 和对数相频曲线组成。对数频率特性曲线的横坐标按和对数相频曲线组成。对数频率特性曲线的横坐标按 ( (对数对数) )分度，单位是分度，单位是 ；对数幅频特性曲线；对数幅频特性曲线的纵

10、坐标的纵坐标 按按 线性分度，单位是分贝线性分度，单位是分贝 。对数相频特性曲线的纵坐标按。对数相频特性曲线的纵坐标按 线性分度，单线性分度，单 位为度位为度 。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。lgrad s( )20lg()20lg ( )LG jA(dB)( ) ( ) 0 ()ReG j()ImG j120j1(0)2, j12仍以仍以RC电路为例：电路为例：2212211( )20lg20lg120l1( ) 1 g1 ()Larctanarctan 当当 时：时：当当 时：时：在在 处：处：( )20lg1 20lg100L，( )20lg1 20

11、lg120lgL ，( )20lg1 20lg 23 dBL 综上，综上，RC网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来表示。在表示。在 部分为一条部分为一条 的程度线，在的程度线，在 部部分为斜率等于分为斜率等于 的直线。在渐近线的交接处的的直线。在渐近线的交接处的频率为频率为 ，此处渐近线的幅值误差为，此处渐近线的幅值误差为 (最大最大)。10 dB120dB dec113 dB111111用描点法绘制出用描点法绘制出 曲线如图，图中令：曲线如图，图中令：对数分度：当变量增大或减小对数分度：当变量增大或减小10倍，称为倍，称为10倍频程倍频程 ， 坐标间间隔变

12、化一个单位长度。坐标间间隔变化一个单位长度。交接频率：又称为转机频率，是指两条渐近线交接处对应交接频率：又称为转机频率，是指两条渐近线交接处对应 的频率。的频率。(dec)( ) 1111，( )L( ) ( ) dBL( ) 0306090020400 01.0 1 .110100954. 09lg903. 08lg845. 07lg778. 06lg699. 05lg602. 04lg477. 03lg301. 02lg01lg 对数幅相曲线：又称尼柯尔斯图或尼柯尔斯曲线。其特对数幅相曲线：又称尼柯尔斯图或尼柯尔斯曲线。其特点点 是纵坐标为是纵坐标为 ，单位为分贝，单位为分贝 ；横；横坐标

13、为坐标为 ， 单位是度单位是度 ，均为线性分度，频率，均为线性分度，频率 为参变为参变量。量。10080604020005101520( ) dBL( ) ( ) ( )L(dB)( ) ( ) 一、比例环节一、比例环节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：( )G sK()G jK幅相曲线幅相曲线对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图( )( )20lg 0LK 0() 20lgK() dBL0()X()jY二、惯性环节二、惯性环节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：1()1G jj1( )1G ss幅相曲线幅相曲线对数幅频特性对数幅频特性对数相频

14、特性对数相频特性伯德图伯德图22 ( ()20lg )1arctaLn () 3060900 01.0 1 .110() 0() dBL020400 01.0 1.110100()L0()jY12()X() ()A三、积分环节三、积分环节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：1( )G ss211()jG jej( )( )20lg 9 0L 幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性() 090() dBL10dB200 1 .20dB dec0()jY()X0四、微分环节四、微分环节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：( )G ss2

15、()jG jje( )( )20 lg 90L 幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性 理想微分环理想微分环节节() 090() dBL10dB200 1 .20dB dec0()jY()X0 一阶比例微分环一阶比例微分环节节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：22()()11jG jje ( )1G ss 22( )20lg 1 ) ( anLrcta 幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性() dBL020400 1.11010020dB dec() 3060900 1 .11000()jY1()X0

16、二阶微分环节二阶微分环节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：22()12G jj 22( )12G sss 222222( )20lg (1)(22( ) 1 ) arctanL 伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性幅相曲线幅相曲线0()jY1()X0( ) 601201800 1 .1100() dBL040800 1 .11010040dB dec五、振荡环节五、振荡环节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：( )221()( )12jG jAej 222221( )212nnnG sssss2222221( ) (1)(2( 2)1arcta

17、nA l 乃氏图乃氏图 与虚轴交点处的频率为与虚轴交点处的频率为 (无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率)1()2nA1n 谐振频率谐振频率 与谐振峰值与谐振峰值 2222222222220(1)(2)(1)(2)1(1( )(2)0dAd 2 1 2 上式阐明，当上式阐明，当 时，幅频特性存在极大值，记时，幅频特性存在极大值，记极大处的频率为极大处的频率为 ，称为谐振频率，相应的幅值称为谐振峰，称为谐振频率，相应的幅值称为谐振峰值，记为值，记为 ，那么谐振峰值为：，那么谐振峰值为： 02 2rrM22222222222(1)(2)2 (1) (2)2 (2) 2 4(21)0 22222

18、22222221(1)(2)(1)(2)02 (1)(2) rrM21()21rrMAl 伯德图伯德图222222( )20lg (1)(2) 2( ) 1arctaLn 当当 时，时， ； 当当 时，时， ；交接交接( (转机转机) )频率为频率为: : 振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与阻阻 尼比尼比 有关，渐近线的误差随有关，渐近线的误差随 的不同而不同；的不同而不同； 当当 时，误差不大；当时，误差不大；当 时，误差增大。时，误差增大。0 40 7.0 4 .1n12( )20lg()40lg()L 1( )20lg10L 振荡环节

19、的修正曲线与振荡环节的修正曲线与 有关。有关。( )L0 1 .1100 1 .1六、纯滞后环节六、纯滞后环节l 传送函数：传送函数：l 频率特性：频率特性：( )sG se()jG je对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图( )0 ( ) L 幅相曲线幅相曲线0()X()jY11() 0() dBL 上节引见了典型环节的极坐标图上节引见了典型环节的极坐标图(乃氏图、幅相曲线乃氏图、幅相曲线)，要绘制开环系统的极坐标图，只需计算出对应各要绘制开环系统的极坐标图，只需计算出对应各 的幅值的幅值及相角即可逐点描画出。及相角即可逐点描画出。11()2()()(1)(1)(1)

20、 (1( )njniiKG jH jj Tj Tj TKejAT 式中：式中：计算出计算出 即可绘制极坐标图。即可绘制极坐标图。)()A ，1111( )1( )nniiiAKj Tj T，例例5-1：解：计算结果如下解：计算结果如下0.710.830.971.151.41.762.263.044.47.038.910109876543210.500( )X( )jY10( )A( ) 029 4 . 50 7 . 24 7 . 88 2 . 97 7 . 105 2 . 111 5 . 116 8 . 121 5 . 125 5 . 129 3 . 10()()(1)(10 1 )G jH

21、jjj . 系统开环幅相曲线的绘系统开环幅相曲线的绘制制 根据系统开环率特性的表达式可以经过取点、根据系统开环率特性的表达式可以经过取点、计算和作计算和作 图，绘制系统开环幅相曲线。图，绘制系统开环幅相曲线。 概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要特征：概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要特征： 开环幅相曲线的起点开环幅相曲线的起点 和终点和终点 开环幅相曲线与负实轴的交点开环幅相曲线与负实轴的交点设设 时，时， 的虚部为零：的虚部为零：即：即：Im()()0 xxG jH jx()()xxG jH j(0 )() 或：或： 称称 为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的为穿越

22、频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为：坐标值为：Re()()()()xxxxG jH jG jH j 开环幅相曲线的变化范围开环幅相曲线的变化范围( (象限、单调性象限、单调性) ) 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制开环幅相曲线的根底。是绘制开环幅相曲线的根底。x()()()(01 2) xxxG jH jkk,一、一、 型系统的极坐标图型系统的极坐标图 开环幅相曲线的起点在正实轴上；开环幅相曲线的起点在正实轴上； 终点在原点；终点在原点； 普通情况下，分子阶次为m，分母阶次为n的开还传送函数可表示为：11(1)( )( )

23、(1)mjn vvijisGKs H sssTl 终点处的幅值终点处的幅值l 终点处的相角：终点处的相角： ()()0G jH j() ( 90 )nm 0一阶一阶二阶二阶三阶三阶0()X()jYK例例5-2：知：知 型系统的开环传送函数为：型系统的开环传送函数为：试绘制系统的极坐标图。试绘制系统的极坐标图。解：解：起点：起点：终点：终点：(00)8)1(A ，0(0)(0)KA ，12222212()()(1)(1)( )( )Karctan TarcTAtan TT ，0K 0K 0( )X( )jY12( )(1)(1)KG sTsT s0二、二、型系统的极坐标图型系统的极坐标图 起点：

24、虚轴无穷远起点：虚轴无穷远处处 终点：原终点：原点点(0)900)A ，终点处相角：终点处相角：二阶二阶三阶三阶0()X()jY() ( 90 )nm 例例5-3：知：知型系统的开环传送函数为：型系统的开环传送函数为：试绘制系统的极坐标图。试绘制系统的极坐标图。解：解：起点：起点：终点：终点：下面，求与负实轴的交点下面，求与负实轴的交点1290()()18()0 xxxarctan Tarctan T1 21xTT21 210 xTT1221 21 xxxTTTT12()()90 xxarctan Tarctan T(00)7)2(A ，1290(0(0)()(0(0)AXK TTYj ，22

25、221212(1)(1)9(0)AKTTarctan Tarctan T 12( )(1)(1)KG ss TsT s1 22212121 21 21 2(1)(11(1)1xTTKTTTTTTAKTTTT即与负实轴交点为即与负实轴交点为务虚轴交点的另一种方法务虚轴交点的另一种方法2121 222221211()(1)()(1)(1)(1)(1)KTTK TTKG jjj TTTjjT 令令 ，得：，得：代入实部得：代入实部得：1 21 2121 22212211112()Re(111)(1)1(1)xTTTTTTTTKTTTTG jKTTTT 21 210TT 1 21xTT12120TTK

26、, jTT概略概略实践实践1v 2v 3v 4v 0()X()jY1212TTKTT12()K TT0( )X( )jY三、三、型系统的极坐标图型系统的极坐标图 起点：实轴无穷远起点：实轴无穷远处处 终点：原终点：原点点(00)180)(A ，终点处相角：终点处相角：0( )X( )jY() 90nm四、含纯滞后环节的开环系统的极坐标图四、含纯滞后环节的开环系统的极坐标图例例5-4：0510( )X( )jY( )R s( )C s101s0 5 . se设开环系统由设开环系统由 个环节串联而成，其传送函数为：个环节串联而成，其传送函数为：1212( )( )()()()(nnG jG sG

27、sGG jG jsG sG j或：或：2121( )( )( )( ) ( )( )( )( ) nnAAAA 121220lg ( )20lg( )20lg( )20lg( ) ( )( )( )( )nnLLLAAAAL综上有：综上有：1122( ) ( )( )( )( )( )( )( ) nnLLLL 1212( )( )( )( )12( )( )( )12( )( )( )( ) ( )( )( )nnjjjjnjnAeAeAeAeAAAe n 因此，采用叠加法即可方便地绘制出系统开环对数因此，采用叠加法即可方便地绘制出系统开环对数频率特性曲线。实践上，系统开环对数幅频特性的渐进

28、频率特性曲线。实践上，系统开环对数幅频特性的渐进特性有如下特点：特性有如下特点： 低频段低频段( ( 小于最小交接频率小于最小交接频率 ) )的斜率为：的斜率为： ， 为开环系统中所为开环系统中所包含的串联积分环节包含的串联积分环节 的数目。低频段的数目。低频段( (假设存在小于假设存在小于1 1的交接频率时，那么的交接频率时，那么为延伸为延伸 线线) )在在 处的对数幅值为处的对数幅值为 。即低频段或其延。即低频段或其延伸伸 线经过点线经过点 。 在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率 要发生变化，假设遇到要发生变化，假设遇到 的环节

29、，在交接频率的环节，在交接频率 处，斜率改动处，斜率改动 ；假设遇到；假设遇到 的环节时，在交接频率处，斜率改动的环节时，在交接频率处，斜率改动 。1( )(1)G ss20dB dec2 21( )(1 2s )G ss40 dB decmin20de B d cvv120lgK20)1 (lg,K一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤 开环传送函数典型环节分解；开环传送函数典型环节分解； 计算各典型环节的交接频率；计算各典型环节的交接频率； 修正。修正。 经过点经过点 ，绘制斜率为，绘制斜率为 的低频段；的低频段； 从低频段开场，随着从低频段开场，随着 的增大

30、，每遇到一个典型环的增大，每遇到一个典型环节的节的 交接频率，就按上述方法改动一次斜率；交接频率，就按上述方法改动一次斜率；20)1 (lg,K20de B d cv例例5-5：知系统的开环传送函数为：知系统的开环传送函数为：试绘制开环系统的伯德图。试绘制开环系统的伯德图。解：解： 开环传送函数典型环节分解：一个比例、一个惯性、开环传送函数典型环节分解：一个比例、一个惯性、 一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。 计算各典型环节的交接频率；计算各典型环节的交接频率；l 惯性环节：惯性环节：l 一阶比例微分环节：一阶比例微分环节：l 振荡环节：振荡环节：2333

31、111 86483，2221122，111120 5 .，24(1)2( )(12 )(1 0 05)64sG ssss.s 绘制低频段；绘制低频段；10 51 .所以，低频段的延伸线经过所以，低频段的延伸线经过 ，即，即 。1v 利用误差修正曲线进展必要的修正；利用误差修正曲线进展必要的修正； 绘制各环节的相频特性，叠加后得到系统的相频特性。绘制各环节的相频特性，叠加后得到系统的相频特性。 处，斜率处，斜率 处，斜率处，斜率处，斜率处，斜率20dB dec60dB dec 3840dB dec20dB dec 2210 5 .20dB dec40dB dec 20)1 (lg4,12 41

32、()0,.( ) 090180270121050 1 .0 2 .60dB dec20dB dec40dB dec20dB dec20)1 (lg,K12121050 1 .0 2 .20200( ) dBL二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性 定义定义 最小相位系统相位滞后是最小的。最小相位系统相位滞后是最小的。l 最小相位系统：开环传送函数中的一切零、极点都位于最小相位系统：开环传送函数中的一切零、极点都位于l 平面左半部的系统。各环节都是最小相位。平面左半部的系统。各环节都是最小相位。l 非最小相位系统：开环传送函数中具有位于非最小相位系统

33、：开环传送函数中具有位于 右半平面的零右半平面的零l 点或极点的系统。含非最小相位环节的系统点或极点的系统。含非最小相位环节的系统例例5-6：最小相位系统：最小相位系统非最小相位系统非最小相位系统1221( )1sG ss111221( ) (0)1sG ssSS解：两系统的幅频特性是一样的解：两系统的幅频特性是一样的22222112( )20lg 12)lg 1(0LL0( ) 901800( )L1121 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着独一最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着独一 的对应关系。的对应关系。 根据系统的对数幅频特性，可以独一地确定相应的根据系统的对数

34、幅频特性，可以独一地确定相应的相频特性和传送函数，反之亦然。相频特性和传送函数，反之亦然。 时，幅频特性斜率：时，幅频特性斜率：相频特性：相频特性：例例5-7：知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如：知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如 图所示，试写出系统的开环传送函数。图所示，试写出系统的开环传送函数。20200() dBL40720dB dec20dB dec40dB dec15121050 1 .0 2 . 20 ()dB decnm90()nm解：由解：由 可得：可得：11122211217172低频段的斜率为：低频段的斜率为：(15 6711) (12)() sGss.s2

35、40lg20lg1521c3 35c.20dB dec1v20lg15K 5 6K.三、含有纯滞后环节系统的伯德图三、含有纯滞后环节系统的伯德图例例5-8：2211( ) )20lg 0l1 2 gLKTarctan T 解：解：( ) 09018011T( )L01()1jKG jejT1( )1sKG seTsl 系统稳定条件？系统稳定条件？一切闭环特征根都位于一切闭环特征根都位于S 左半平面左半平面 劳斯判据劳斯判据 根轨迹法根轨迹法(图解法图解法)：根据开环零极点绘制闭环：根据开环零极点绘制闭环 特征根的轨迹。特征根的轨迹。l 频域稳定性判据频域稳定性判据l 时域分析判别稳定性的方法？

36、时域分析判别稳定性的方法？ 根据开环频率特性图和开环零极点判别闭环系统的根据开环频率特性图和开环零极点判别闭环系统的稳定性。稳定性。一、一、Nyquist稳定判据的数学根底稳定判据的数学根底1.1.映射映射( (幅角幅角) )定理：设定理：设 为复变量，为复变量， 为为 的有理分式函的有理分式函 数。对于数。对于 平面上恣意一点平面上恣意一点 ，经过复变函数，经过复变函数 的映的映 射关系，在射关系，在 平面上可以确定关于平面上可以确定关于 的象。在的象。在 平面平面 上选择一条封锁曲线上选择一条封锁曲线 ，且不经过，且不经过 的任一零、极点，的任一零、极点， 从闭环曲线从闭环曲线 上任一点上

37、任一点 起，顺时针沿起，顺时针沿 运动一周，运动一周， 再回到再回到 点，那么相应地，点，那么相应地， 平面上亦从点平面上亦从点 起，到起，到 点止，也构成一条闭合曲线点止，也构成一条闭合曲线 。为方便起见，令：。为方便起见，令：2112()()( )()()zzsssppssF不失普通性，设不失普通性，设 如以下图分布：如以下图分布：1212pzzp、 、sssssS( )F s( )F s( )F sSF( )F sAA( )F s( )F A( )F A(a) S 平面平面(b) F(s) 平面平面设设 沿沿 顺时针运动一周，研讨顺时针运动一周，研讨 相角的变化情况：相角的变化情况：12

38、12( )( ) ()()()()zF sF s dssszppss 111()()2 ()2 ppsssz 按复平面相角定义，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负：按复平面相角定义，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负：s( )F s( )F sF0 xjy2s1ss1p2p1z2z0j 对于对于 ，作切线，作切线 ，那么在，那么在 的的 段，段， 的角度减小，在的角度减小，在 的的 段，角度添加，且有：段，角度添加，且有：1 22 12222()()()()0s ss sssdssdzssdszzz同理：同理： 映射映射(幅角幅角)定理：设定理：设 平面闭合曲线平面闭合曲线 包包围围 的的 个个 零点

39、和零点和 个极点，并且，此曲线不经过个极点，并且，此曲线不经过 的任一零点的任一零点 和极点，那么当复变量和极点，那么当复变量 沿封锁曲线顺沿封锁曲线顺时针方向挪动一周时针方向挪动一周 时，在时，在 平面上的映射曲线平面上的映射曲线 按逆时按逆时针方向包围坐标针方向包围坐标 原点原点 周。周。S( )F s( )F s( )F sZPsFPZ2()0ps2z2221szz s、1 2s s1()sz2 1s s2.2.复变函数复变函数 的选的选择择 的零点为闭环传送函数的极点；的零点为闭环传送函数的极点； 的极点为的极点为 开环传送函数的极点。开环传送函数的极点。令：令： ，可见：，可见： 当

40、当 沿沿 运动一周所产生的运动一周所产生的 两条曲线两条曲线 和和 只相差常数只相差常数1 1，即，即 可由可由 沿沿 实轴正方向平移实轴正方向平移( (右移右移) )一个单位长度获得。一个单位长度获得。 包围包围 平面原点的周数等于平面原点的周数等于 包围点包围点 的周数。的周数。0XjY1( )( )( ) 1 G s H sF sFFFGHGHGHs( )F s( 1 0), j( )( )( )( )1( )( )1( )( )N sD sN sF sG s H sD sD s ( )F s( )F s( )F s3. 3. 平面闭合曲线平面闭合曲线 的选择的选择 不经过不经过 的任一

41、零、极点。的任一零、极点。 包围包围 位于位于 平面右半部的平面右半部的 一切零点和极点。一切零点和极点。(a) 无虚轴上的极点无虚轴上的极点 系统稳定的充要条件是：系统稳定的充要条件是： 的零点都位于的零点都位于 平面的平面的左半部。即：左半部。即： 。 乃氏回线乃氏回线 可取右图所可取右图所示的两种方式：示的两种方式：(b) 有虚轴上的极点有虚轴上的极点jej j 00nnjejje( )( )G s H s( )F sS0Z ( )( )G s H sjej j 0j( )F sS( )F sS二、奈奎斯特稳定二、奈奎斯特稳定(奈氏奈氏)判据判据 闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当闭环

42、控制系统稳定的充分必要条件是：当 从从 时，系统的开环频率特性时，系统的开环频率特性 不穿不穿过过 点，且按逆时针方向包围点，且按逆时针方向包围 点点 周，周， 为位于平面右半部的开环极点数。为位于平面右半部的开环极点数。 假设开环系统稳定，即假设开环系统稳定，即 ，那么闭环系统稳定的，那么闭环系统稳定的充要充要条件是：系统的开环频率特性不包围条件是：系统的开环频率特性不包围 点。点。 实践上，常只画实践上，常只画 从从 的部分，故上述的部分，故上述乃氏判据中的乃氏判据中的 周应改为周应改为 周。周。0 P2P0P ( 1 0), j ()()G jH j( 1 0), j( 1 0), jP

43、P闭环极点在闭环极点在 平面右半部的个数：平面右半部的个数： 半闭合曲线半闭合曲线(奈氏图奈氏图) 穿越穿越 点左侧负实轴的次数。点左侧负实轴的次数。正穿越正穿越 ：随着：随着 的增大，开环幅相曲线逆时针的增大，开环幅相曲线逆时针(从上从上) 穿越点穿越点 左侧负实轴；左侧负实轴； 开环极点在开环极点在 平面右半部的个数。平面右半部的个数。PS( 1 0), jN( 1 0), jN( 1 0), jN (0)GH,( 1 0), j2ZPNSNNN判别：判别：系统稳定；系统稳定；系统不稳定。系统不稳定。例例5-9：绘制开环传送函数为：绘制开环传送函数为 的系统的系统 的乃奎斯特图，并判别系统

44、稳定性。的乃奎斯特图，并判别系统稳定性。解：解：起点：起点：终点：终点：系统稳定。系统稳定。0002ZNNPP，0 180( )( )A(0()0) 0AK 12222212()()(1)(1)( )( )Karctan TarcTAtan TT ，K0 001( )X( )jY12( )( )(1)(1)KG s H sss0Z 0Z 例例5-10：绘制：绘制 0型型3阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。23222( )2532 5251231725 1803108125arctanarctanarctanarctanarctanarctanarcta

45、narctanarctan 解：解：217 x222()7 94171717100010001126125xA.1000()()(1)(2)(5)G jH jjjj1000( )( )(1)(2)(5)G s H ssss00 112202 ( 1)PPNNNZN ，起点：起点：终点：终点：系统在系统在 右半平面上有两个极点，不稳定。右半平面上有两个极点，不稳定。100( )( )(101)(21)(0.21)G s H ssssS(00)7)2(A ，10000(0( )A ，1007 94.01( )X( )jY21 01222 10PPNZNNN ，系统在系统在 右半平面上没有极点，稳定

46、。右半平面上没有极点，稳定。22100(5)( ) ( )(1)(9)sG s H ssss-01( )X( )jYS例例5-11：设系统的开环传送函数为：设系统的开环传送函数为： ， 试绘制系统的乃奎斯特图，并判别闭环系统的稳定性。试绘制系统的乃奎斯特图，并判别闭环系统的稳定性。解：选取乃氏回线如下面左图所示。解：选取乃氏回线如下面左图所示。 小半圆：小半圆：在在 平面上相应的映射曲线为：平面上相应的映射曲线为：2222002411(1)()(21)()jjjjjjG jHelimlimeeeeje 这是一个半径为无穷大的圆弧，其相角由这是一个半径为无穷大的圆弧，其相角由 经经0变到变到 。

47、 虚轴上，令虚轴上，令+2(41)11 7()() 0 (1)(21)10jjG jH jjj 0 1sj2 ()2 22 ()()G jH j0 2 2jslim e, 2(41)( )( )(1)(21)sG s H ss ss 大半圆：大半圆：在在 平面上相应的映射曲线为：平面上相应的映射曲线为：23241(1)(2()()01)jjjRjjRelimR eReRjHeGje相角：相角：333022 ()()G jH j 022jRslim Re ( 1 0), j 00( )X( )jYjej j 00j00 112202 ( 1)PPNNNZN ，系统在系统在 右半平面上有两个极点，

48、不稳定。右半平面上有两个极点，不稳定。 平面的半闭合曲线：可从平面的半闭合曲线：可从 点起逆时针点起逆时针(曲线方向为顺时针曲线方向为顺时针)作半径为无穷大、圆心角为作半径为无穷大、圆心角为的圆弧。的圆弧。 平面的半闭合曲线：应从平面的半闭合曲线：应从 点起以点起以无穷大为半径顺时针作无穷大为半径顺时针作 的圆弧至的圆弧至 点。点。 开环系统含有积分环节开环系统含有积分环节 开环系统含有等幅振荡环节开环系统含有等幅振荡环节1221()vns1vs( )F s() ()nnG jH j1180v () ()nnG jH j( )F s( 0 ) ( 0 )G jH j90v ( ) ( )G s

49、 H sS例例5-12：知单位反响系统的：知单位反响系统的开环幅相曲线开环幅相曲线 如右图所示，试确定系统闭环如右图所示，试确定系统闭环稳定时稳定时 值的范围。值的范围。解：设交点处穿越频率分别为解：设交点处穿越频率分别为 。系统的开环传送函数形如：系统的开环传送函数形如：1( )( )KG sG ss1 ()() (1 2 3) iiiKG jG ji, ,j当当 时，时，133111122123()()()()()()21 50 5101010G jG jG jG jG jG j.jKjKjK，10K 123()2()1 5()0 5G jG j.G j. ，123，(1001)PK,vK

50、123120( )X( )jY312112233123123()()()111()2()1 5()0 5101020520310G jG jG jG jG j.G j.jjKjKK，假设令假设令 ，可求得对应的，可求得对应的 值：值：系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定综上可知，系统闭环稳定时，综上可知，系统闭环稳定时， 的取值范围是：的取值范围是：2005 or 203KKK3012212KNNZPPK ，2301 1020KNKNPPKZ ，1200 1122KNKNPZKP ，100002KNZPKNP，()1iG j K三、根据伯德图判别系统的稳定性

51、三、根据伯德图判别系统的稳定性1. 乃氏图与伯德图的对应关系乃氏图与伯德图的对应关系 乃氏图中单位圆对应于伯德图中乃氏图中单位圆对应于伯德图中 线；线； 乃氏图中负实轴对应于伯德图中乃氏图中负实轴对应于伯德图中 线；线； 乃氏图中单位圆以外对应于伯德图中乃氏图中单位圆以外对应于伯德图中 ； 乃氏图从上而下对穿过负实轴乃氏图从上而下对穿过负实轴 线段，线段，相角添加，相角添加， 称为正穿越，伯德图中称为正穿越，伯德图中 从下而上穿过从下而上穿过 线，意线，意 味着相角的添加，称为正穿越；味着相角的添加，称为正穿越； 乃氏图从下而上对穿过负实轴乃氏图从下而上对穿过负实轴 线段，线段，相角减小，相角

52、减小， 称为负穿越，伯德图中称为负穿越，伯德图中 从上而下穿过从上而下穿过 线，意线，意 味着相角的减小，称为负穿越；味着相角的减小，称为负穿越；( ) (1), 180( ) (1), 180( )0L1800dB伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性:剪切频率剪切频率:穿越频率穿越频率xc() 01801x2x() dBL0dB20cABCDc( )X( )jY02. 对数频率稳定判据对数频率稳定判据 闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 时，在时，在开环对数幅频特性开环对数幅频特性 的频段内，相频特性的频段内，相频特性 穿越穿越 线的次数线的次数

53、 满足满足 。 为为 平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。半对数坐标下半对数坐标下 的对数相频曲线的对数相频曲线 确实定确实定 开环系统无虚轴上的极点时，开环系统无虚轴上的极点时， 等于等于 曲线。曲线。 开环系统存在积分环节开环系统存在积分环节 时，需从时，需从 曲线曲线 较小较小 且且 的点处向上补作的点处向上补作 的虚直线，的虚直线， 曲线和补作的虚直线构成曲线和补作的虚直线构成 。 1vs( ) ( ) ( )0Lv 90( ) GH0 ( )0L() (21)kNNNPS20ZNP例例5-13：解：解： 开环系统存在振荡环节开环系统存在振荡环节 时，需从对数相频特性时，需

54、从对数相频特性 曲线曲线 点起向上补作点起向上补作 的虚直线至的虚直线至 处，处， 曲线和补作的虚直线构成曲线和补作的虚直线构成 。 020ZPNNNN所以，系统稳定。所以，系统稳定。() 18090() dBL120lgK0 1 .20dB decc140dB dec1221()vns()n ( ) v 1180()n 0P ( )( )(1)KG s H sss四、系统的相对稳定性和稳定裕度四、系统的相对稳定性和稳定裕度 系统开环频率特性接近系统开环频率特性接近 点的程度表征了系统的点的程度表征了系统的相对稳定性，间隔相对稳定性，间隔 点愈远，闭环系统的稳定性愈点愈远，闭环系统的稳定性愈高

55、。系统的相对稳定性常用相角裕度高。系统的相对稳定性常用相角裕度 和增益裕度和增益裕度 来度量。来度量。1. 相角裕度相角裕度 ：在频率特性上对应于：在频率特性上对应于 的角频率的角频率 称为剪切频率，以称为剪切频率，以 表示。表示。相角裕度相角裕度 的含义是对于闭环稳定系统，假设系统开环的含义是对于闭环稳定系统，假设系统开环相频特性再滞后相频特性再滞后 度，那么系统将处于临界稳定形状。度，那么系统将处于临界稳定形状。( )1Ac( 1 0), j( 1 0), j()h GM180()c2.2.增益裕度增益裕度 ：在相频特性等于：在相频特性等于 弧度弧度的频率的频率 ( (穿穿 越频率越频率)

56、 )处，开环幅频特性的倒数处，开环幅频特性的倒数 称为增益裕度，称为增益裕度，以以 或或 表示。表示。 增益裕度的含义是，对于闭环稳定的系统，假设系统增益裕度的含义是，对于闭环稳定的系统，假设系统 的开环增益再增大的开环增益再增大 倍，那么系统将处于临界稳定形状。倍，那么系统将处于临界稳定形状。30606 dBh， 为了得到较称心的暂态为了得到较称心的暂态呼应，普通取：呼应，普通取：0 dB0 h ，1xch( )X( )jY0()h GMx1()xAhGMh例例5-14：设单位反响系统的开环传送函数为：设单位反响系统的开环传送函数为：试分别确定系统开环增益试分别确定系统开环增益 和和 时的时

57、的相角裕度和增益裕度。相角裕度和增益裕度。222()(1)(0 11)1 1(1 0 1)0 11()1 1.KKG jjj. j.jarctan.j 解：首先作出解：首先作出 和和 时的对数幅频渐进特性和时的对数幅频渐进特性和 对数相频特性曲线，如以下图所示。对数相频特性曲线，如以下图所示。5K 20K ( )(1)(0 11)KG ss s. s5K 20K 40dB dec20dB dec60dB dec20200( ) dBL4060121050 1 .0 2 .( ) 090180270121050 1 .0 2 . 当当 时，时，1111211110 13 9840lglg113

58、980 3495 2 23 168 51640180180(15 )1 5680 111 1()( 0 2)() lg ccccccc.arctanarctan. 令令 得：得：1111120lg()40lg ()0 5 2() cxxxxAA.A( (单位转换单位转换) )11120lg20lg2()6 (dB)xhA21 0 10.103 162x.5K 20lg13 98K. 当当 时，时，222222222 0 11026 0240lglg126 020 6505 4 470 2191 51 119240180180(1)1 51 5 lg ()()ccccccc.arctanarct

59、an 222222120lg()40lg ()2 0 5()120lg20lg0 5()6 (dB) xxxcxxAA.A.Ah 20K 20lg26 02K.例例5-15：知系统开环传送函数为：知系统开环传送函数为：试用乃氏判据求系统临界增益，当其中一个惯性环节试用乃氏判据求系统临界增益，当其中一个惯性环节时间常数为时间常数为 时，临界增益有何变化。时，临界增益有何变化。解：解：22( )20lg60lg 1( )3 arctKaLn 1801803()ccarctan 临界稳定时临界稳定时000360603 arctantan0 33322()()(1)1j arctanKKG jH je

60、j 3( )( )(1)KG s H ss(0)aa32230()20lg60l3g 120lg20lg0 228 cccKKLK22222( )20lg40lg 120l( )2 g 1arctanarctanKaLa 2222222222( ) 2 122(1)1 21211arctanarctanarctanaarctanarctanaaaarctanarctanaa 2()()(1) (1)KG jH jjj a 220002(1)0a 令令 ，有：，有：022 aa222222( )20lg40lg 120lg 1 20lg40lg20lg 1()() 20lg20lg20lg()(