机械振动3强迫振动5-7

1、第三章第三章 受迫振动受迫振动3.5 简谐力与阻尼力的功3.6 等效粘性阻尼3.7 系统对周期激励的响应 傅里叶级数3.5 简谐力与阻尼力的功有阻尼的系统在振动时，机械能不断耗散，而振动逐渐衰减.(1) 简谐激励力在一个周期内所做的功。)sin(tXxFdxEF强迫振动时，激励对振动系统做功，不断输入能量，当输入与耗散相等时，振动不衰减，振幅保持常值，即稳态振动.设简谐激励力tFFsin0作用在m上，)(txcmkF运动方程的解为：则在一个周期内激励所做的功：dttXF/200sin)2sin(21/20dtxFdtttXF)cos(sin/200sin0XF所做的功与力和振幅有关，还与相位差

2、有关. 共振时最大。(2) 阻尼力在一个周期内耗散的能量，即一个周期内所做的功.对粘性阻尼力阻尼力在一个周期内所做的功：dttXc)(cos/20222xcF同样系统作简谐振动，有)sin(tXx)cos(tXx )cos(tXcFFdxEc/20dtxF2Xc/20222)(2cos1dttXc粘性阻尼力所做的功与振幅的平方成正比，与频率也成正比。若激励力做功与粘性阻尼力耗散功相等，有20sinXcXFcFXsin0发生共振时，例3.5-1 已知解：dtdxFP cFXsin0,n, 2/可得，cF0ncF0,sin),sin(0tXxtFF求F的功率P.ttXFcos)sin(0)2sin

3、(sin210tXF括号内第一项是常量，第二项是频率2的正弦波。若激励力做功与粘性阻尼力耗散功相等，有20sinXcXFcFXsin0例3.5-2 设解：激励力与响应的频率均为,),)(30sin(2,sin10cmtxtF求开始6s内与开始1/2s内所做的功.,2/2sT周期开始6s内有三个周期，开始1/2s内只有1/4周期，所以sin3060XFE30sin1023)(30cmN 2/0210dtxFEdtttXF)cos(sin2/00dttXF2/00sin)2sin(21)2cos(21sin2212/00tXFcossin2210XF)(51.16cmN 3.6 等效粘性阻尼当系统

4、中存在非粘性阻尼时，一般将使系统成为非线性。等效的原则：令非粘性阻尼在一个周期内耗散的能量与等效粘性阻尼在同一周期内耗散的能量相等。系统作简谐振动时，粘性阻尼在一个周期内耗散的能量：（3.5-2）为便于分析，常将各种非黏性阻尼简化为等效黏性阻尼等效黏性阻尼，2XcEc非粘性阻尼在一个周期内耗散的能量为E，可表示为2XcEeq得非粘性阻尼的等效粘性阻尼等效粘性阻尼：2XEceq（3.6-1）NdFF(1) 干摩擦阻尼干摩擦力大小Fd与正压力成正比，与运动速度反向：运动方向不变时，摩擦力为常值，所作的功等于摩擦力与运动距离的乘积，每个周期有四个阶段，总的耗散能量为：XFEd4代入（3.6-1）式，

5、得到等效粘性阻尼系数。（3.6-3）等效黏性阻尼系数与摩擦力成正比，与振幅和频率成反比。XFcdeq42xFd(2) 速度平方阻尼阻尼力大小Fd与运动速度平方成正比，与运动速度反向：简谐振动时：得到等效粘性阻尼系数：（3.6-3）等效黏性阻尼系数与振幅和频率成正比。232)3/8(XXceq为常数每振动一周耗散能量为：)sin(tXx)cos(tXx 4/04TdtxFE4/034Tdtx 4/0333cos4TtdtX4/033cos33cosTdtttX3238X38X(3) 结构阻尼得到等效粘性阻尼系数：（3.6-8）等效黏性阻尼系数与频率成反比。22XXceq材料本身的内摩擦而引起的阻

6、力。0加载卸载对粘弹性材料，加载卸载过程中，应力应变曲线会形成滞后回线，因此要耗散能量。对大多数金属材料，在振动一周内耗散能量与振幅平方成正比2XE为常数实验指出内摩擦引起的阻尼与速度无关，有了等效粘性阻尼系数，非粘性阻尼强迫振动的方程可写为：（3.6-9）其特解的振幅为：2220)()(eqcmkFX)(tFkxxcxmeq 事实上，对于简谐激励作用的振动系统，通常都假定振动（3.6-10）系统的稳态响应也是简谐振动。但对于有非粘性阻尼的系统，这个假定不再正确。而在实际问题中，较小的阻尼不致过分影响强迫振动的波形，上述计算方法可以得出有用的结果。3.7 系统对周期激励的响应 傅里叶级数 设质

7、量-弹簧系统受到任意周期力F(t)的激励，激励力的频率为。利用傅里叶级数可将任意周期激励力分解为有限个或可列无限个谐波分量，则任意周期的激励分解为有限个或可列无限个谐波分量的简谐激励，系统的响应为对各个谐波分量响应的叠加。这种分析方法称为谐波分析谐波分析。 设周期力F(t)的频率为，周期为T=2/。将F(t)展开为傅里叶级数，以复数形式表示为：ntinneFtF)( 其中：），210()(12/2/ndtetFTFtinTTn实数形式的傅立叶级数展开：实数形式的傅立叶级数展开： TnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTasin)(2cos)(2)(2022nnnbacnnnbatg

8、1记：记：n 的偶函数的偶函数n 的奇函数的奇函数10)sin(2nnntnca为任一时刻为任一时刻 10)sincos(2)(nnntnbtnaatF（3.7-2） （3.7-3） （3.7-4） 其中的常值分量F0仅影响系统的静平衡位置，只要将坐标原点改在静平衡位置，即可将该项消去。 这样动力学方程为：ntinneFkxxcxm （3.7.5）利用线性常微分方程解的可叠加性质，不考虑解的暂态过程，该系统的稳态响应为：ntninneAx)(的解为方程tinntninneFkxxcxmeAxn )(则：），21(,)2()1 (1222nkFkFAnnnnnn（3.7.7）（3.7.6），21

9、(12)2()1 (12222nnnnnnnarctan（3.7.8）其中，n和n分别为第n次谐波激励对应的振幅放大因子和相位差。n为第n次谐波的无量纲频率。以各阶频率为横坐标，作出n和n的离散图形，称为频谱图。可用于分析周期激励力的响应状况。因此，谐波分析也称为频谱分析频谱分析。谐波分析方法也适用于分析任意周期惯性力激励的受迫振动。nnn例3.6.1 设质量-弹簧系统受到如图2.10所示的周期方波激励：TtTFTtFtF220)(00试求此系统的响应，令=1/6，=0.1，作出频谱图。tF(t)O-F0F0T/2T图2.10 方波激励力解：将激励展开为傅里叶级数：ntinneFtF)()(2

10、)(1/000/02/2/dteFdteFdtetFTFtintintinTTn/00/00)sin(2dttniFdteeFtintin), 3, 1(,2) 1(coscos00/00nnFinniFtnniF, 3, 10)sin)(cos2()(nntinntnitnnFieFtF10) 12sin() 12(4)(ntnnFtFkxxcxm （a）动力学方程：解为：101) 12sin(4) 12sin(nnnnnntnkFtnAx其中（b）nnnnnnnnnn) 12(12arctan)2()1 () 12(12222，（c）10) 12sin() 12(4ntnnF) 12sin

11、(1213sin31sin40tnnttF=1/6，=0.1，作出n和n的频谱图:n=1, 2, 3, 4, 5, 6n11973500.51nn11973500.5n-0.5nnnnnnnnnn) 12(12arctan)2()1 () 12(12222，例3.6.2 发电机的振动。曲柄、连杆质量不计，发电机总质量m，活塞质量为m1，曲柄转速。设r l，只保留=r/l的一次项，求发电机的响应。解：活塞的位置坐标xB：ckxO0OABrlxttcos,上式求导：coscoslrxxBsinsinsinsinlr1sin1cos22ttrtrxltrxxBcossinsinsinsintrtrx2sin2sin )2cos(cos2coscos222ttrxtrtrxxB 对发电机进行受力分析，用牛顿定律：xckxttrxmxmmxckxxmxmmB )2cos(c